Teilweises Wurzelziehen (Faktoren vor die Wurzel ziehen)

 

Faktoren unter der Wurzel, deren Exponent gleich dem Wurzelexponenten ist, können vor die Wurzel gezogen werden. Für \(n \in Z^+ \),

\[ \Large\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a, & \text{wenn } n \text{ ungerade ist} \\ |a|, & \text{wenn } n \text{ gerade ist} \end{cases} \]

 

Beispiele:

 

\( \bullet \sqrt[3]{ 125} = \sqrt[3]{5^3 } =5 \)

\( \bullet \sqrt[3]{ -8} = \sqrt[3]{(-2)^3 } =-2 \)

\( \bullet \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\left( \frac{1}{2} \right)^5} = \frac{1}{2} \)

\( \bullet \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = |2| = 2 \)

\( \bullet \sqrt{(\sqrt{3} – 2)^2} = \left| \sqrt{3} – 2 \right| \). Da hier \( \sqrt{3} – 2 < 0 \) ist,

gilt: \(| \sqrt{3} – 2| =- (\sqrt{3} – 2) = 2- \sqrt{3}\)

\( \bullet \sqrt[3]{2^6} = \sqrt[3]{(2^2)^3} = 4 \) oder \( \sqrt[3]{2^6} = 2^{ \frac{6}{3} } = 4 \)

\( \large\bullet \sqrt{\frac{27}{32} } = \sqrt{\frac{3 \cdot 3^2 }{2 \cdot 4^2} } = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{3}{2} } \)

\( \bullet \sqrt[3]{-162 } = \sqrt[3]{ 6 \cdot ( -27) } = \sqrt[3]{6 \cdot (-3)^3 } = -3 \sqrt[3]{ 6} \)

\( \bullet \sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{5 \cdot 2^4} = 2 \cdot \sqrt[4]{5 } \)

 

Frage 4

 

Berechne den Wert des folgenden Ausdrucks: \[\frac{ \sqrt[4]{243 } }{\sqrt[4]{ 0,0048} }\]

\[ \text{A)} 1 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 10 \quad \text{D) } 15 \quad \text{E)} 20 \]

 

Lösung:

 

\[ \frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{0,0048}} = \frac{\sqrt[4]{3 \cdot 3^4}}{\sqrt[4]{48 \cdot 10^{-4}}} = \frac{3 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3 \cdot 2^4 \cdot (10^{-1})^4}} \]

\[ = \frac{3 \cdot \sqrt[4]{3}}{2 \cdot 10^{-1} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15 \]

\(\textbf{Antwort: D} \)