Bir Fonksiyonun Tersi
\[
f: A \to B, \quad f = \{ (x, y) \mid x \in A \text{ ve } y \in B \}
\]
bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
\[
f^{-1}: B \to A, \quad f^{-1} = \{ (y, x) \mid (x, y) \in f \}
\]
fonksiyonuna \( f \)’nin ters fonksiyonu.
\( (x, y) \in f \Leftrightarrow (y, x) \in f^{-1} \) olduğundan,
\( y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) \) dir.
\( f: A \to B \) bire bir ve örten fonksiyon ise,
\( f^{-1}: B \to A \) de bire bir ve örten bir fonksiyondur.
Ayrıca,
\( (f^{-1})^{-1} = f \) dir.
\( f: A \to B \) bire bir ve örten bir fonksiyon değilse,
\( f^{-1} \), \( B \) den \( A \) ya fonksiyon olmayıp, sadece bir bağıntıdır.
Örnek:
\[ f: A \to B \quad \text{içine fonksiyon, } \quad f^{-1} \quad \text{ise B den A ya bir bağıntıdır.} \]
Örnek:
\( f: A \to B \)
\( f = \{ (1, b), (2, a), (3, c), (4, d) \} \) ve
\( f^{-1}: B \to A \)
\( f^{-1} = \{ (b, 1), (a, 2), (c, 3), (d, 4) \} \) dir.
Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunuşu:
\( y = f(x) \) şeklindeki bir fonksiyonun tersini bulmak için,
\( y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) \) olduğundan,
\( x, y \) cinsinden bulunur ve \( x \) ile \( y \) nin yerleri değiştirilir.
Örnekler:
\( \bullet \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{x – 1}{2} \) ise \( f^{-1}(x) \) i bulalım.
\[
y = f(x) = \frac{x – 1}{2} \Rightarrow x = 2y + 1
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(y) = 2y + 1
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = 2x + 1 \quad \text{olur.}
\]
\( \bullet \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^3 + 1 \) ise \( f^{-1}(x) \) i bulalım.
\[
y = f(x) = x^3 + 1 \Rightarrow x = f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y – 1}
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x – 1} \quad \text{olur.}
\]
\(\bullet \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 \) ise \( f^{-1}(x) \) i bulalım.
\[
y = f(x) = x^2 \Rightarrow x = f^{-1}(y) = \pm \sqrt{y}
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \pm \sqrt{x} \quad \text{olur.}
\]
Burada \( f \) fonksiyonu bire bir ve örten olmadığından \( f^{-1} \) in fonksiyon olmayıp sadece bir bağıntı olduğu şekilde görülmektedir.
\( \bullet \quad \) Tanım kümesi \( \mathbb{R} – \{3\} \) olan \( f(x) = \frac{-x}{x – 3} \) fonksiyonunun, ters fonksiyonunu ve değer kümesini bulalım.
\[
y = f(x) = \frac{-x}{x – 3} \Rightarrow xy – 3y = x
\]
\[
\Rightarrow xy – x = 3y
\]
\[
\Rightarrow x(y – 1) = 3y
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(y) = \frac{3y}{y – 1}
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{3x}{x – 1}
\]
Bağıntısının fonksiyon olması için, \( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \) olmalıdır. Ayrıca \( f^{-1} \) in tanım kümesi, \( f \) in değer kümesi olup \( \mathbb{R} – \{1\} \) dir.
Uyarı:
\[
f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}
\]
bire bir ve örten fonksiyonunda \( a \) ile \( d \) nin yerleri ve işaretleri değiştirilip pratik olarak,
\[
f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx – a}
\]
şeklinde bulunur.
Ayrıca \( f(x) = f^{-1}(x) \) olması için \( a = -d \) olmalıdır.
Örnek:
\[
f: \mathbb{R} – \{3\} \to \mathbb{R} – \{2\}, \quad f(x) = \frac{2x – 1}{x – 3}
\]
fonksiyonu verilsin.
\[
f^{-1}(x) = \frac{3x – 1}{x – 2}
\]
dir.
SORU 21
\[
f(x) = \frac{mx + 5}{x – 1}
\]
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
\[
f(x) = f^{-1}(x)
\]
olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
\[
\text{A)} -1 \quad
\text{B) } 0 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]
Çözüm:
\[
f(x) = f^{-1}(x)
\]
\[
\Rightarrow \frac{mx + 5}{x – 1} = \frac{x + 5}{x – m}
\]
\[
\Rightarrow m = 1 \quad \text{dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
Uyarı:
\[
y = f(x) = ax^2 + bx + c
\]
şeklindeki fonksiyonların tersini bulurken \( x \) i \( y \) cinsinden bulmak için
\( ax^2 + bx + c \) üç terimlisi tam kareye tamamlanır.
Örnek:
Şekilde grafiği verilen,
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}
\]
\[
f(x) = x^2 – 2x + 3
\]
fonksiyonu bire bir ve örten olmadığından bu fonksiyonun tersi fonksiyon değildir.
Örneğin \( x \geq 1 \) ve \( y \geq 2 \) için \( f \) fonksiyonu bire bir ve örten olup \( f^{-1} \) de fonksiyondur. O halde,
\[
f: [1, \infty) \to [2, \infty), \quad f(x) = x^2 – 2x + 3
\]
için,
\[
y = f(x) = x^2 – 2x + 3
\]
\[
\Rightarrow y = x^2 – 2x + 1 + 2
\]
\[
\Rightarrow y = (x – 1)^2 + 2
\]
\[
\Rightarrow y – 2 = (x – 1)^2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{y – 2} = |x – 1|
\]
\( x \geq 1 \) olduğundan,
\[
\Rightarrow \sqrt{y – 2} = x – 1
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(y) = \sqrt{y – 2} + 1
\]
\[
\Rightarrow f^{-1}(x) = \sqrt{x – 2} + 1 \quad \text{olur.}
\]
Uyarı:
\( y = f(x) \) bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.
\( f^{-1}(x) \) te bir elemanın görüntüsünü bulmak için, \( f^{-1}(x) \) i bulmaya gerek yoktur.
Örnek:
\[
f(x) = \frac{2x^2 + x + 1}{x^2 + 1}
\]
fonksiyonu verilsin.
Uygun şartlarda \( f^{-1}(2) \) yi bulalım.
\[
x = f^{-1}(y) \Leftrightarrow y = f(x) \quad \text{olduğundan,}
\]
\[
x = f^{-1}(2) \Leftrightarrow 2 = f(x) \quad \text{olacaktır. O halde,}
\]
\[
2 = \frac{2x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \Rightarrow 2x^2 + 2 = 2x^2 + x + 1
\]
\[
\Rightarrow x = f^{-1}(2) = 1 \quad \text{dir.}
\]
SORU 22
\( f(x) = x^3 + ax + a \) fonksiyonu veriliyor. Uygun şartlarda \( f^{-1}(5) = 1 \) ise \( a \) kaçtır?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[
y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) \quad \text{dir.}
\]
O halde,
\[
f^{-1}(5) = 1 \Rightarrow 5 = f(1)
\]
\( f(x) = x^3 + ax + a \) olduğundan,
\[
5 = 1 + a + a
\]
\[
\Rightarrow a = 2 \quad \text{dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
Ters Fonksiyonun Grafiği:
\( y = f(x) \) fonksiyonun grafiği ile \( y = f^{-1}(x) \) ters fonksiyonunun grafiği
\( y = x \) doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
Örnek:
Örnek:
\( f^{-1}(1) + f^{-1}(-1) \quad \text{toplamının değerini bulalım.} \)
\[
y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) \quad \text{olduğundan,}
\]
\[
1 = f(2) \Rightarrow 2 = f^{-1}(1)
\]
\[
-1 = f(-3) \Rightarrow -3 = f^{-1}(-1)
\]
\[
f^{-1}(1) + f^{-1}(-1) = 2 – 3 = -1 \quad \text{dir.}
\]