Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayının sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıya bu karmaşık sayının eşleniği denir.
\[ a + bi \quad \text{ve} \quad a \ – \ bi \quad \text{olsun.} \]
sayılarından biri diğerinin eşleniğidir. \( z \) karmaşık sayısının eşleniği \( \overline{z} \) şeklinde gösterilir.
\[ z = a + bi \Leftrightarrow \overline{z} = a \ – \ bi \quad \text{dir.} \]
Bir karmaşık sayının görüntüsü ile eşleniğinin görüntüsü reel eksene göre simetriktir.
Örnekler:
- \( z = 2 \ – \ i \) ise \( \overline{z} = 2 + i \)
- \( z = -3 + i \) ise \( \overline{z} = -3 \ – \ i \)
- \( z = 2 \ – \ \sqrt{-7} \) ise \( z = 2 \ – \ \sqrt{7} \ i \) ve \( \overline{z} = 2 + \sqrt{7} \ i \)
- \( z = -\sqrt{-9} \) ise \( z = -3i \) ve \( \overline{z} = 3i \)
- \( z = i \ – \ 5 \) ise \( \overline{z} = -i \ – \ 5 \) dir.
Özellikler:
1. \( \overline{(\overline{z})} = z \)
2. \( \overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \)
3. \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \)
4. \( \overline{(z_1 : z_2)} = \overline{z_1} : \overline{z_2} \quad (z_2 \neq 0) \)
5. \( \overline{(z^n)} = (\overline{z})^n \quad (n \in \mathbb{Z}) \) dir.
Örnekler:
- \( \overline{z_1 : (z_2 + z_3)} = \overline{z_1} : \overline{(z_2 + z_3)} = \overline{z_1} : (\overline{z_2} + \overline{z_3}) \)
- \( \overline{z_1 \cdot (z_2 – z_3)} = \overline{z_1} \cdot \overline{(z_2 \ – \ z_3)} = \overline{z_1} \cdot (\overline{z_2} \ – \ \overline{z_3}) \) dir.
Bir Karmaşık Sayı ile Eşleniğinin Çarpımı
\[ z = a + bi \quad \text{ve } \quad \overline{z} = a \ – \ bi \quad \text{olsun.} \]
\( z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a \ – \ bi) = a^2 \ – \ (bi)^2 \)
\( = a^2 \ – \ b^2 i^2 \)
\( = a^2 + b^2 \) olur. O halde,
\( z = a + bi \) olmak üzere,
\[ z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 \quad \text{dir.} \]
Örnekler:
- \( z = -2 + \sqrt{2}i \) ise,
\( z \cdot \overline{z} = (-2)^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 \)
- \( (\sqrt{3} \ – \ \sqrt{2}i)(\sqrt{3} + \sqrt{2}i) \)
\( = (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2 = 5 \)
- \( z = \sqrt{2} + 1 + i \) ise,
\( z \cdot \overline{z} = (\sqrt{2} + 1 + i)(\sqrt{2} + 1 \ – \ i) \)
\( = (\sqrt{2} + 1)^2 + 1^2 = 4 + 2\sqrt{2} \quad \text{dir.} \)
Uyarı:
Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin diskriminantı (\( \Delta \)) negatif ise bu denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir.*
\( a, b, c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin bir kökü \( x + yi \) ise diğeri de \( x \ – \ yi \) dir.
Örnek:
\( x^2 \ – \ 2x + 2 = 0 \) denkleminin köklerinin birbirinin eşleniği olduğunu gösterelim.
\( \Delta = (-2)^2 \ – \ 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0 \)
\( x_{1,2} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \displaystyle \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i \)
\( x_1 = 1 + i, \quad x_2 = \overline{x_1} = 1 \ – \ i \quad \text{dir.} \)
SORU 6
Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi
\[ \sqrt{2} \ – \ \sqrt{3} \ – \ \sqrt[4]{24}i \]
ise bu denklemin köklerinin çarpımı nedir?
\[ A) \ 1 \quad B) \ 2 \quad C) \ 3 \quad D) \ 4 \quad E) \ 5 \]
Çözüm:
Bu denklemin kökleri birbirinin eşleniği olacağından,
\( (\sqrt{2} – \sqrt{3} – \sqrt[4]{24}i)(\sqrt{2} – \sqrt{3} + \sqrt[4]{24}i) \)
\( \quad = (\sqrt{2} – \sqrt{3})^2 + (\sqrt[4]{24})^2 \)
\( \quad = 2 + 3 – 2\sqrt{6} + \sqrt{24} \)
\( \quad = 5 – 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 5 \quad \text{tir.} \)
\( \textbf{Cevap: E} \)
SORU 7
\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^3 – ax^2 + 7x – b = 0 \) denkleminin köklerinden ikisi 1 ile \( 1 – 2i \) olduğuna göre, \( a + b \) toplamının değeri kaçtır?
\[ A) \ 5 \quad B) \ 6 \quad C) \ 7 \quad D) \ 8 \quad E) \ 9 \]
Çözüm:
\( x^3 – ax^2 + 7x – b = 0 \) denkleminin üçüncü kökü \( \overline{1 – 2i} = 1 + 2i \) olur. O halde,
\( x_1 = 1 , \quad x_2 = 1 – 2i , \quad x_3 = 1 + 2i \quad \text{dir.} \)
Buna göre,
\( \begin{array}{l@{\quad \quad \quad \quad}l}
x_1 + x_2 + x_3 = a & x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = b \\
\Rightarrow 1 + 1 – 2i + 1 + 2i = a & \Rightarrow 1 \cdot (1 – 2i)(1 + 2i) = b \\
\Rightarrow a = 3 & \Rightarrow b = 5 \quad \text{bulunur.}
\end{array} \)
\( a + b = 3 + 5 = 8 \quad \text{dir.} \)
\( \textbf{Cevap: D} \)