Karmaşık Sayıların Eşitliği 

 

İki karmaşık sayının birbirine eşit olması için bu karmaşık sayıların karşılıklı olarak reel kısımları birbirine, sanal kısımları da birbirine eşit olmalıdır.

\( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) olmak üzere,

\[ z_1 = a + bi \quad  \text{ve} \quad   z_2 = c + di \quad  \text{olsun.}  \]

\[ a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ ve } b = d \quad \text{dir.} \]

 

Örnek:

 

\[ z_1 = 3 + m – ni \quad  \text{ve }  \quad    z_2 = n + mi – 5i \]

karmaşık sayıları birbirine eşit ise m ile n yi bulalım.

\( z_1 = 3 + m \ – \  ni \) ve \( z_2 = n + (m \ – \ 5)i \)

\( z_1 = z_2 \Rightarrow 3 + m \ – \ ni = n + (m \ – \ 5)i \)

\( \Rightarrow 3 + m = n \text{ ve } -n = m \ – \ 5 \)

denklemleri ortak çözülürse \( n = 4 \) ve \( m = 1 \) bulunur.

 

SORU 4

 

\( x  \ – \ \sqrt{-3} \ y + 1 = \sqrt{-1}x + \sqrt{3} \ y \ –  \ i \)  eşitliğini sağlayan y değeri nedir?

\[ A) \ 1 \quad   B) \ \displaystyle \frac{1}{3} \quad   C) \ 3 \quad    D) \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \quad  E) \ \sqrt{3} \]

 

Çözüm:

 

\( x \ – \ \sqrt{-3} \ y + 1 = \sqrt{-1}x + \sqrt{3}y \ – \ i \)

\( \Rightarrow x \ – \ \sqrt{3}iy + 1 = ix + \sqrt{3} \ y – i \)

\( \Rightarrow x + 1 – \sqrt{3}yi = \sqrt{3} \ y + (x – 1)i \)

\( \Rightarrow x + 1 = \sqrt{3}y \text{ ve } \ -\sqrt{3} \ y  = x \ – \ 1 \)

\( \begin{array}{rcc}
x + 1 &=& \sqrt{3}y \\
-\quad x – 1 &=& -\sqrt{3}y \\
\hline
2 &=& 2\sqrt{3}y
\end{array} \Rightarrow y \)

\( = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{tür.} \)

\( \textbf{Cevap: D}  \)

 

SORU 5

 

\( x < 0 < y \) olmak üzere,

\( \sqrt{-x^2 \ + \ 4xy \ – \ 4y^2} + 3\sqrt[4]{x^4} = 6 + \sqrt{-x^2  \ + \ 4x \ – \ 4} \) ise \( x + y \) kaçtır?

\[ A) \ -3 \quad   B) \ -2 \quad   C) \ -1 \quad    D) \ 0 \quad  E) \ 1 \]

 

Çözüm:

 

\( \sqrt{-x^2 + 4xy \ – \  4y^2} + 3\sqrt[4]{x^4} = 6 + \sqrt{-x^2 + 4x \ – \ 4} \)

\( \Rightarrow \sqrt{- \ (x \ – \ 2y)^2} + 3 \cdot |x| = 6 + \sqrt{- \ (x  \ – \ 2)^2} \)

\( \Rightarrow \sqrt{-1} \cdot |x \ – \ 2y| + 3 \cdot |x| = 6 + \sqrt{-1} \cdot |x \ – \ 2| \)

\( x < 0 < y \) için \( x \ – \ 2y < 0 \), \( x < 0 \) ve \( x \ – \ 2 < 0 \) olduğundan,

\( \Rightarrow -(x \ – \ 2y)i \ – \ 3x = 6 \ – \ (x \ – \ 2)i \)

\( \Rightarrow -3x = 6 \text{ ve } \ – \ (x \ – \ 2y) = -(x \ – \ 2) \)

\( \Rightarrow x = -2 \quad \quad \quad x \ –  \ 2y = x \ – \ 2 \)

\( y = 1 \)  olur. O halde

\( x + y = -2 + 1 = -1 \text{ dir.} \)

\( \textbf{Cevap: C}  \)