Karmaşık Sayılar
Belli türden denklemleri çözmede mevcut sayı kümelerinin yetersiz kaldığı zamanlar olmuştur. Bu durumda mevcut sayı kümeleri genişletilerek yeni sayı kümeleri elde edilip bu tür denklemler çözülmüştür. Örneğin,
\(
x + 7 = 0
\)
gibi bir denklem doğal sayılar kümesinde \((\mathbb{N})\) çözülemeyince bu küme genişletilerek tam sayılar kümesi \((\mathbb{Z})\) meydana getirilmiştir.
\(
7x + 19 = 0
\)
gibi bir denklem tam sayılar kümesinde çözülemeyince bu küme genişletilerek rasyonel sayılar kümesi \((\mathbb{Q})\) meydana getirilmiştir.
\(
x^2 \ – \ 5 = 0
\)
gibi bir denklem rasyonel sayılar kümesinde çözülemeyince bu küme genişletilerek reel sayılar kümesi \((\mathbb{R})\) meydana getirilmiştir.
Şimdi de
\(
x^4 + 7 = 0
\)
denklemin çözmeye çalışalım.
\(
x^4 = \ – 7
\)
eşitliğini sağlayan hiçbir reel sayı yoktur. Çünkü her reel sayının çift kuvveti pozitiftir. O halde reel sayılar kümesi genişletilerek bu tür denklemlerin de çözülebildiği daha büyük bir sayı kümesi meydana getirmeye ihtiyaç vardır.
Bunun için,
\[ x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \ – 1 \]
\[ \Rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{\ – 1} \]
\[ \Rightarrow |x| = \sqrt{\ – 1} \]
\[ \Rightarrow \pm x = \sqrt{\ – 1} \]
\[ \Rightarrow x = \pm \sqrt{\ – 1} \]
olur. Buna göre,
\[ \sqrt{ – 1} \]
elemanı kullanıp reel sayılar kümesini genişleterek bu tür denklemleri çözebiliriz. \( \sqrt{\ – 1} \) sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir ve
\[ i = \sqrt{\ – 1} \ \Rightarrow \ i^2 = \ – 1 \quad \text{şeklinde gösterilir. } \]
\( a, b \in \mathbb{R} \) ve \( i^2 = \ – 1 \) olmak üzere \( a + bi \) şeklindeki sayılara karmaşık (kompleks) sayılar denir. Bir karmaşık sayı \( z \) ve bu sayıların kümesini de \(
\mathbb{C} \) ile göstereceğiz.
\[
\mathbb{C} = \{ a + bi : a,b \in \mathbb{R} \text{ ve } i^2 = \ – 1 \}
\]
\( z = a + bi \) karmaşık sayısında, \( a \) ya reel kısım denir ve \( a = \mathrm{Re}(z) \) ile gösterilir \( b \) ye sanal (imajiner) kısım denir ve \( b = \mathrm{Im}(z) \) ile gösterilir.
Örnekler:
- \( z = 2 \ – \ i \) karmaşık sayısında \( \mathrm{Re}(z) = 2 \) ve \( \mathrm{Im}(z) = \ – 1 \) dir.
- \( z = \ – 3 + 2i \) karmaşık sayısında \( \mathrm{Re}(z) = \ – 3 \) ve \( \mathrm{Im}(z) = 2 \) dir.
- \( z = \ – 1 + \sqrt{-2} \ = \ – \ 1 + \sqrt{2} \sqrt{-1 } = -1 + \sqrt{ 2} i \) karmaşık sayısında \( \mathrm{Re}(z) = \ – 1 \) ve \( \mathrm{Im}(z) = \sqrt{2} \) dir.
- \( z = \sqrt{\ – 4} = 0 + \sqrt{4} \sqrt{ -1} = 0+2i \) karmaşık sayısında \( \mathrm{Re}(z) = 0 \) ve \( \mathrm{Im}(z) = 2 \) dir.
Örnek:
\( a < 0 < b \) olmak üzere,
\[
z = \sqrt{(b \ – \ a)a^2} + \sqrt{a \ – \ b}
\]
karmaşık sayısının reel ve sanal kısmını bulalım.
\[
(b \ – \ a)^2 > 0
\]
olduğundan
\[
\sqrt{(b \ – \ a)^2} \in \mathbb{R}
\]
dir.
\[
a \ – \ b < 0
\]
olduğundan
\[
\sqrt{a \ – \ b} \notin \mathbb{R}
\]
dir. O halde,
\[
z = \sqrt{(b \ – \ a)a^2} + \sqrt{a \ – \ b}
\]
\[
= \sqrt{b \ – \ a}\,.\,|a| + \sqrt{\ – (b \ – \ a)}
\]
\( a < 0 \) için
\[
|a| = \ – a
\]
olduğundan,
\[
\Rightarrow z = \ – a\sqrt{b \ – \ a} + \sqrt{\ – 1}\sqrt{b \ – \ a}
\]
\[
\Rightarrow z = \ – a\sqrt{b \ – \ a} + i\sqrt{b \ – \ a}
\]
olur. Buna göre,
\[
\mathrm{Re}(z) = \ – a\sqrt{b \ – \ a}
\]
ve
\[
\mathrm{Im}(z) = \sqrt{b \ – \ a} \quad \text{dır.}
\]
Örnek:
\[
3x^2 \ – \ \sqrt{3}\,x + 1 = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
\Delta = (\ – \sqrt{3})^2 \ – \ 4.3.1 = \ – 9 < 0
\]
olduğundan denklemin karmaşık sayı olan iki farklı kökü vardır.
\[x_{1,2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{\ – 9}}{2.3} \]
\[ = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{9}\sqrt{\ – 1}}{6} \]
\[ = \frac{\sqrt{3} \pm 3i}{6} \]
O halde,
\[
\text{Ç} =
\left\{\frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}i \,;\,
\frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6} \ – \ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}i
\right\}
\]
bulunur.
Örnek:
\[
z^2 \ – \ \sqrt{5}\,iz \ – \ 3i = 0
\]
denkleminin köklerini bulalım.
\[
\Delta
=
(\ – \sqrt{5}\,i)^2 \ – \ 4.1.( \ – \ 3i )
\]
\[
= 5i^2 + 12i
= \ – 5 + 12i
= (2 + 3i)^2
\]
\[z_{1,2}= \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i \pm \sqrt{(2 + 3i)^2}} {\displaystyle 2.1} = \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i \pm (2 + 3i)} {\displaystyle 2} \]
\[ z_1 = \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i + 2 + 3i} {\displaystyle 2} = 1 + \frac{\displaystyle \sqrt{5} + 3}{\displaystyle 2}i \]
\[ z_2 = \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i \ – \ 2 \ – \ 3i} {\displaystyle 2} = – 1 + \frac{\displaystyle \sqrt{5} \ – \ 3}{\displaystyle 2}i \]
dir.
Örnek:
\[ x^3 + 8 = 0 \]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[ x^3 + 8 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x^2 \ – \ 2x + 4) = 0 \]
\[ \Rightarrow x_1 = \ – 2 \]
veya
\[ x^2 \ – \ 2x + 4 = 0 \]
\[ \Delta = (\ – 2)^2 \ – \ 4.1.4 = – 12 \]
olduğundan,
\[ \Rightarrow x_{2,3} = \frac{\displaystyle 2 \pm \sqrt{\ – 12}} {\displaystyle 2.1} \]
\[ = \frac{\displaystyle 2 \pm \sqrt{12}\,\sqrt{\ – 1}} {\displaystyle 2} \]
\[ \Rightarrow x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{3}\,i \]
olur. O halde,
\[ \mathbb{C} = \{ – 2, \ 1 + \sqrt{3}\,i, \ 1 \ – \ \sqrt{3}\,i \} \]
SORU 1
\(x < y < 0\) olmak üzere,
\[
z = \sqrt{\ – x^2 + 2xy \ – \ y^2} \ – \ \sqrt[4]{x^4} \ – \ \sqrt[3]{y^3}
\]
karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı nedir?
\[ A) \ 0 \quad B) \ 2x \quad C) \ – \ 2x \quad D) \ 2y \quad E) \ – \ 2y \]
Çözüm:
\(
z = \sqrt{\ – x^2 + 2xy \ – \ y^2} \ – \ \sqrt[4]{x^4} \ – \ \sqrt[3]{y^3}
\)
\[
\Rightarrow z = \sqrt{\ – (x \ – \ y)^2} \ – \ |x| \ – \ y
\]
dir. \(x < 0\) için \(|x| = \ – \ x\) olduğundan,
\[
\Rightarrow z = |x \ – \ y| \cdot \sqrt{\ – 1} \ – \ (\ – \ x) \ – \ y
\]
\(x < y \Rightarrow x \ – \ y < 0\) için \(|x \ – \ y| = \ – \ (x \ – \ y)\) olduğundan,
\[
\Rightarrow z = \ – \ (x \ – \ y)i + x \ – \ y = x \ – \ y + (\ – \ x + y)i
\]
\[\Rightarrow \mathrm{Re}(z) = x \ – \ y \quad \text{ve} \quad \mathrm{Im}(z) = \ – \ x + y \]
olur. O halde,
\[ \mathrm{Re}(z) + \mathrm{Im}(z) = x \ – \ y \ – \ x + y = 0 \quad \text{dır.} \]
\( \textbf{Cevap: A} \)