Wurzelausdrücke
Für \(n \in Z^+ \) wird der x-Wert, der die Gleichung \( x^n= a\) erfüllt, als die n-te Wurzel von a bezeichnet und wie folgt dargestellt:
\[ \Large{} x = \sqrt[n]{a} \]
Es wird als „die n-te Wurzel von a“ gelesen.
\( \bullet \; n= 2 \) für \( \Large x = \sqrt{a}\) Quadratwurzel von a,
\( \bullet \; n= 2 \) für \( \Large x = \sqrt[3]{a}\) Kubikwurzel von a,
\( \bullet \; n= 2 \) für \( \Large x = \sqrt[4]{a}\) , Gelesen als „die vierte Wurzel von a“,
Hinweis:
Da eine gerade Potenz einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, ist die gerade Wurzel einer negativen Zahl keine reelle Zahl.
Für \( n \in Z^+\) muss für \(\large \sqrt[2n]{a} \) gelten, dass a ≥ 0 ist.
Beispiel:
Wenn \( x^4 =-16\), dann ist \( x \notin R\). Weil die vierte Potenz einer reellen Zahl x nicht -16 sein kann. \( \sqrt[4]{ -16} \notin R, \; \sqrt{ -7} \notin R\)
Jedoch,
Wenn \(x^3 =-8 \), dann ist \( x = \sqrt[3]{-8 } \in R\).
Frage 1
Wenn \[ \large A= \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x-3}}{1+\sqrt{5-x}} \]
wie viele ganzzahlige Werte kann x annehmen, damit A eine reelle Zahl ist?
\[ \text{A)} \ 1 \quad \text{B) } \ 2 \quad \text{C) } \ 3 \quad \text{D) } \ 4 \quad \text{E)} \ 5 \]
Lösung:
Da die Exponenten der Wurzeln \[ \sqrt[4]{x-3 } \; \text{und} \; \sqrt{ 5-x} \] gerade Zahlen sind,
muss \( x-3 ≥ 0 \) und \( 5-x ≥ 0 \) gelten.
\[ x-3 ≥ 0 \Rightarrow x≥0 \]
\[ 5-x≥ 0 \Rightarrow 5≥x \]
Daraus folgt \( 3≤ x ≤ 5 \). Demnach kann x die ganzzahligen Werte 3, 4 und 5 annehmen, es gibt also 3 Werte.
\(\textbf{Antwort: C} \)
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