Kutupsal Koordinatlar
Düzlem üzerinde, başlangıç noktalarından birbirine dikey olarak çizilen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sistemi deyip düzlemdeki bir P noktasını kartezyen koordinatlarda (x, y) ikilisi ile belirtiyoruz.
Şimdi de, kutup (orjin) adı verilen bir O noktası ile kutupsal eksen adı verilen Ox gibi bir eksen göz önüne alalım. Düzlemdeki bir P noktasını O ile birleştirelim. OP doğrusunun Ox ekseni ile yaptığı açıyı θ ile gösterelim.
|OP| = r ise r ve θ’nın bilinmesi ile P noktası belirtilebilir. r ile θ’ya P noktasının kutupsal koordinatları denir ve P(r, θ) ile gösterilir.
Örnekler:
Yandaki şekilde zAO dik üçgeninden,
\[
|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}, \qquad \tan \theta = \frac{b}{a}
\]
\[
\cos \theta = \frac{a}{|z|} \Rightarrow a = |z| \cos \theta
\]
\[
\sin \theta = \frac{b}{|z|} \Rightarrow b = |z| \sin \theta
\]
olur. a ve b ifadeleri \( z = a + bi \) de yerine yazılarak karmaşık sayıların kutupsal (trigonometrik) gösterimi elde edilir.
\[
z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \quad \text{dır. }
\]
Burada \( z = |z | cis \theta \) kısaltması yapılabilir. Mutlak değeri ve argümenti verilen bir karmaşık sayı kolaylıkla kutupsal şekilde yazılabilir.
Örnek:
\( z = -\sqrt{3} + i \) ise,
\[
\arg(z) = 150^\circ + 360^\circ \cdot k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
\[
\arg(z) = -210^\circ \quad (k = -1 \ \text{için})
\]
\[
\text{Arg}(z) = 150^\circ \quad (k = 0 \ \text{için esas argüment})
\]
Örnek:
\( z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) karmaşık sayısını kutupsal şekilde yazalım.
\[
|z| = \sqrt{ (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{2})^{2} } = 2
\]
\( z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) sayısı \( |z| \) ile parantezine alınırsa,
\[
z = 2\left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
\]
olur. \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) olduğundan,
\[
\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad
\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 45^\circ
\]
O halde,
\[
z = 2(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ) = 2\,\text{cis}\,45^\circ
\]
dir.
Örnek:
\( z = -\sqrt{3} + i \) karmaşık sayısını kutupsal şekilde yazalım.
\[
|z| = \sqrt{ (-\sqrt{3})^{2} + 1^{2} } = 2
\]
\( z = -\sqrt{3} + i \) sayısı \( |z| = 2 \) parantezine alınırsa,
\[
z = 2\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} \right)
\]
olur.
\( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) olduğundan,
\[
\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\qquad \text{ve } \quad
\sin\theta = \frac{1}{2}
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = \frac{5\pi}{6}
\]
O halde,
\[
z = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6})
= 2\,\text{cis}\,\frac{5\pi}{6}
\]
Örnek:
\( z = -1 – i \) karmaşık sayısını kutupsal şekilde yazalım.
\[
|z| = \sqrt{ (-1)^{2} + (-1)^{2} } = \sqrt{2}
\]
\( z = -1 \ – \ i \) sayısı \( |z| = \sqrt{2} \) parantezine alınırsa,
\[
z = \sqrt{2}\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right)
\]
olur.
\( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) olduğundan,
\[
\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad
\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 225^\circ
\]
O halde,
\[z = \sqrt{2}(\cos 225^\circ + i\sin 225^\circ ) = \sqrt{2} \text{cis}225° \]
Örnek:
\( z = 3 \ – \ 3\sqrt{3}\, i \) karmaşık sayısını kutupsal şekilde yazalım.
\[
|z| = \sqrt{ 3^{2} + (-3\sqrt{3})^{2} } = 6
\]
\( z = 3 \ – \ 3\sqrt{3}\, i \) sayısı \( |z| = 6 \) parantezine alınırsa,
\[
z = 6\left( \frac{3}{6} \ – \ \frac{3\sqrt{3}}{6} i \right)
= 6\left( \frac{1}{2} + i\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right)
\]
olur. \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) olduğundan,
\[
\cos\theta = \frac{1}{2}, \qquad
\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 300^\circ
\]
O halde,
\[
z = 6(\cos 300^\circ + i\sin 300^\circ)
= 6\,\text{cis}\,300^\circ
\]
dir.
Örnek:
\( z = -7i \) karmaşık sayısını kutupsal şekilde yazalım.
\[
|z| = \sqrt{0^{2} + (-7)^{2}} = 7
\]
\( z = -7i \) sayısı \( |z| \) parantezine alınırsa,
\[
z = 7(0 – i)
\]
olur. \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) olduğundan,
\[
\cos\theta = 0, \qquad \sin\theta = -1
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = 270^\circ
\]
O halde,
\[
z = 7(\cos 270^\circ + i\sin 270^\circ)
= 7\,\text{cis}\,270^\circ
\]
dir.
Örnek:
\( z = -5 \) karmaşık sayısını kutupsal şekilde yazalım.
\[
|z| = \sqrt{ (-5)^{2} + 0^{2} } = 5
\]
\( z = -5 \) sayısı \( |z| = 5 \) parantezine alınırsa,
\[
z = 5(-1 + 0i)
\]
olur. \( z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) \) olduğundan,
\[
\cos\theta = -1, \qquad \sin\theta = 0
\]
\[
\Rightarrow \text{Arg}(z) = \theta = \pi
\]
O halde,
\[
z = 5(\cos\pi + i\sin\pi)
= 5\,\text{cis}\,\pi
\]
dir.
Örnek:
Kutupsal koordinatları \( (\sqrt{2}, 45^\circ) \) olan karmaşık sayıyı bulalım.
\[
z = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)
\]
\[
= \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)
= 1 + i
\]
olarak bulunur.
SORU 22
\( z = 1 + \cos 36^\circ + i\sin 36^\circ \) karmaşık sayısının esas argümenti kaç derecedir?
\[ A) \ 9^\circ \quad B) \ 18^\circ \quad C) \ 36^\circ \quad D) \ 54^\circ \quad E) \ 72^\circ \]
Çözüm:
\[
z = 1 + \cos 36^\circ + i\sin 36^\circ
\]
\[
z = 1 + (-1 + 2\cos^{2}18^\circ) + i\,2\sin18^\circ\cos18^\circ
\]
\[
z = 2\cos18^\circ(\cos18^\circ + i\sin18^\circ)
\]
Buradan,
\[
|z| = 2\cos18^\circ, \qquad \text{Arg}(z) = \theta = 18^\circ
\]
\( \textbf{Cevap: B} \)
SORU 23
\( z = 1 + \cos 4\alpha + 2\cos 2\alpha + i\sin 4\alpha \) karmaşık sayısının argümenti nedir?
\[ A) \ \alpha \quad B) \ 2\alpha \quad C) \ 3\alpha \quad D) \ 4\alpha \quad E) \ 5\alpha \]
Çözüm:
\( z = 1 + \cos 4\alpha + 2 \cos 2\alpha + i \sin 4\alpha \) karmaşık sayısını
\( z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \) şeklinde yazalım.
\( z = 1 + \cos 4\alpha + 2 \cos 2\alpha + i \sin 4\alpha \)
\( \quad = 2 \cos^2 2\alpha + 2 \cos 2\alpha + i \, 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \)
\( \quad = 2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + 1 + i \sin 2\alpha) \)
\( \quad = 2 \cos 2\alpha (2 \cos^2 \alpha + i \, 2 \sin \alpha \cos \alpha) \)
\( \quad = 2 \cos 2\alpha \cdot 2 \cos \alpha (\cos \alpha + i \sin \alpha) \)
\( \quad = 4 \cos 2\alpha \cos \alpha (\cos \alpha + i \sin \alpha) \quad \text{olur.} \)
O halde,
\( |z| = 4 \cos 2\alpha \cos \alpha \quad \text{ve} \quad \text{arg}(z) = \theta = \alpha \quad \text{dir.} \)
\( \textbf{Cevap: A} \)
SORU 24
\( \alpha \) dar açı olduğuna göre, \( z = \tan \alpha – i \) karmaşık sayısının esas argümenti nedir?
\[ A) \ \alpha \quad B) \ 2\alpha \quad C) \frac{\pi}{2} + \alpha \quad D) \pi + \alpha \quad E) \ \frac{3\pi}{2} + \alpha \]
Çözüm:
\( z = \tan \alpha \ – \ i \) karmaşık sayısını
\( z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \) şeklinde yazalım.
\( z = \tan \alpha \ – \ i \Rightarrow z = \displaystyle \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \ – \ i \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ = \displaystyle \frac{\sin \alpha \ – \ i \cos \alpha}{\cos \alpha} \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ = \sec \alpha \left[ \cos\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha \right) \ – \ i \sin\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha \right) \right] \)
\( \cos(-\theta) = \cos \theta \) ve \( -\sin \theta = \sin(-\theta) \) olduğundan,
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ = \sec \alpha \left[ \cos\left( \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) \right] \quad \text{olur.} \)
O halde,
\( |z| = \sec \alpha \quad \text{ve} \quad \text{arg}(z) = \theta = \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \quad \text{dir.} \)
Burada \( \alpha \) dar açı olduğundan,
\( \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} < 0 \) olup esas argüment değildir.
Esas argüment ise,
\( \text{Arg}(z) = 2\pi + \alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} = \displaystyle \frac{3\pi}{2} + \alpha \)
\( \textbf{Cevap: E} \)
Örnek
\( \text{Arg}(z \ – \ 1 + i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \) eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\( z = x + yi \) olsun.
\( \text{Arg}(z \ – \ 1 + i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \text{Arg}(x + yi \ – \ 1 + i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \)
\( \Rightarrow \text{Arg}(x \ – \ 1 + (y + 1)i) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \)
\( x \ – \ 1 + (y + 1)i \) karmaşık sayılarının argümenti \( \displaystyle \frac{3\pi}{4} \) olduğundan,
\( x \ – \ 1 < 0 \quad \text{ve} \quad y + 1 > 0 \Rightarrow x < 1 \quad \text{ve} \quad y > -1 \quad \text{dir.} \)
Ayrıca,
\( \tan \displaystyle \frac{3\pi}{4} = \displaystyle \frac{y + 1}{x \ – \ 1} \Rightarrow -1 = \displaystyle \frac{y + 1}{x \ – \ 1} \)
\( \Rightarrow y = -x \quad (x < 1 \ \text{ve} \ y > -1) \ \text{olur.} \)
O halde,
\( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü AP yarı doğrusunu meydana getirir.
\( \text{Arg}(z \ – \ 1 + i) = \text{Arg}(z \ – \ (1 – i)) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \) şeklinde düzenlenirse A noktasının, \( 1 – i \) karmaşık sayısının görüntüsü olduğu görülür.
Sonuç:
\( a + bi \) karmaşık sayısının görüntüsü A noktası olsun.
\( \text{Arg}(z – (a + bi)) = \alpha \) eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü şekildeki AP yarı doğru parçasını meydana getirir.
Örnek:
\( \text{Arg}(z + 2 \ – \ i) = \displaystyle \frac{5\pi}{4} \) eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım.
\( \text{Arg}(z + 2 \ – \ i) = \displaystyle \frac{5\pi}{4} \Rightarrow \text{Arg}(z \ – \ (-2 + i)) = \displaystyle \frac{5\pi}{4} \)
olur.
O halde, \( -2 + i \) karmaşık sayısının görüntüsü A noktası ise \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü Ox ekseni ile pozitif yönde \( \displaystyle \frac{5\pi}{4} \) radyanlık
açı yapan AP yarı doğrusunu meydana getirir.
Örnek:
\( \text{Arg}(z \ – \ 2) – \text{Arg}(z + i) = \pi \) eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntülerini bulalım.
\( z = x + yi , \quad \text{Arg}(z – 2) = \alpha_1 \quad \text{ve} \quad \text{Arg}(z + i) = \alpha_2 \) olsun.
\( \text{Arg}(z \ – \ 2) = \alpha_1 \Rightarrow \text{Arg}(x + yi – 2) = \alpha_1 \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \Rightarrow \text{Arg}(x \ – \ 2 + yi) = \alpha_1 \quad \)
ve
\( \text{Arg}(z + i) = \alpha_2 \Rightarrow \text{Arg}(x + yi + i) = \alpha_2 \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \Rightarrow \text{Arg}(x + (y + 1)i) = \alpha_2 \)
\( \alpha_1 \ – \ \alpha_2 = \pi \) olduğundan,
\( \pi < \alpha_1 < \displaystyle \frac{3\pi}{2} \quad \text{ve} \quad 0 < \alpha_2 < \displaystyle \frac{\pi}{2} \quad \) veya
\( \displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha_1 < 2\pi \quad \text{ve} \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha_2 < \pi \quad \) olur.
\( x \ – \ 2 + yi \) karmaşık sayılarının argümenti
\( \alpha_1 \in \left( \pi , \displaystyle \frac{3\pi}{2} \right) \) ise,
\( x \ – \ 2 < 0 \quad \text{ve} \quad y < 0 \Rightarrow x < 2 \quad \text{ve} \quad y < 0 \quad \) dır.
\( x + (y + 1)i \) karmaşık sayılarının argümenti \( \alpha_2 \in \left( 0 , \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) \) ise,
\( x > 0 \quad \text{ve} \quad y + 1 > 0 \Rightarrow x > 0 \quad \text{ve} \quad y > -1 \quad \text{dir.} \)
O halde,
\( x < 2 \quad \text{ve} \quad x > 0 \Rightarrow 0 < x < 2 \)
\( y < 0 \quad \text{ve} \quad y > -1 \Rightarrow -1 < y < 0 \quad \text{olur.} \)
Ayrıca,
\( \tan(\alpha_1 – \alpha_2) = \tan \pi \)
\( \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{y}{x \ – \ 2} \ – \ \displaystyle \frac{y + 1}{x}}{1 + \displaystyle \frac{y}{x \ – \ 2} \cdot \displaystyle \frac{y + 1}{x}} = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{y}{x \ – \ 2} \ – \ \displaystyle \frac{y + 1}{x} = 0 \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \displaystyle \frac{xy \ – \ xy \ – \ x + 2y + 2}{(x \ – \ 2)x} = 0 \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Rightarrow y = \displaystyle \frac{x \ – \ 2}{2} \)
\( (0 < x < 2 \quad \text{ve} \quad -1 < y < 0) \quad \) olur.
O halde,
\( z \) karmaşık sayılarının görüntüsü (AB) yi meydana getirir.
Burada,
\( \displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha_1 < 2\pi \quad \text{ve} \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha_2 < \pi \quad \) için
\( x \ – \ 2 + yi \) karmaşık sayılarının argümenti
\( \alpha_1 \in \left( \displaystyle \frac{3\pi}{2} , 2\pi \right) \) ise,
\( x \ – \ 2 > 0 \quad \text{ve} \quad y < 0 \Rightarrow x > 2 \quad \text{ve} \quad y < 0 \quad \) dır.
\( x + (y + 1)i \) karmaşık sayılarının argümenti
\( \alpha_2 \in \left( \displaystyle \frac{\pi}{2} , \pi \right) \) ise,
\( x < 0 \quad \text{ve} \quad y + 1 > 0 \Rightarrow x < 0 \quad \text{ve} \quad y > -1 \quad \) dir.
O halde,
\( \left. \begin{array}{r} x > 2 \\ x < 0 \end{array} \right\} \Rightarrow \text{Ç} = \varnothing \quad \text{ve} \quad \left. \begin{array}{r} y < 0 \\ y > -1 \end{array} \right\} \Rightarrow -1 < y < 0 \)
olduğundan,
\( \alpha_1 \ – \ \alpha_2 \neq \pi \quad \) dir.
Örnek:
\( \text{Arg}(\overline{z}) + \text{Arg}(z + 2i) = \displaystyle \frac{\pi}{2} \) eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarının görüntüsünü bulalım.
\( z = x + yi , \quad \text{Arg}(\overline{z}) = \alpha_1 \quad \) ve \( \text{Arg}(z + 2i) = \alpha_2 \quad \text{olsun.} \)
\( \text{Arg}(\overline{z}) = \alpha_1 \Rightarrow \text{Arg}(x \ – \ yi) = \alpha_1 \quad \) ve
\( \text{Arg}(z + 2i) = \alpha_2 \Rightarrow \text{Arg}(x + yi + 2i) = \alpha_2 \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \Rightarrow \text{Arg}(x + (y + 2)i) = \alpha_2 \)
\( \alpha_1 + \alpha_2 = \displaystyle \frac{\pi}{2} \) olduğundan,
\( 0 < \alpha_1 < \displaystyle \frac{\pi}{2} \quad \text{ve} \quad 0 < \alpha_2 < \displaystyle \frac{\pi}{2} \quad \) olur.
\( x\ – \ yi \) karmaşık sayısının argümenti
\( \alpha_1 \in \left( 0 , \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) \) ise,
\( x > 0 \quad \text{ve} \quad -y > 0 \Rightarrow x > 0 \quad \text{ve} \quad y < 0 \quad \) dır.
\( x + (y + 2)i \) karmaşık sayılarının argümenti
\( \alpha_2 \in \left( 0 , \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) \) ise,
\( x > 0 \quad \) ve \( \quad y + 2 > 0 \Rightarrow x > 0 \quad \) ve \( \quad y > -2 \quad \) dir.
O halde,
\( x > 0 \)
\( y < 0 \quad \) ve \( \quad y > -2 \Rightarrow -2 < y < 0 \quad \) olur.
Ayrıca,
\( \cot(\alpha_1 + \alpha_2) = \cot \displaystyle \frac{\pi}{2} \)
\( \Rightarrow \displaystyle \frac{\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \ – \ 1}{\cot \alpha_1 + \cot \alpha_2} = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{x}{-y} \cdot \displaystyle \frac{x}{y + 2} \ – \ 1 = 0 \)
\( \Rightarrow \displaystyle \frac{x^2 + y^2 + 2y}{y \cdot (y + 2)} = 0 \)
\( \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y = 0 \)
\( \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = 1 \quad (x > 0 \quad \text{ve} \quad -2 < y < 0) \)
olur. O halde, \( z \) karmaşık sayılarının görüntüleri aşağıdaki şekilde görülen yarım çember yayını meydana getirir.
SORU 25
\[ \text{Arg} \left( \displaystyle \frac{z + i}{i} \right) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \]
eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayıları için \( \text{Re}(z) \ – \ \text{İm}(z) \) kaçtır?
\[ A) \ -1 \quad B) \ 0 \quad C) \ 1 \quad D) \ 2 \quad E) \ 3 \]
Çözüm:
\( z = x + yi \) olsun. \( \text{Re}(z) \ – \ \text{İm}(z) = x \ – \ y \) olur.
\( \text{Arg} \left( \displaystyle \frac{z + i}{i} \right) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \text{Arg} \left( \displaystyle \frac{x + yi + i}{i} \right) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \)
\( \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Rightarrow \text{Arg}(y + 1 \ – \ xi) = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \) olur.
Burada \( y + 1 \ – \ xi \) karmaşık sayılarının argümenti \( \displaystyle \frac{3\pi}{4} \) tür. Bu karmaşık sayılardan birini karmaşık düzlemde gösterelim.
Yandaki şekilde
\( \tan 45^\circ = \displaystyle \frac{-x}{-y \ – \ 1} \)
\( \Rightarrow x \ – \ y = 1 \) dir.
\( \textbf{Cevap: C} \)