Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun olması için bu fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekir. Fakat trigonometrik fonksiyonlar R den R ye bire bir ve örten değildir. Ancak trigonometrik fonksiyonların bire bir ve örten olduğu uygun aralıklar seçilerek ters trigonometrik fonksiyonlar tanımlanabilir.

1) Arksinüs Fonksiyonu:

Sinüs fonksiyonunun tanım aralığı $ \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ alınırsa, bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,

$ \displaystyle f: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1, 1] $, $ f(x) = \sin x $ ise ters fonksiyon,

$ f^{-1}(x) = \sin^{-1} x $ veya $ f^{-1}(x) = \text{Arcsin } x $ şeklinde gösterilir ve $ \displaystyle \text{Arcsin } : [-1, 1] \rightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ dir.

O halde,

$ y = f(x) = \sin x \Leftrightarrow x = f^{-1}(y) = \sin^{-1} y $
$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Leftrightarrow x = \text{Arcsin } y $ olur.

Eğer ters fonksiyonda x ile y yer değiştirilirse $ y = \text{Arcsin } x $ olur.

Örnekler:

$ \displaystyle \text{Arcsin } \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ (sinüsü $ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} $ olan açı değeri $ \displaystyle \frac{\pi}{3} $ tür.)

$ \displaystyle \text{Arcsin } (-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $

$ \displaystyle \alpha \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] $ olmak üzere, $ \displaystyle \alpha = \text{arcsin } \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi}{4} $ tür.

$ \displaystyle \alpha \in [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] $ olmak üzere, $ \displaystyle \alpha = \text{arcsin } (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7\pi}{4} $ tür.

Arksinüs Fonksiyonunun Grafiği

$ f^{-1}(x) = \text{Arcsin } x $ fonksiyonunun değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.

\[
\begin{array}{c|lcr}
x & -1 & \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\
\hline
\text{Arcsin } x & \displaystyle -\frac{\pi}{2} & \nearrow \displaystyle -\frac{\pi}{4} & \nearrow 0 & \nearrow \displaystyle \frac{\pi}{4} & \nearrow \displaystyle \frac{\pi}{2}
\end{array}
\]

2) Arkkosinus Fonksiyonu:

Kosinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralıklardan bir tanesi $ [0, \pi] $ dir.

$ f : [0, \pi] \rightarrow [\ – \ 1, 1] $, $ f(x) = \cos x $ ise

$ f^{ \ – \ 1} : [\ – \ 1, 1] \rightarrow [0, \pi] $, $ f^{ \ – \ 1}(x) = \cos^{ \ – \ 1} x $ fonksiyonuna kosinüs fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ve $ f^{ \ – \ 1}(x) = \text{Arccos } x $ şeklinde gösterilir.

Buna göre,
$ y = f(x) = \cos x \Leftrightarrow x = f^{ \ – \ 1}(y) = \cos^{ \ – \ 1} y $
$ \Leftrightarrow x = \text{Arccos } y $ olur.
Eğer ters fonksiyonda $ x $ ile $ y $ yer değiştirilirse,
$ y = \text{Arccos } x $ olur.

Örnekler:

* $ \text{Arccos } ( \displaystyle \frac{\ – \ 1}{2} ) = \displaystyle \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi] $

\[ (kosinüsü \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \ olan \ açı \ değeri \ \displaystyle \frac{2\pi}{3} \ tür.) \]

* $ \alpha \in [\pi, 2\pi] $ olmak üzere, $ \alpha = \text{arccos } \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle \frac{11\pi}{6} $ dır.

3) Arkkosinüs Fonksiyonu Fonksiyonun Grafiği

$ f^{ \ – \ 1}(x) = \text{Arccos } x $ fonksiyonunun değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & \ – \ 1 & & \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{2}}{2} & & 0 & & \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} & & 1 \\ \hline
\text{Arccos } x & \pi & \searrow & \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \searrow & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \searrow & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \searrow & 0
\end{array}
\]

3) Arktanjant Fonksiyonu

Tanjant fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralıklardan bir tanesi $ ( \displaystyle \frac{ \ – \ \pi}{2} , \displaystyle \frac{\pi}{2} ) $ dir.

$ f : ( \displaystyle \frac{ \ – \ \pi}{2} , \displaystyle \frac{\pi}{2} ) \rightarrow ( \ – \ \infty , + \infty ) $, $ f(x) = \tan x $ ise

$ f^{ \ – \ 1} : ( \ – \ \infty , + \infty ) \rightarrow ( \displaystyle \frac{ \ – \ \pi}{2} , \displaystyle \frac{\pi}{2} ) $, $ f^{ \ – \ 1}(x) = \tan^{ \ – \ 1} x $

fonksiyonuna tanjant fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ve $ f^{ \ – \ 1} (x) = \text{Arctan } x $ şeklinde gösterilir.

Buna göre,
$ y = f(x) = \tan x \Leftrightarrow x = f^{ \ – \ 1} (y) = \tan^{ \ – \ 1} y $
$ \Leftrightarrow x = \text{Arctan } y $ olur.

Eğer ters fonksiyonda $ x $ ile $ y $ yer değiştirilirse,
$ y = \text{Arctan } x $ olur.

Örnekler:

* $ \text{Arctan } (\ – \ 1) = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} \in ( \displaystyle \frac{ \ – \ \pi}{2} , \displaystyle \frac{\pi}{2} ) $

\[ (tanjantı \ – \ 1 \ olan \ açı \ değeri \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} \ tür.) \]

* $ \alpha \in [ \displaystyle \frac{pi}{2} , \displaystyle \frac{3 \pi }{2} ] $ olmak üzere, $ \alpha = \text{arctan } \sqrt{3 } = \displaystyle \frac{4\pi}{3} $ tür.

Arktan Fonksiyonunun Grafiği

$ f^{ \ – \ 1}(x) = \text{Arctan } x $ fonksiyonunun değişim tablosunu düzenleyerek grafiğini çizelim.

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & \ – \ \infty & & \ – \ 1 & & 0 & & 1 & & + \infty \\ \hline
\text{Arctan } x & \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} & \nearrow & \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4} & \nearrow & 0 & \nearrow & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \nearrow & \displaystyle \frac{\pi}{2}
\end{array}
\]

4) Arkkotanjant Fonksiyonu:

Kotanjant fonksiyonunun bire bir ve örten olduğu aralıklardan bir tanesi $(0, \pi)$ dir.

\[ f : (0, \pi) \to (-\infty, +\infty), \quad f(x) = \cot x \text{ ise,} \]

\[ f^{-1} : (-\infty, +\infty) \to (0, \pi), \quad f^{-1}(x) = \cot^{-1} x \text{ fonksiyonuna} \]
\[ \text{kotanjant fonksiyonunun ters fonksiyonu denir ve } f^{-1}(x) = \text{Arccot } x \] şeklinde gösterilir.

Buna göre,

\[ y = f(x) = \cot x \iff x = f^{-1}(y) = \cot^{-1} y \iff x = \text{Arccot } y \text{ olur.} \]

Eğer ters fonksiyonda $x$ ile $y$ yer değiştirilirse,
\[ y = \text{Arccot } x \text{ olur.} \]

Örnekler:

$ \text{Arccot}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6} \in (0, \pi) $
\[ (\text{kotanjantı } -\sqrt{3} \text{ olan açı değeri } \frac{5\pi}{6} \text{ dır.}) \]

$ \alpha \in (-\pi, 0) $ olmak üzere,
\[ \alpha = \text{arccot} \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\pi}{3} \text{ tür.} \]

Arkkotanjant Fonksiyonunun Grafiği

$f^{-1}(x) = \text{Arccot } x$ fonksiyonunun değişim tablosu:

\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & -1 & & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
\text{Arccot } x & \pi & \searrow & \displaystyle\frac{3\pi}{4} & \searrow & \displaystyle\frac{\pi}{2} & \searrow & \displaystyle\frac{\pi}{4} & \searrow & 0
\end{array}
\]

Uyarı:

Ters Fonksiyon Özellikleri Tanımlandığı aralıklarda:

\[
\begin{aligned}
\sin(\arcsin x) &= x = I_x \\
\cos(\arccos x) &= x = I_x \\
\tan(\arctan x) &= x = I_x \\
\cot(\text{arccot } x) &= x = I_x
\end{aligned}
\]

\[
\begin{aligned}
\text{Arcsin}(\sin \theta) &= \theta = I_\theta \\
\text{Arccos}(\cos \theta) &= \theta = I_\theta \\
\text{Arctan}(\tan \theta) &= \theta = I_\theta \\
\text{Arccot}(\cot \theta) &= \theta = I_\theta
\end{aligned}
\]

Örnekler:

* $ \text{Arctan} \left( \tan \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} $

* $ \cos \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = -\frac{1}{2} \text{ dir.} $

Örnek:

$ \sin(\text{Arctan } 2) $ ifadesinin değerini bulalım.

$ \text{Arctan } 2 = \theta \Leftrightarrow \tan \theta = 2 $ olur.

O halde yandaki dik üçgenden

$ \sin(\text{Arctan } 2) = \sin \theta = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} $

olarak bulunur.

SORU 70

$ \tan(\text{Arccos}(-\displaystyle \frac{3}{5})) $ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\[ A) \ \displaystyle \frac{4}{3} \quad B) \ -\displaystyle \frac{4}{3} \quad C) \ \displaystyle \frac{3}{4} \quad D) \ -\displaystyle \frac{3}{4} \quad E) \ -2 \]

Çözüm:

$ \tan(\arccos(-\displaystyle \frac{3}{5})) $ ifadesinde,

$ \arccos(-\displaystyle \frac{3}{5}) = \theta \Leftrightarrow \cos \theta = -\displaystyle \frac{3}{5} $ olur.

O halde,

$ |\cos \theta| = \displaystyle \frac{3}{5} $ olduğundan yandaki dik üçgenden

$ |\tan(\arccos(-\displaystyle \frac{3}{5}))| = |\tan \theta| = \displaystyle \frac{4}{3} $ olur.

$ \theta \in (0, \pi) $ (Arkkosinüs fonksiyonunun tanım aralığı) ve $ \cos \theta < 0 $ olduğundan $ \tan \theta < 0 $ dır.

Buna göre,

$ |\tan \theta| = \displaystyle \frac{4}{3} \Rightarrow -\tan \theta = \displaystyle \frac{4}{3} $

$ \Rightarrow \tan \theta = -\displaystyle \frac{4}{3} $ tür.

$\textbf{Cecap: B} $

SORU 71

$ \sin \left( \displaystyle \frac{1}{2} \text{ Arctan } \displaystyle \frac{3}{4} \right) $ ifadesinin değeri nedir?

\[ A) \ \displaystyle \frac{1}{3} \quad B) \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 10} } \quad C) \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 11} } \quad D) \ \displaystyle \frac{3}{\sqrt{ 10} } \quad E) \ \displaystyle \frac{3}{\sqrt{ 11} } \]

Çözüm:

$\sin \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \arctan \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \right) $ ifadesinde,

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \arctan \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = \alpha
\Rightarrow \arctan \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} = 2\alpha $

$\Rightarrow \ \tan 2\alpha = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} $

olur.

Yandaki ABD dik üçgeninden

$
\sin \left( \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \arctan \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \right) = \sin\alpha $

$= \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 3\sqrt{10}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{10}}$

dur.

$\textbf{Cecap: B} $

SORU 72

$\cos (2 \arccos x)$

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\[
A) 1 \ – \ 2x^2
\quad
B) 1 \ – \ x^2
\quad
C) 1 + x^2
\quad
D) x^2 \ – \ 1
\quad
E) 2x^2 \ – \ 1
\]

Çözüm:

$\cos (2 \arccos x) $ ifadesinde,

$
\arccos x = \theta
\Leftrightarrow
\cos \theta = x
$

olur. O halde,

$
\cos (2 \arccos x)
=
\cos 2\theta
$

$
= 2\cos^2 \theta \ – \ 1
$

$ = 2x^2 \ – \ 1 $ dir.

$\textbf{Cecap: E} $

SORU 73

$
\arctan 3 + \text{arccot }\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}
$

toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\[
A) \ \frac{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 12}
\quad
B) \ \frac{\displaystyle 7\pi}{\displaystyle 12}
\quad
C) \ \frac{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}
\quad
D) \ \frac{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}
\quad
E) \ \frac{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6}
\]

Çözüm:

$ \text{Arctan } 3 = \theta \Leftrightarrow \tan \theta = 3 $

$ \text{Arccot } \displaystyle \frac{1}{2} = \alpha \Leftrightarrow \cot \alpha = \displaystyle \frac{1}{2} $
$ \Rightarrow \tan \alpha = 2 $ olur.

Buna göre,
$ \tan (\theta + \alpha) = \displaystyle \frac{\tan \theta + \tan \alpha}{1 \ – \ \tan \theta \tan \alpha} $

$ = \displaystyle \frac{3 + 2}{1 \ – \ 3 \cdot 2} = \ – \ 1 $ olduğundan

$ \theta + \alpha = \displaystyle \frac{3\pi}{4} $ olur.

O halde,
$ \text{Arctan } 3 + \text{Arccot } \displaystyle \frac{1}{2} = \theta + \alpha = \displaystyle \frac{3\pi}{4} $ tür.

$\textbf{Cecap: E} $

SORU 74

$ \sec ( \text{Arctan } \displaystyle \frac{1}{x} ) $ ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\[ A) \ x
\quad B) \ \sqrt{1 \ – \ x^2}
\quad C) \ \sqrt{1 + x^2}
\quad D) \ \displaystyle \frac{\sqrt{1 \ – \ x^2}}{x}
\quad E) \ \displaystyle \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} \]

Çözüm:

$ \sec ( \text{Arctan } \displaystyle \frac{1}{x} ) $ ifadesinde,

$ \text{Arctan } \displaystyle \frac{1}{x} = \theta \Rightarrow \tan \theta = \displaystyle \frac{1}{x} $ olur.

O halde, yandaki dik üçgenden
$ \sec ( \text{Arctan } \displaystyle \frac{1}{x} ) $

$ = \sec \theta = \displaystyle \frac{1}{\cos \theta} = \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}} = \displaystyle \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} $ tir.

$\textbf{Cecap: E} $