Harmonik Ortalama
n nin, n tane sayının çarpmaya göre tersleri toplamına bölümüne bu sayıların harmonik ortalaması denir. \(x_1, x_2, x_3 \cdots x_n \) sayılarının harmonik ortalaması:
\[ \displaystyle\frac{n}{ \displaystyle\frac{1}{x_1} +\displaystyle \frac{1}{x_2} +\displaystyle \frac{1}{x_3} + …+ \displaystyle\frac{1}{x_n} } \]
\(x_1 \) ve \( x_2 \) sayılarının harmonik ortalaması
\[ \displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{x_1} + \displaystyle\frac{1}{x_2}} = \displaystyle\frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2} \]
Uyarı:
İki sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G ve harmonik ortalaması H olmak üzere,
\[ G^2 = A \cdot H \] ve \[ A >G < H \]
Soru 1
Negatif bir sayı ve bu sayının çarpmaya göre tersinin, aritmetik ortalaması ile harmonik ortalaması birbirine eşit ise bu sayı kaçtır?
\[
\text{A)} -1 \quad
\text{B) }-2 \quad
\text{C) } -3 \quad
\text{D) } -4 \quad
\text{E) } -5
\]
Çözüm:
Bu sayıya \( x \) dersek, çarpmaya göre tersi \( \frac{1}{x} \) olur. Buna göre
\[ \frac{x + \frac{1}{x} }{2} = \frac{2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} }{x + \frac{1}{x} } \Rightarrow (x + \frac{1}{x} )^2 = 4 \]
\[ \left| x + \frac{1}{x} \right| = 2 \]
\( x < 0 \) olduğundan \( x + \frac{1}{x} < 0 \) olur. Buradan,
\[ \Rightarrow x + \frac{1}{x} = -2 \]
\[ \Rightarrow \frac{x^2+1 }{x} = -2 \]
\[ \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0\]
\[ \Rightarrow x = -1 \]
\(\textbf{Cevab: A} \)
← Önceki Sayfa | Sonraki Sayfa →