OBEB ve OKEK - İrfan Akademisi

OBEB (EBOB) ve OKEK

iki veya daha fazla sayıyı birlikte bölebilen en büyük tamsayıya bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü (OBEB i), iki veya daha fazla sayıya birlikte bölünebilen en küçük pozitif tamsayıya bu sayıların ortak katlarının en küçüğü (OKEK i) denir.

a ve b iki tamsayı olmak üzere bu iki sayının OBEB i; OBEB (a, b) veya obeb (a, b) ya da $(a, b)_{obeb}$ şeklinde ve bu iki sayının OKEK i; OKEK (a, b) veya okek (a, b) ya da $(a, b)_{okek}$ şeklinde gösterilir. Ayrıca, a < b olmak üzere,

$$OBEB (a, b)≤ a < b ≤ OKEK (a, b)$$ dir. Örnek:

18 ve 24 sayılarının OBEB ve OKEK ini bulalım.

18 in pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18 24 in pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 24

olduğundan bu iki sayının ortak pozitif bölenlerinin meydana getirdiği küme {1, 2, 3, 6} olur. Bu kümenin en büyük elemanı olan 6, 18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. (OBEB)

OBEB (18, 24) = 6 olarak bulunur.

18 in pozitif katları: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, …

24 ün pozitif katları: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, …

olduğundan 18 ve 24 sayılarının ortak pozitif katlarının kümesi de {72, 144,216, …} olur. Bu kümenin en küçük elemanı olan 72 ise, 18 ve 24 sayılarının ortak katlarının en küçüğüdür. (OKEK) $OKEK(18, 24)=72$ olarak bulunur.

Şimdi de 18 ve 24 ün obeb ve okek ini asal çarpanlar yardımıyla bulalım. \[ \begin{array}{r r|l} 18 & 24 & 2 \\ 9 & 12 & 2 \\ 9 & 6 & 2 \\ 9 & 3 & 3 \\ 3& 1 & 3 \\ 1 & & \\ \end{array} \] 18 ve 24 ün ikisini birden bölen sayılar $(18, 24)_{obeb}= 2\cdot 3=6$ $(18, 24)_{okek}= 2^3\cdot 3^2=72$ olarak bulunur.

Üçüncü bir yol alarak da 18 ve 24 ün asal çarpanlarına ayrılmış şeklinden faydalanarak bu iki sayının obeb ve okek ini bulalım. $18=2\cdot 3^2 = 2\cdot 3 \cdot 3$ $24=2^3\cdot 3 =2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

18 ve 24 ün ortak olan asal çarpanları 2 ve 3 tür. $ (18,24)_{obeb}=2\cdot 3=6 $

18 ve 24 ün ortak olan asal çarpanlarının ( 2 ve 3 ün) çarpımı 18 ve 24 ün obeb idir.

Başka bir ifadeyle ortak olan asal çarpanlardan üsleri en küçük olanlar çarpılarak obeb bulunmuştur $18= 2\cdot 3 \cdot 3$ $24= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ Buradan $(18, 24)_{okek}=3\cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 3^2 \cdot 2^3 =72 $ dir. 18 ve 24 ün asal çarpanlarından üssü en büyük olanlar çarpılarak okek bulunmuştur. Örnek:

27 ve 48 sayılarının obeb ve okek ini bulalım. ilk olarak asal çarpanlarına ayırarak obeb ve okek bulalım. \[ \begin{array}{r r|l} 27 & 48 & 2 \\ 27 & 24 & 2 \\ 27 & 12 & 2 \\ 27 & 6 & 2 \\ 27& 3 & 3 \to \text{27 ve 48 in ikisini birden bölen sayı}\\ 9& 1 & 3 \\ 3& & 3 \\ 1 & & \\ \end{array} \] \[ obeb\,\,(27, 48)=3\\ \] \[ okek\,\,(27,48)=2^4 \cdot 3^3=432\\ \]

Şimdi de 27 ve 48 in asal çarpanlarına ayrılmış şeklinden faydalanarak obeb ve okek i bulalım. Obeb bulunurken, 27 ve 48 in ortak olan asal çarpanlarından üssü en küçük olanların çarpımı (burada sadece 3), okek bulunurken 27 ve 48 in asal çarpanlarından üssü en büyük olanların çarpımı (burada 2 nin ortak olmadığı halde çarpıldığına dikkat edilmelidir) hesaplanmıştır. Uyarı:

1. Asal çarpanlarına ayrılmış sayıların: a) OBEB i bulunurken ortak olan asal çarpanlardan üsleri eşit olanlardan birer tanesi ile üsleri farklı olanlardan üsleri en küçük olanlar çarpılır. b) OKEK i bulunurken ortak olan asal çarpanlardan üsleri eşit olanlardan birer tanesi ile üsleri farklı olanlardan üsleri en büyük olanlar ve ortak olmayan asal çarpanların tümü çarpılır. 2. Aralarında asal sayıların obeb i 1, okek i ise bu sayıların çarpımına eşittir. 3. İki sayının obeb ile okek inin çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir. (Bu kural sadece iki sayı için geçerlidir) $$OBEB (a,b) \cdot OKEK (a,b)= a\cdot b$$ Örnek:

Her birinde farklı kalitede şeker bulunan üç ayrı çuvalın ağırlığı sırasıyla 48, 114 ve 150 kilogramdır. Bunlar hiç artmayacak şekilde ayrı ayrı ve eşit ağırlıkta mümkün olan en büyük torbalara doldurulacaktır. Buna göre, bu iş için kaç tane torba gerektiğini bulalım.

Farklı kalitedeki şekerler birbirlerine karıştırılmadan, mümkün olan en büyük ağırlıktaki torbalara doldurulacağından, 48, 114 ve 150 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğünü bulalım. \[ \begin{array}{r r r | l} 48 & 114 & 150 & 2\\ 24 & 57 & 75 & 2 \\ 12 & 57 & 75 & 2 \\ 6 & 57 & 75 & 2 \\ 3 & 57 & 75 & 3 \\ 1 & 19 & 25 & 5 \\ & 19 & 5 & 5 \\ & 19 & 1 & 19 \\ & 1 & & \\ \end{array} \] $(48, 114, 150)_{obeb}=2 \cdot 3 =6$ olduğundan her torbanın ağırlığı 6 Kilogram olmalıdır. Buradan $48:6= 8$ Torba $114:6= 19$ Torba $150:6= 25$ Torba olduğundan bu iş için 8 + 19 +25 = 52 Torba gerekmektedir

Örnek:

Boyutları $68 \times 100 m^2$ olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafı ağaçlandırılacaktır. Ağaçlar arasındaki mesafe eşit ve köşelerde mutlaka birer ağaç olmak şartıyla bu is için en az kaç tane fidan gerektiğini bulalım.

Fidanlar arasındaki mesafe eşit olmak şartıyla dikilecek fidan sayısı en az olacağına göre fidanlar arasındaki mesafe mümkün olduğu kadar büyük olmalıdır. Buna göre, 68 ve 100 ün obeb ini bulmalıyız. $68 = 2^2 \cdot 17$ ve $100= 2^2 \cdot 5^2 $ olduğundan $ (68,100)_{obeb}=4 $ bulunur. O halde fidanlar arasındaki mesafenin mümkün olabilen en büyük değeri 4 m dir.

Tarlanın çevresi: $2 \cdot (68 + 100) = 336 $ m dir. Buna göre, tarlanın çevresinin ağaçlandırılması için gerekli olan fidan sayısı en az $336 \div 4 = 84$ olarak bulunur. Örnek:

Metin, kalemlerini 4 er, 5 er ve 6 şar gruplandırdığında her defasında 3 kalem artıyor. Metin’in en az kaç tane kalemi olabilceğini bulalım. Metin’in kalemlerinin 3 eksiği 4 ün, 5 in ve 6 nın katları kadardır. Buna göre 4, 5 ve 6 nın en küçük ortak katını bulacak olursak, \[ \begin{array}{r r r | l} 4 & 5 & 6 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 2 \\ 1 & 5 & 3 & 2 \\ & 5 & 1 & 3 \\ & 5 & & 5\\ & 1 & & 5 \\\end{array} \] $(4,5,6)_{okek}= 60 $ tır

o halde, Metin’in kalemlerinin sayısının 3 eksiği en az 60 olabilir. Buna göre, Metin’in en az 63 tane kalemi olabilir. Soru 51:

80 lt, 100 lt ve 120 lt lik fıçılardaki sirke, birbirine karıştırılmadan eşit hacimli bidonlara doldurulacaktır. Buna göre, bu is için en az kaç bidon gereklidir? \[ \text{A)} 9 \quad \text{B) } 11 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 17 \quad \text{E) } 20 \] Çözüm:

Eşit hacimde, en az sayıda bidon gerektiğini göre bidonların hacmi 80, 100 ve 120 nin en büyük ortak böleni olmalıdır. $(80,100,120)_{obeb}=20$ dir. Bir bidonun hacmi 20 lt olduğundan $$ 80\div 20= 4$$ bidon $$100\div 20= 5$$ bidon $$120\div 20= 6$$ bidon Buna göre toplam $4+5+6= 15$ bidon gerekir. ${\textbf{Cevap: C}}$

Soru 52:

3, 4, 5 sayıları ile bölündüğünde sırası ile 1, 2, 3 kalanlarını veren en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır? \[ \text{A)} 5 \quad \text{B) } 7 \quad \text{C) } 8 \quad \text{D) } 10 \quad \text{E) } 13 \] Çözüm:

3, 4, 5 sayıları ile sırası ile 1, 2, 3 sayıları arasındaki fark 2 dir. O halde bulacağımız sayının 2 fazlası, 3, 4 ve 5 sayılarına tam bölünüyor demektir. Bulacağımız sayıya x denilirse, $$ x+2 =(3,4,5)_{okek}=3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 \Rightarrow x= 58 $$

3, 4 ve 5 aralarında asal sayılar olduğundan okek i bu sayıların çarpımına eşittir. 58 in rakamları toplamı 13 tür. ${\textbf{Cevap: E}}$

Soru 53:

Boyutları $4 \times 5 \times 6 \,\,cm^3$ olan dikdörtgenler prizması şeklindeki taşların kaç tanesi ile hacmi en küçük olan bir küp elde edilebilir.

\[ \text{A)} 2400 \quad \text{B) } 2250 \quad \text{C) } 2000 \quad \text{D) } 1800 \quad \text{E) } 1650 \] Çözüm:

Küpün hacmi en az olacağına göre, bir kenarının uzunluğu 4, 5ve 6 nın en küçük ortak katı olmalıdır. $ (4, 5, 6)_{okek}=60 $ tır.

Bu şekilde bir küp elde etmek için gerekli olan taş sayısı x olsun. Taşların toplam hacmi, küpün hacmine eşit olacağından $ x \cdot (4\cdot 5 \cdot 6) = 60 \cdot 60 \cdot 60 \Rightarrow 1800 $ bulunur. ${\textbf{Cevap: D}}$

Uyarı: $\Large{\frac{a}{b} }$ ve $ \Large{\frac{c}{d} }$ kesirlerinin OBEB ve OKEKİ : $OBEB ( \Large{\frac{a}{b} , \frac{c}{d}) } = \frac{OBEB(a.d \, , \, b.c )}{OKEK(b,d)} $ $OKEK ( \Large{\frac{a}{b} , \frac{c}{d}) } = \frac{OKEK(a.c )}{OBEB(b,d)} $ dir. Örnek: $\Large{\frac{6}{5} }$ ve $ \Large{\frac{12}{7} }$ kesirlerinin obeb ve okek ini bulalım. $OBEB\, ( \Large{\frac{6}{5} , \frac{12}{7}) } = \frac{OBEB\,(6 \cdot 7 \, , \, 12 \cdot 5 )}{OKEK\,(5,7)} $ $= \Large{\frac{OBEB\,(42 \cdot 60)}{OKEK(5,7)} } $ $OBEB \,( \Large{\frac{6}{5} , \frac{12}{7}) } = \frac{6}{35} $ $OKEK\, ( \Large{\frac{6}{5} , \frac{12}{7}) } = \frac{OKEK\,(6, 12 )}{OBEB\,(5,7)} $ $OKEK\, ( \Large{\frac{6}{5} , \frac{12}{7}) } = \frac{12}{1} =12 $ Soru 54: $ \frac{9}{5}, \quad \frac{12}{7}, \quad \frac{15}{11} $ sayıları ile bölündüğünde sonucu tam sayı olan en küçük doğal sayı kaçtır? \[ \text{A)} 90 \quad \text{B) } 180 \quad \text{C) } 240 \quad \text{D) } 270 \quad \text{E) } 360 \] Çözüm 1:

istenen tamsayı x olsun. \[ {\large \begin{array}{l l } \frac{x}{\frac{9}{5}} = \frac{5 \cdot x}{9} \in \mathbb{Z} \\ \frac{x}{\frac{12}{7}} = \frac{7 \cdot x}{12} \in \mathbb{Z} \\ \frac{x}{\frac{15}{11}} = \frac{11 \cdot x}{15} \in \mathbb{Z} \\ \end{array} } \] olduğuna göre x sayısı 9, 12 ve 15 in katı olmalıdır. Buna göre x in en küçük değeri $ x= (9,12,5)_{okek} = 180$ dir Çözüm 2: \[\begin{array}{l l } x = \text{OKEK} \left( \frac{9}{5}, \frac{12}{7}, \frac{15}{11} \right) = \frac{\text{OKEK}(9,12,15)}{\text{OBEB}\$5,7,11)}\\ x=180 \end{array}\] \({\textbf{Cevap: B}}$ Soru 55: 151 ve 171 sayılarını böldüğünde 11 kalanını veren en büyük sayı kaçtır? \[ \text{A)} 40 \quad \text{B) } 36 \quad \text{C) } 30 \quad \text{D) } 24 \quad \text{E) } 20 \] Çözüm: İstenen sayı x olsun

151 ve 171 in x e bölümünden kalan 11 olduğuna göre bu sayıların 11 eksiği yani 140 ve 160 sayıları x e kalansız bölünür. O halde 140 ve 160 i tam bölebilen en büyük sayı (x), bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Buna göre, \[\begin{array}{l l }x=OBEB(140,160)=20\end{array}\] ${\textbf{Cevap: E}}$ Uyarı: (Pratik YOL)

İki sayının OBEB ve OKEK i bulunurken aşağıdaki pratik yol izlenebilir: (Örnegin 36 ile 48 in OBEB ve OKEK ini bulalım)

1. Verilen iki sayıdan biri pay, diğeri payda olacak şekilde bir kesir yazılır. $ \Large{ \frac{36}{48}} $ 2. Elde edilen bu kesrin en sade şekli bulunarak oranti meydana getirilir $ \Large{ \frac{36}{48}= \frac{3}{4} } $

3. Elde edilen orantıda içler (veya dışlar) çarpılarak bu iki sayının okek i; birinci terim üçüncü terime (veya ikinci terim dördüncü terime) bölünerek de bu iki sayının obeb i bulunur. \[\begin{array}{l l } OKEK(36,48)=36 \cdot 4 \,\,\text{içler çarpımı} \\ OKEK(36,48)=48 \cdot 3 \,\, \text{dışlar çarpımı} \\ \\ \\ OBEB(36,48)=36 \cdot 3 \,\, \text{birinci terimin üçüncü Terime bölümü} \\ OBEB(36,48)=48 \cdot 4 \,\,\text{ikinci terimin dördüncü Terime bölümü} \\ \end{array}\] Buradan \[\begin{array}{l l }OKEK(36,48)=144\\OBEB(36,48)=36\end{array}\] olarak bulunur