Periyodik Fonksiyonlar
\( f : A \rightarrow B \ , \ y = f(x) \) fonksiyonunda,
\( \forall x \in A \) için \( \mathbf{f(x + T) = f(x)} \) eşitliğini sağlayan en az bir \( T \) reel sayısı varsa \( f \)’ye periyodik fonksiyon denir. \( T \)’ye fonksiyonun periyodu, \( T \)’nin en küçük değerine de esas periyot denir.
Örnek:
\( f \) ve \( g \) reel sayılarda periyodik fonksiyonlardır. \( f(x) = g(\displaystyle \frac{2x + 1}{3}) \) ve \( g(x) \)’in periyodu 6 olduğuna göre \( f(x) \)’in periyodunu bulalım.
\( f(x) \)’in periyodu \( T \) olsun.
\[ f(x + T) = f(x) \Rightarrow g(\displaystyle \frac{2(x + T) + 1}{3}) = g(\frac{2x + 1}{3}) \]
\[\Rightarrow g(\displaystyle \frac{2x + 1 + 2T}{3}) = g(\frac{2x + 1}{3}) \]
\[ \Rightarrow g(\displaystyle \frac{2x + 1}{3} + \frac{2T}{3}) = g(\frac{2x + 1}{3}) \]
burada \( g(x) \) fonksiyonunun periyodu 6 olduğundan
\[ \displaystyle \frac{2T}{3} = 6 \Rightarrow T = 9 \quad \text{dur } \]
Örnek:
\( f(x) = \cos (\displaystyle \frac{2x – 3}{5}) \) fonksiyonunun periyodunu bulalım.
\( f(x) \)’in periyodu \( T \) olsun.
\[ f(x + T) = f(x) \Rightarrow \cos (\displaystyle \frac{2(x + T) – 3}{5}) = \cos (\frac{2x – 3}{5}) \]
\[\Rightarrow \cos (\displaystyle \frac{2x – 3 + 2T}{5}) = \cos (\frac{2x – 3}{5}) \]
\[ \Rightarrow \cos (\displaystyle \frac{2x – 3}{5} + \frac{2T}{5}) = \cos (\frac{2x – 3}{5}) \]
\[ \Rightarrow \displaystyle \frac{2x – 3}{5} + \frac{2T}{5} = \frac{2x – 3}{5} + 2k\pi \]
\[ \Rightarrow \displaystyle \frac{2T}{5} = 2k\pi \Rightarrow T = 5k\pi \]
O halde \( k \in Z \) olduğundan esas periyot \( 5\pi \) dir.
Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu:
1)
\[ f(x) = p + q \sin^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \cos^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \sec^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \csc^n (ax + b)\]
fonksiyonlarının esas periyotları;
\[ \text{n tek sayı ise} \quad \frac{2\pi}{|a|} , \]
\[ \text{n çift sayı ise } \quad \displaystyle \frac{\pi}{|a|} \quad \text{dır. } \]
2)
\[ f(x) = p + q \tan^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \cot^n (ax + b) \]
fonksiyonlarının esas periyotları n’nin her tam sayı değeri için \( \displaystyle \frac{\pi}{|a|} \) dır.
3) \( g(x) \) trigonometrik fonksiyonunun periyodu \( T_1 \), \( h(x) \) trigonometrik fonksiyonunun periyodu \( T_2 \) olmak üzere,
a) \( f(x) = g(x) \pm h(x) \) şeklindeki fonksiyonların esas periyodu \( T = \text{OKEK} (T_1, T_2) \)
b) \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) şeklindeki fonksiyonların periyodu \( T = \text{OKEK} (T_1, T_2) \) dir. Ancak, \( f(x) = g_1(x) \pm h_1(x) \) şeklinde yazılabilirse; \( g_1(x) \)’in periyodu \( t_1 \), \( h_1(x) \)’in periyodu \( t_2 \) olmak üzere, \( f(x) \)’in esas periyodu \( t = \text{OKEK} (t_1, t_2) \) olur.
c) \( f(x) = \displaystyle \frac{g(x)}{h(x)} \) şeklindeki fonksiyonların periyodu \( T = \text{OKEK} (T_1, T_2) \) dir. Ancak, bulunan T periyodu esas periyot olmayabilir.
Örnekler:
- \( f(x) = 1 \, – \, 2 \sin^5 (3x \, – \, \displaystyle \frac{\pi}{3}) \) ise \( T = \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)
- \( f(x) = 3 \sec^4 (\displaystyle \frac{x}{2} + \pi) \) ise \( T = \displaystyle \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \)
- \( f(x) = 5 \tan (\, – \, 2x) \) ise \( T = \displaystyle \frac{\pi}{| \, – \, 2 |} = \frac{\pi}{2} \)
- \( f(x) = \cos^2 (\pi \, – \, \displaystyle \frac{2x}{3}) \) ise \( T = \displaystyle \frac{\pi}{| \, – \, \frac{2}{3} |} = \frac{3\pi}{2} \)
- \( f(x) = 3 + \cot^3 (x + \pi) \) ise \( T = \displaystyle \frac{\pi}{1} = \pi \) dir.
SORU 67
\( f(x) = 3 + 2 \tan \displaystyle \frac{x}{2} \, – \, \cot^2 (\, – \, x) + \sin^3 (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) \) fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A) \ \pi \quad B) \ 2\pi \quad C) \ 4\pi \quad D) \ 6\pi \quad E) \ 8\pi \]
Çözüm:
\( 2 \tan \displaystyle \frac{x}{2} \) nin esas periyodu \( T_1 = \displaystyle \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \)
\( \cot^2 (\, – \, x) \) in esas periyodu \( T_2 = \displaystyle \frac{\pi}{| \, – \, 1 |} = \pi \)
\( \sin^3 (\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) \) ün esas periyodu \( T_3 = \displaystyle \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi \)
olduğundan, \( f(x) \) in esas periyodu \( T = \text{OKEK} (T_1, T_2, T_3) = 6\pi \) dir.
\( \textbf{Cevap: D} \)
SORU 68
\( f(x) = \cos 5x \cdot \cos 3x \) fonksiyonunun esas periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A) \ \pi \quad B) \ \frac{3\pi}{2} \quad C) \ 2\pi \quad D) \ 3\pi \quad E) \ \frac{7\pi}{2} \]
Çözüm:
\( f(x) = \cos 5x \cdot \cos 3x \)
\( \Rightarrow f(x) = \displaystyle \frac{1}{2} (\cos 8x + \cos 2x) \)
\( \cos 8x \) in esas periyodu \( T_1 = \displaystyle \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \)
\( \cos 2x \) in esas periyodu \( T_2 = \displaystyle \frac{2\pi}{2} = \pi \)
olduğundan \( f(x) \) in esas periyodu \( T = \text{OKEK} (T_1, T_2) = \pi \) dir.
\( \textbf{Cevap: A} \)
SORU 69
\( f(x) = \displaystyle \frac{1 + \tan x}{\cos 2x} + \cot \frac{x}{2} \) fonksiyonunun periyodu aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A) \ 2\pi \quad B) \ 3\pi \quad C) \ 5\pi \quad D) \ 7\pi \quad E) \ 9\pi \]
Çözüm:
\( 1 + \tan x \) in esas periyodu \( T_1 = \displaystyle \frac{\pi}{1} = \pi \)
\( \cos 2x \) in esas periyodu \( T_2 = \displaystyle \frac{2\pi}{2} = \pi \)
\( \cot \displaystyle \frac{x}{2} \) in esas periyodu \( T_3 = \displaystyle \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \)
\( f(x) \) in periyodu \( T = \text{OKEK} (T_1, T_2, T_3) = 2\pi \) dir.
\( \textbf{Cevap: A} \)