Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
1. Toplama – Çıkarma:
Karmaşık sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yaparken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır.
Örnekler:
- \( (3 – 3\sqrt{2}i) + (2 + 2\sqrt{2}i) \)
\( = (3 + 2) + (-3\sqrt{2} + 2\sqrt{2})i \)
\( = 5 \ – \ \sqrt{2}i \)
- \( \Rightarrow (\sqrt{5} \ – \ \sqrt{3} + \sqrt{2}i) \ – \ (\sqrt{3} \ – \ \sqrt{5} + \sqrt{2}i) \)
\( = \sqrt{5} \ – \ \sqrt{3} + \sqrt{2}i \ – \ \sqrt{3} + \sqrt{5} \ – \ \sqrt{2}i = 2(\sqrt{5} \ – \ \sqrt{3}) \)
- \( -3 \ – \ \sqrt{-4} ) + ( 4 + \sqrt{-16} ) \)
\( \left( -3 \ – \ \sqrt{-4} \right) + \left( 4 + \sqrt{-16} \right) \)
\( = \left( -3 \ \ – \ \ 2i \right) + \left( 4 \ \ + \ \ 4i \right) \)
\( = 1 + 2i \) dir.
2. Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi yaparken çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılır.
Örnekler:
- \(\left( 3 + 2i \right)\left( 4 \ \ – \ \ 5i \right)\)
\( = 3\cdot 4 \ \ – \ \ 3\cdot 5i \ \ + \ \ 4\cdot 2i \ \ – \ \ 5i\cdot 2i \)
\( = 12 \ \ – \ \ 15i \ \ + \ \ 8i \ \ + \ \ 10 \)
\( = 22 \ \ – \ \ 7i \)
- \(\left( \sqrt{2} + 2i \right)\left( 2 + \sqrt{2} i \right)\)
\( = 2\sqrt{2} + \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} i + 2\cdot 2i + 2i\cdot \sqrt{2} i \)
\( = 2\sqrt{2} + 2i + 4i \ \ – \ \ 2\sqrt{2} \)
\( = 6i \)
- \( \sqrt{-7} \cdot \sqrt{-21} \cdot \sqrt{-3} \)
\( = \sqrt{7}i \cdot \sqrt{21}i \cdot \sqrt{3}i \)
\( = \sqrt{7\cdot 21\cdot 3}\ i^{3} \)
\( = \ -21i \) dir.
3. Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi yaparken pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır.
Örnekler:
- \(\displaystyle \frac{ 2 \ \ – \ \ i }{ 3 \ \ – \ \ 2i }\)
\( = \displaystyle \frac{ \left( 2 \ \ – \ \ i \right)\left( 3 \ \ + \ \ 2i \right) }{ \left( 3 \ \ – \ \ 2i \right)\left( 3 \ \ + \ \ 2i \right) } \)
\( = \displaystyle \frac{ 2\cdot 3 + 2\cdot 2i \ \ – \ \ 3i \ \ – \ \ i\cdot 2i }{ 3^{2} + \left( -2 \right)^{2} } \)
\( = \displaystyle \frac{ 8 + i }{ 13 } \)
- \( \displaystyle \frac{ \sqrt{3} \ \ – \ \ \sqrt{2} i }{ \sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{3} i } \)
\( = \displaystyle \frac{ \left( \sqrt{3} \ \ – \ \ \sqrt{2} i \right)\left( \sqrt{2} \ \ + \ \ \sqrt{3} i \right) }{ \left( \sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{3} i \right)\left( \sqrt{2} \ \ + \ \ \sqrt{3} i \right) } \)
\( = \displaystyle \frac{ \sqrt{6} + 3i \ \ – \ \ 2i + \sqrt{6} }{ (\sqrt{2})^{2} + (\sqrt{3})^{2} } \)
\( = \displaystyle \frac{ 2\sqrt{6} + i }{ 5 } \)
- \( \displaystyle \frac{1}{1 \ \ + \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i} \)
\( \displaystyle \frac{1 \cdot \left( 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i \right)}{ \left( 1 \ \ + \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i \right)\left( 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i \right) } \)
\( \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i }{ 1^{2} \ \ + \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})^{2} } \)
\( \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})i }{ 4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2} } \) dir.
SORU 8
\[ z \ \ – \ \ \sqrt{2} = (\sqrt{2}z \ \ + \ \ 1)i \]
ise \( z \) karmaşık sayısının sanal kısmı nedir?
\[ A) \ 1 \quad B) \ 0 \quad C) \ 1 \quad D) \ 2 \quad E) \ 3 \]
Çözüm:
\(
z \ \ – \ \ \sqrt{2} = (\sqrt{2}z \ \ + \ \ 1)i \Rightarrow z \ \ – \ \ \sqrt{2} = \sqrt{2}z i \ \ + \ \ i
\)
\(
\Rightarrow z \ \ – \ \ \sqrt{2}z i = \sqrt{2} \ \ + \ \ i
\)
\(
\Rightarrow z(1 \ \ – \ \ \sqrt{2}i) = \sqrt{2} \ \ + \ \ i
\)
\(
\Rightarrow z = \displaystyle \frac{ \sqrt{2} \ \ + \ \ i }{ 1 \ \ – \ \ \sqrt{2}i }
\)
\(
\Rightarrow z = \displaystyle \frac{ (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)(1 \ \ + \ \ \sqrt{2}i) }{ (1 \ \ – \ \ \sqrt{2}i)(1 \ \ + \ \ \sqrt{2}i) }
\)
\(
\Rightarrow z = \displaystyle \frac{ \sqrt{2} \ \ + \ \ 2i \ \ + \ \ i \ \ – \ \ \sqrt{2} }{ 1^{2} \ \ + \ \ (-\sqrt{2})^{2} } = \displaystyle \frac{ 3i }{ 3 } = i
\)
olduğundan \( \mathrm{Im}(z) = 1 \) dir.
\( \textbf{Cevap: C} \)
SORU 9
\( \mathrm{Im}(z) \neq 0 \) olmak üzere,
\( z^{2} \ \ – \ \ 2\bar{z} \ \ – \ \ 2 = 0 \) eşitliğini sağlayan \( z \) karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A) \ 1 + i \quad B) \ -1 + i \quad C) \ 2 + i \quad D) \ 2 \ – \ i \quad E) \ -2 \ – \ i \]
Çözüm:
\( z = a \ \ + \ \ bi \) ise \( \bar{z} = a \ \ – \ \ bi \) olur.
\( z^{2} \ \ – \ \ 2\bar{z} \ \ – \ \ 2 = 0\)
\( \Rightarrow (a \ \ + \ \ bi)^{2} \ \ – \ \ 2(a \ \ – \ \ bi) \ \ – \ \ 2 = 0 \)
\( \Rightarrow a^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ + \ \ 2abi \ \ – \ \ 2a \ \ + \ \ 2bi \ \ – \ \ 2 = 0 \)
\( \Rightarrow ( a^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2a \ \ – \ \ 2 \ \ + \ \ (2ab \ \ + \ \ 2b)i = 0 \)
\( \Rightarrow a^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2ab \ \ – \ \ 2 = 0 \) ve \( 2ab \ \ + \ \ 2b = 0 \)
\( 2b(a \ \ + \ \ 1) = 0 \)
\( a = -1 \) ( \( b \neq 0 \) )
\( \Rightarrow (-1)^{2} \ \ – \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2\cdot(-1)\cdot b \ \ – \ \ 2 = 0 \)
\( \Rightarrow b^{2} \ \ – \ \ 2b \ \ + \ \ 1 = 0 \)
\( \Rightarrow b = 1 \) olur. O halde \( z = -1 \ \ + \ \ i \) dir.
\( \textbf{Cevap: B} \)
SORU 10
\[ \displaystyle \frac{ 2z\bar{z} }{ z \ \ + \ \ \bar{z} } = i(\bar{z} \ \ – \ \ z) \]
ise, \( Re(z) \ – \ Im(z) \) farkı kaça eşittir?
\[ A) \ 0 \quad B) \ 1 \quad C) \ 2 \quad D) \ 3 \quad E) \ 4 \]
Çözüm:
\( z = a \ \ + \ \ bi \) ise \( \bar{z} = a \ \ – \ \ bi \) olur.
\(
\displaystyle \frac{ 2z\bar{z} }{ z \ \ + \ \ \bar{z} } = i(\bar{z} \ \ – \ \ z) \Rightarrow \frac{ 2(a^{2} \ \ + \ \ b^{2}) }{ a \ \ + \ \ bi \ \ + \ \ a \ \ – \ \ bi } = i(a \ \ – \ \ bi \ \ – \ \ (a \ \ + \ \ bi))
\)
\(
\Rightarrow \displaystyle \frac{ a^{2} \ \ + \ \ b^{2} }{ a } = i(-2bi)
\)
\(
\Rightarrow \displaystyle \frac{ a^{2} \ \ + \ \ b^{2} }{ a } = 2b
\)
\(
\Rightarrow a^{2} \ \ + \ \ b^{2} \ \ – \ \ 2ab = 0
\)
\(
\Rightarrow (a \ \ – \ \ b)^{2} = 0
\)
⇒ \( a \ \ – \ \ b = 0 \)
O halde, \( Re(z) \ – \ Im(z) = 0 \) dır.
\( \textbf{Cevap: A} \)
SORU 11
\[ P(x) = x^{4} \ \ – \ \ 3x^{3} \ \ + \ \ 4x^{2} \ \ + \ \ 2x \]
ise \( P(1 \ \ + \ \ i) \) aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A) \ 1+i \quad B) \ 2+2i \quad C) \ 3+3i \quad D) \ 4+4i \quad E) \ 5+5i \]
Çözüm:
\( P(x) = x^{4} \ \ – \ \ 3x^{3} \ \ + \ \ 4x^{2} \ \ + \ \ 2x \)
\( \Rightarrow P(x) = x(x^{3} \ \ – \ \ 3x^{2} \ \ + \ \ 4x \ \ + \ \ 2) \)
\( \Rightarrow P(x) = x(x^{3} \ \ – \ \ 3x^{2} \ \ + \ \ 3x \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ x \ \ + \ \ 3) \)
\( \Rightarrow P(x) = x[(x \ \ – \ \ 1)^{3} \ \ + \ \ x \ \ + \ \ 3] \)
\( \Rightarrow P(1 \ \ + \ \ i) = (1 \ \ + \ \ i)\left((1 \ \ + \ \ i \ \ – \ \ 1)^{3} \ \ + \ \ 1 \ \ + \ \ i \ \ + \ \ 3\right) \)
\( \Rightarrow P(1 \ \ + \ \ i) = (1 \ \ + \ \ i)(i^{3} \ \ + \ \ 4 \ \ + \ \ i) \)
\( \Rightarrow P(1 \ \ + \ \ i) = 4 \ \ + \ \ 4i \) dir.
\( \textbf{Cevap: D} \)
SORU 12
\[ \displaystyle \frac{ \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} }{ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-6} } \] işleminin sonucu nedir?
\[ A) \ 1 \quad B) \ – 1 \quad C) \ i \quad D) \ -i \quad E) \ 2 \]
Çözüm:
\[
\displaystyle \frac{ \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} }{ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-6} } = \frac{ 2i \cdot 3i }{ \sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-6} }
\]
\[
\displaystyle \frac{ -6 }{ \sqrt{2\cdot 3\cdot 6}\ i^{3} }
\]
\[
\displaystyle \frac{ -6 }{ -6i } = \frac{1}{i} = \frac{ -i }{ i\cdot(-i) } = -i \quad \text{dir.}
\]
\( \textbf{Cevap: D} \)
SORU 13
\[ z = (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)^{6} \]
karmaşık sayısının sanal kısmı nedir?
\[ A) \ -81 \quad B) \ 81 \quad C) \ -81 \sqrt{ 2} \quad D) \ 243 \quad E) \ -243 \]
Çözüm:
\[
z = (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)^{6}
\]
\[
= (\sqrt{2} \ \ + \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)
\]
\[
= [(\sqrt{2} \ \ + \ \ i)\cdot(\sqrt{2} \ \ – \ \ i)]^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)
\]
\[
= [(\sqrt{2})^{2} \ \ + \ \ 1^{2}]^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i)
\]
\[
= 3^{5} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ i) = 243\sqrt{2} \ \ – \ \ 243i \quad \text{olur. }
\]
o halde \( \ Im(z) = -243 \)
\( \textbf{Cevap: E} \)
SORU 14
\[ z = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i} \ \ – \ \ \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i} \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]
karmaşık sayısının sanal kısmı nedir?
\[ A) \ -1 \quad B) \ 1 \quad C) \ -2 \quad D) \ 2 \quad E) \ 0 \]
Çözüm:
\[ z = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i} \ \ – \ \ \frac{1}{\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i} \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]
\[ = \displaystyle \frac{ \sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i \ \ – \ \ (\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i) }{ (\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ + \ \ i)(\sqrt{2} \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ i) } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]
\[= \displaystyle \frac{ -2i }{ (\sqrt{2} \ \ – \ \ 1)^{2} \ \ + \ \ 1^{2} } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]
\[ = \displaystyle \frac{ -2i }{ 4 \ \ – \ \ 2\sqrt{2} } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]
\[ = \displaystyle \frac{ -2i \cdot (4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2}) }{ (4 \ \ – \ \ 2\sqrt{2})(4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2}) } \ \ + \ \ \frac{i}{\sqrt{2}} \]
\[ = \displaystyle \frac{ -8i \ \ – \ \ 4\sqrt{2}i }{ 8 } \ \ + \ \ \frac{ \sqrt{2}i }{ 2 } \]
\[ = -i \ \ – \ \ \displaystyle\frac{4\sqrt{2}i}{8} \ \ + \ \ \displaystyle\frac{ \sqrt{2}i }{ 2 } \]
\[ = -i \]
O halde \( \mathrm{Im}(z) = -1 \) dir.
\( \textbf{Cevap: A} \)
Uyarı:
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( (a \ \ \pm \ \ ai)^{2n} = [(a \ \ \pm \ \ ai)^{2}]^{n} = (\pm 2a^{2} i)^{n} \) dir.
Örnek:
\( (2 \ \ + \ \ 2i)^{22} \) işleminin sonucunu bulalım.
\( (2 \ \ + \ \ 2i)^{22} = [(2 \ \ + \ \ 2i)^{2}]^{11} = (2^{2} \ \ + \ \ 2^{2} i^{2} \ \ + \ \ 2\cdot 2\cdot 2i)^{11} \)
\( = (2^{3} i)^{11} = 2^{33} i^{11} = -2^{33} i \) olarak bulunur.
Örnek:
\( (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{33} \) işleminin sonucunu bulalım.
\( (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{33} = (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{32} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) \)
\( = [(\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i)^{2}]^{16} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) \)
\( = ((\sqrt{2})^{2} \ \ + \ \ (\sqrt{2}i)^{2} \ \ – \ \ 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}i)^{16} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) \)
\( = (-4i)^{16} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) \)
\( = 2^{32} \cdot (\sqrt{2} \ \ – \ \ \sqrt{2}i) \) olarak bulunur.
SORU 15
\[ z = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{i} \ \ + \ \ \frac{3}{\sqrt{3}} \quad \text{ise } \quad z^{20} \]
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\[ A) \ 3^{20} \quad B) \ 6^{10} \quad C) \ -6^{10} \quad D) \ -3^{20} \quad E) \ 3^{10} \]
Çözüm:
\[ z = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{i} \ \ + \ \ \frac{3}{\sqrt{3}} \Rightarrow z = \frac{\sqrt{3}}{i} \ \ + \ \ \sqrt{3} \]
\[ \Rightarrow z = \displaystyle \frac{ \sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i }{ i } \]
\[ \Rightarrow z^{20} = \left( \displaystyle \frac{ \sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i }{ i } \right)^{20} \]
\[ \Rightarrow z^{20} = \displaystyle \frac{ (\sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i)^{20} }{ i^{20} } \]
\[ \Rightarrow z^{20} = \left[ (\sqrt{3} \ \ + \ \ \sqrt{3}i)^{2} \right]^{10} / i^{0} \]
\[ \Rightarrow z^{20} = (2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}i)^{10} \]
\[ \Rightarrow z^{20} = (6i)^{10} = -6^{10} \quad \text{dur. } \]
\( \textbf{Cevap: C} \)
SORU 16
\[ (1 \ \ + \ \ i)z \ \ + \ \ i = 1 \quad \text{ise} \quad z^{1996} \]
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\[ A) \ -i \quad B) \ i \quad C) \ -1 \quad D) \ 0 \quad E) \ 1 \]
Çözüm:
\[ (1 \ \ + \ \ i)z \ \ + \ \ i = 1 \Rightarrow (1 \ \ + \ \ i)z = 1 \ \ – \ \ i \]
\[ \Rightarrow z = \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ i }{ 1 \ \ + \ \ i } \]
\[ \Rightarrow z^{1996} = \left( \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ i }{ 1 \ \ + \ \ i } \right)^{1996} \]
\[ = \left[ \left( \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ i }{ 1 \ \ + \ \ i } \right)^{2} \right]^{998} \]
\[ = \left( \displaystyle \frac{ -2i }{ 2i } \right)^{998} = 1 \quad \text{dir. } \]
\( \textbf{Cevap: E} \)
SORU 17
\[ z = \displaystyle \frac{ 2i }{ 1 \ \ – \ \ i } \quad \text{ise } \quad z^{50} \quad \text{nedir ?} \]
\[ A) \ 1 \quad B) \ -2^{25} \quad C) \\ 2^{25} \quad D) \ -2^{25}i \quad E) \ 2^{25}i \]
Çözüm:
\[ z = \displaystyle \frac{ 2i }{ 1 \ \ – \ \ i } \Rightarrow z^{50} = \left( \frac{ 2i }{ 1 \ \ – \ \ i } \right)^{50} \]
\[ = \displaystyle \frac{ 2^{50} i^{50} }{ [(1 \ \ – \ \ i)^{2}]^{25} } \]
\[ = \displaystyle \frac{ -2^{50} }{ (-2i)^{25} } \]
\[ = \displaystyle \frac{ -2^{50} }{ -2^{25} i } = -2^{25}i \quad \text{dir. } \]
\( \textbf{Cevap: D} \)