Polinomlarda OBEB ve OKEK
Sabit olmayan iki veya daha fazla polinomun çarpımı şeklinde yazılamayan polinomlara asal polinomlar, sabit dışında ortak çarpanı olmayan polinomlara da aralarında asal polinomlar denir.
OKEK:
Örnek:
\( \bullet \quad P(x) = 2 \cdot (x^2 + x +1) , \quad Q(x) = x^2 + 2 \),
\(\bullet \quad R(x) = 3 \cdot (x + 7) \) polinomları asaldır.
\(\bullet \quad P(x) = 2 \cdot (x^2 – 4), \quad Q(x) = 2 \cdot (x^2 + 4) \) polinomları aralarında asaldır.
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere,
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarının her ikisiyle de tam bölünebilen en küçük dereceli (en az birinci dereceden) bir polinoma, bu iki polinomun ortak katlarının en küçüğü (OKEK) denir ve
\[
\text{OKEK} [P(x), Q(x)]
\]
şeklinde gösterilir.
Polinomlarda OKEK bulmak için, verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan derecesi en büyük olanlarla ortak olmayanların tümünün çarpımı OKEK’i verir.
Örnek:
\( P(x) = 3 \cdot (x^4 – x^2) , \quad Q(x) = 6 \cdot (x – 1)^2 \) polinomlarının OKEK’ini bulalım.
\[
P(x) = 3 \cdot x^2 \cdot (x – 1) \cdot (x + 1)
\]
\[
Q(x) = 2 \cdot 3 \cdot (x – 1)^2
\]
olduğundan,
\[
\text{OKEK} [P(x), Q(x)] = 3 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot (x + 1) \cdot (x – 1)^2
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\( P(x) = x^3 – 1 , \quad Q(x) = (x – 1)^3, \quad R(x) = x^2 – 1 \) polinomlarının OKEK’ini bulalım.
\[
P(x) = x^3 – 1 = (x – 1) \cdot (x^2 + x + 1)
\]
\[
Q(x) = (x – 1)^3, \quad R(x) = x^2 – 1 = (x – 1) \cdot (x + 1)
\]
olduğundan,
\[
\text{OKEK} [P(x), Q(x), R(x)]
\]
\[
= (x – 1)^3 \cdot (x^2 + x + 1) \cdot (x + 1)
\]
olarak bulunur.
OBEB:
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere,
\( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlarının her ikisini de tam bölebilen en büyük dereceli polinoma (en az birinci dereceden) bu iki polinomun ortak bölenlerinin en büyüğü (OBEB) denir ve
\[
\text{OBEB} [P(x), Q(x)]
\]
şeklinde gösterilir.
Polinomlarda OBEB bulmak için, verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan derecesi en küçük olanların çarpımı OBEB’i verir.
Örnek:
\( P(x) = 3x \cdot (x^4 – 16) \), \( Q(x) = 12 \cdot (x – 2)^2 \cdot x^3 \) polinomlarının OBEB’ini bulalım.
\[
P(x) = 3x \cdot (x^4 – 16) = 3 \cdot x \cdot (x – 2) \cdot (x + 2) \cdot (x^2 + 4)
\]
\[
Q(x) = 12 \cdot (x – 2)^2 \cdot x^3 = 3 \cdot 2^2 \cdot (x – 2)^2 \cdot x^3
\]
olduğundan,
\[
\text{OBEB} [P(x), Q(x)] = 3 \cdot x \cdot (x – 2)
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\( P(x, y) = x^3 y^3 – xy^5 \), \( Q(x, y) = x^5 y^2 + x^4 y^3 – 2x^3 y^4 \) polinomlarının OBEB’ini bulalım.
\[
P(x, y) = x^3 y^3 – x \cdot y^5 = x \cdot y^3 \cdot (x – y) \cdot (x + y)
\]
\[
Q(x, y) = x^5 y^2 + x^4 y^3 – 2x^3 y^4 = x^3 y^2 \cdot (x – y) \cdot (x + 2y)
\]
olduğundan,
\[
\text{OBEB} [P(x, y), Q(x, y)] = x \cdot y^2 \cdot (x – y)
\]
olarak bulunur.
Uyarı:
\( P(x) \) polinomu, aralarında asal \( P_1(x), P_2(x), \dots, P_n(x) \) polinomlarına tam bölünebiliyorsa, \( Q(x) = P_1(x) \cdot P_2(x) \cdots P_n(x) \) polinomuna da tam bölünür.
Örnek:
\( P(x) = x^5 + x^4 + ax^2 + bx + c \) polinomu
\( Q(x) = x^3 – 3x^2 + 2x \) ile tam bölünüyorsa \( a \) yı bulalım.
\[
Q(x) = x^3 – 3x^2 + 2x = x \cdot (x – 1) \cdot (x – 2)
\]
olduğundan, \( P(x) \) polinomu \( Q(x) \) ile tam bölünebildiğine göre \( x, x – 1 \) ve \( x – 2 \) ile de tam bölünür.
O halde,
\[
P(0) = 0^5 + 0^4 + a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0 \Rightarrow c = 0
\]
\[
P(1) = 1^5 + 1^4 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 \Rightarrow a + b = -2
\]
\[
P(2) = 2^5 + 2^4 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 0
\]
\[
P(2)= 32 + 16 + 4a + 2b+ c = 0 \Rightarrow 2a+b = -24
\]
elde edilen denklemler ortak çözülürse,
\[
a = -22
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\( P(x) = x^6 – x^5 + ax^3 + bx^2 – x + 2 \) polinomu, \( Q(x) = x^2 – x – 2 \) ile tam bölünüyorsa \( a \) yı bulalım.
\[
Q(x) = x^2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
\]
olduğundan,
\( P(x) \) polinomu \( Q(x) \) ile tam bölünebildiğine göre \( x – 2 \) ve \( x + 1 \) ile de tam bölünür.
\[
P(2) = 2^6 – 2^5 + a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 – 2 + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow 2a + b = -8
\]
\[
P(-1) = (-1)^6 – (-1)^5 + a(-1)^3 + b(-1)^2 – (-1) + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow -a + b = -5
\]
denklemleri ortak çözülürse \( a = -1 \) olarak bulunur.
← Önceki Sayfa | Sonraki Sayfa →