Kutupsal Şekildeki Karmaşık Sayılarda İşlemler
1. Toplama – Çıkarma:
Kutupsal şekildeki karmaşık sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yaparken:
a) Bu karmaşık sayıların mutlak değerleri aynı ise dönüşüm formülleri kullanılarak toplama veya çıkarma işlemi yapılabilir.
b) Bu karmaşık sayıların mutlak değerleri farklı ise karmaşık sayılar analitik şekilde \( (z = x + yi) \) yazılarak toplama veya çıkarma işlemi yapılabilir.
Örnek:
\( z_1 = 3(\cos 72^\circ + i \sin 72^\circ) \quad \) ve \( z_2 = 3(\cos 18^\circ + i \sin 18^\circ) \quad \) ise
\( z_1 + z_2 \) toplamını bulalım.
\( z_1 + z_2 = 3[\cos 72^\circ + \cos 18^\circ + i(\sin 72^\circ + \sin 18^\circ)] \) dönüşüm formülleri uygulanırsa,
\( \quad \quad \ = 3(2 \cos 45^\circ \cos 27^\circ + i \, 2 \sin 45^\circ \cos 27^\circ) \)
\( \quad \quad \ = 3 \cdot 2 \cos 27^\circ (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \)
\( \quad \quad \ = 6 \cos 27^\circ \left( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + i \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
\( \quad \quad \ = 3\sqrt{2} \cos 27^\circ (1 + i) \quad \) olarak bulunur.
Örnek:
\( z_1 = \cos 20^\circ + i \sin 20^\circ \quad \) ve \( \quad z_2 = \cos 10^\circ + i \sin 10^\circ \) ise \( z_1 – z_2 \) farkını bulalım.
\( z_1 \ – \ z_2 = (\cos 20^\circ + i \sin 20^\circ) \ – \ (\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ) \)
\( \quad \quad \ \ = \cos 20^\circ – \cos 10^\circ + i(\sin 20^\circ – \sin 10^\circ) \)
dönüşüm formülleri uygulanırsa,
\( \quad \quad \ = -2 \sin 15^\circ \sin 5^\circ + i \, 2 \cos 15^\circ \sin 5^\circ \)
\( \quad \quad \ = 2 \sin 5^\circ (-\sin 15^\circ + i \cos 15^\circ) \)
\( \quad \quad \ = 2 \sin 5^\circ [\sin(-15^\circ) + i \cos(-15^\circ)] \)
\( \quad \quad \ = 2 \sin 5^\circ [\cos(90^\circ \ – \ (-15^\circ)) + i \sin(90^\circ \ – \ (-15^\circ))] \)
\( \quad \quad \ = 2 \sin 5^\circ (\cos 105^\circ + i \sin 105^\circ) \quad \) bulunur.
Örnek:
\( z_1 = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) \quad \) ve \( z_2 = 3(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \quad \) ise
\( z_1 + z_2 \) toplamını bulalım.
\( z_1 = 2\left( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{1}{2}i \right) \quad \text{ve} \quad z_2 = 3\left( \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \)
\( z_1 + z_2 = \sqrt{3} + \displaystyle \frac{3}{2} + \left( 1 + \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)i \quad \text{bulunur.} \)
Uyarı:
Bir \( z = a + bi \) karmaşık sayısı,
\( z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = |z|e^{i\theta} \)
\( \overline{z} = |z|(\cos \theta \ – \ i \sin \theta) = |z|e^{-i\theta} \quad (e \cong 2,7182) \)
şeklinde üstel yazılabilir.
\( z = 2\left( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = 2 \, \text{cis} \displaystyle \frac{\pi}{4} = 2e^{\displaystyle \frac{\pi}{4}i} \quad \) dir.
Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların üstel yazılışından faydalanılarak karmaşık sayıların çarpımını, bölümünü ve kuvvetlerini bulabiliriz.
2. Çarpma:
\( z_1 = |z_1|(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \quad \) ve
\( z_2 = |z_2|(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \quad \) olmak üzere,
\( z_1 = |z_1|e^{i\theta_1} \quad \text{ve} \quad z_2 = |z_2|e^{i\theta_2} \quad \) ise,
\( z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| \, e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \)
olacağından kutupsal şekildeki iki karmaşık sayı çarpılırken; bu karmaşık sayıların mutlak değerleri çarpılır, argümentleri toplanır.
\( \mathbf{z_1 \cdot z_2 = |z_1| \cdot |z_2| [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]} \)
\( \mathbf{\text{arg}(z_1 \cdot z_2) = \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2)} \) dir.
Örnek:
\( z_1 = 3 \ – \ 3\sqrt{3}i \quad \text{ve} \quad z_2 = 1 + i \quad \) ise, \( z_1 \cdot z_2 \) nin kutupsal şeklini bulalım.
\( z_1 = 6(\cos 300^\circ + i \sin 300^\circ) \quad \) ve
\( z_2 = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \)
\( z_1 \cdot z_2 = 6 \cdot \sqrt{2} \, [\cos(300^\circ + 45^\circ) + i \sin(300^\circ + 45^\circ)] \)
\( \quad \quad \ \ = 6\sqrt{2}(\cos 345^\circ + i \sin 345^\circ) \quad \) bulunur.