Erweitern und Kürzen von Wurzelexponenten
Bei einem Wurzelausdruck können der Wurzelexponent und der Exponent des Radikanden mit einer geeigneten Zahl multipliziert oder dividiert werden. Für \( k \in Z^+ \),
$$ \Large \sqrt[m]{ a^n} = \sqrt[m. k]{ a^{n.k}}= \sqrt[\frac{m}{k} ]{ a^{\frac{m}{k} }}$$
Beispiele:
\( \bullet \quad \large \sqrt[15]{ 32} = \sqrt[3.5 ]{ 2^5} = \sqrt[3]{2 } \)
\( \bullet \quad \large \sqrt[4]{ 3} = \sqrt[4.2 ]{ 3^2} = \sqrt[8]{9 } \)
\( \bullet \quad \large \sqrt[3]{-2 } = -\sqrt[3]{2 } = -\sqrt[3.4]{2^4 } = -\sqrt[12]{16 } \)
\( \bullet \quad \large \sqrt[18]{( -2)^6} = \sqrt[18]{2^6} = \sqrt[3.6]{2^6} = \sqrt[3]{2 } \)
Frage 6
Welche der folgenden Optionen zeigt die korrekte Reihenfolge der Zahlen \[ x= \sqrt{ 2} \quad, y = \sqrt[3]{ 3} \quad, z= \sqrt[4]{5 } \] von groß nach klein?
\[ \text{A)} z> x> y \quad \text{B) } z> y> x \quad \text{C) } x> y> z \quad \text{D) } x> z> y \quad \text{E)} y> z> x \]
Lösung:
Da es schwierig ist, die Näherungswerte von x, y und z zu kennen, können die Radikanden verglichen werden, indem die Wurzelexponenten gleichnamig gemacht werden. Demnach gilt:
\[ x = \sqrt[2]{2} = \sqrt[2 \cdot 6]{2^6} = \sqrt[12]{64} \] \[ y = \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[12]{81} \] \[ z = \sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125} \] \[ \text{Da } 125 > 81 > 64 \text{ ist, gilt } z > y > x. \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Frage 7
Welche der folgenden Optionen zeigt die korrekte Reihenfolge der Zahlen \[ x= \frac{1}{\sqrt[3]{ 2} } \quad, y =\frac{1}{\sqrt[5]{ 2} } \quad, z=\frac{1}{\sqrt[15]{ 30} } \] von groß nach klein?
\[ \text{A)} x> y> z \quad \text{B) } y> x> z \quad \text{C) } y> z> x \quad \text{D) } z> x> y \quad \text{E)} z> y> x \]
Lösung:
\[ x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3 \cdot 5]{2^5}} = \frac{1}{\sqrt[15]{32}} \] \[ y = \frac{1}{\sqrt[5]{3}} = \frac{1}{\sqrt[5 \cdot 3]{3^3}} = \frac{1}{\sqrt[15]{27}} \] \[ z = \frac{1}{\sqrt[15]{30}} \]
Daraus folgt: y > z > x.
\(\textbf{Antwort: B} \)
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