Addition und Subtraktion von Wurzelausdrücken

 

Damit Wurzelausdrücke addiert oder subtrahiert werden können, müssen die Wurzelexponenten gleich und die Radikanden (die Ausdrücke unter der Wurzel) identisch sein.

$$\Large x \sqrt[n]{a } + y \sqrt[n]{a } -z \sqrt[n]{a } = (x+y-z) \sqrt[n]{a } $$ wie z. B.

 

Beispiele:

 

\( \bullet \quad \sqrt{ 3} + \sqrt{2 } \) (die Radikanden sind unterschiedlich)

\( \bullet \quad \sqrt[3]{ 7} + \sqrt{7 } \) (die Wurzelexponenten sind unterschiedlich)

\( \bullet \quad 3\sqrt{ 5} + \sqrt{5 }-2 \sqrt{ 5} = (3+1-2 )\sqrt{ 5} = 2 \sqrt{5 } \)

 

Frage 8

 

Was ist das Ergebnis der Berechnung \[ \sqrt{48 } + \sqrt{ 12} – \sqrt{ \frac{27}{4} } \]?

\[ \text{A)} 2\sqrt{ 3} \quad \text{B) } \frac{5}{2}\sqrt{ 3} \quad \text{C) } 3\sqrt{ 3} \quad \text{D) } 4\sqrt{ 3} \quad \text{E)} \frac{9}{2}\sqrt{ 3} \]

 

Lösung:

 

\[ \sqrt{48} + \sqrt{12} – \sqrt{\frac{27}{4}} = \sqrt{3 \cdot 4^2} + \sqrt{3 \cdot 2^2} – \sqrt{\frac{3 \cdot 3^2}{2^2}} \] \[ = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} – \frac{3\sqrt{3}}{2} \] \[ = \left(4 + 2 – \frac{3}{2}\right)\sqrt{3} = \frac{9}{2}\sqrt{3} \]

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

Frage 9

 

Was ist das Ergebnis der Berechnung \[ \sqrt[3]{ 128} + \sqrt[3]{ 16} -\sqrt[3]{ 250} \]?

\[ \text{A)} -2 \sqrt[3]{ 2} \quad \text{B) } -\sqrt[3]{ 2} \quad \text{C) } 0 \quad \text{D) } \sqrt[3]{ 2} \quad \text{E)} 2 \sqrt[3]{ 2} \]

 

Lösung:

 

\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{2 \cdot 4^3} + \sqrt[3]{2 \cdot 2^3} - \sqrt[3]{2 \cdot 5^3} = 4\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{2} = (4 + 2 - 5)\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}.

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

Frage 10

 

Was ist das Ergebnis der Berechnung \[ \sqrt[9]{ 8} + \sqrt[3]{ -128} -\sqrt[12]{ 16} \]?

\[ \text{A)} -2 \sqrt[3]{ 2} \quad \text{B) } -\sqrt[3]{ 2} \quad \text{C) } 0 \quad \text{D) } \sqrt[2]{ 2} \quad \text{E)} 2 \sqrt[2]{ 2} \]

 

Lösung:

 

\[ =\sqrt[9]{ 8} + \sqrt[3]{ -128} -\sqrt[12]{ 16} \]

\[ =\sqrt[3.3]{ 2^3} + \sqrt[3]{ 2 \cdot (-4)^3}+ \sqrt[3.4]{ 2^4} \]

\[= \sqrt[3]{ 2} -4 \sqrt[3]{ 2 }+ \sqrt[3]{ 2} \]

\[= (1-4+1) \sqrt[3]{2 } = -2 \sqrt[3]{ 2} \]

 

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

 

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