Ters Dönüsüm Formülleri

 

Ters Dönüsüm Formülleri

 

\[ \cos(a+b) = \cos a \cdot   \cos b \; – \;  \sin a \cdot   \sin b \]
\[ \underline{+ \quad \cos(a-b) = \cos a \cdot   \cos b + \sin a \cdot   \sin b} \]
\[ \cos(a+b) + \cos(a-b) = 2 \cos a \cdot   \cos b \]

 

1)    \( \displaystyle \cos a \cdot   \cos b = \frac{1}{2} [\cos(a+b) + \cos(a-b)] \) dir.

\[ \cos(a+b) – \cos(a-b) = -2 \sin a \sin b \]

 

2)  \( \displaystyle \sin a \cdot   \sin b = -\frac{1}{2} [\cos(a+b) \; – \;  \cos(a-b)] \) dir.

 

\[ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a \]
\[ \underline{+ \quad \sin(a-b) = \sin a \cos b – \sin b \cos a} \]
\[ \sin(a+b) + \sin(a-b) = 2 \sin a \cos b \]

 

3) \( \displaystyle \sin a  \cdot  \cos b = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a \; – \; b)] \) dir.

 

SORU 48

 

\[ \cos 80^\circ \cdot \cos 40^\circ + \frac{1}{2} \cos 140^\circ \] işleminin sonucu kaçtır?

\[ A) -1 \quad B) -\frac{1}{2} \quad C) \ \frac{1}{2} \quad D) -\frac{1}{4} \quad E) \  \frac{1}{4} \]

 

Çözüm:

 

\[ \underbrace{\cos 80^\circ \cdot \cos 40^\circ} + \frac{1}{2} \cos 140^\circ \]

\[ = \frac{1}{2} [\cos (80^\circ + 40^\circ) + \cos (80^\circ – 40^\circ)] \; – \;  \frac{1}{2} \cos 40^\circ \]

\[ = \frac{1}{2} \cos 120^\circ + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \; – \; \frac{1}{2} \cos 40^\circ \]

\[ = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{4} \text{ tür.} \]

\( \textbf{Cevap : D} \)

 

SORU 49

 

\[ \cos 70^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 10^\circ \] işleminin sonucu nedir?

\[ A) \frac{1}{2} \quad B) \frac{1}{4} \quad C) \frac{\sqrt{3}}{2} \quad D) \frac{\sqrt{3}}{4} \quad E) \frac{\sqrt{3}}{8} \]

 

Çözüm:

 

\[ \underbrace{\cos 70^\circ \cdot \cos 50^\circ} \cdot \cos 10^\circ \]

\[ = \frac{1}{2} [\cos (70^\circ + 50^\circ) + \cos (70^\circ – 50^\circ)] \cdot \cos 10^\circ \]

\[ = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} + \cos 20^\circ \right) \cdot \cos 10^\circ \]

\[ = \displaystyle-\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{2} \cos 20^\circ \cdot \cos 10^\circ \]

tekrar ters dönüşüm formülü uygulanırsa,

\[ = -\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\cos 30^\circ + \cos 10^\circ) \]

\[ = -\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 10^\circ \right) \]

\[ = -\frac{1}{4} \cos 10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4} \cos 10^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8} \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : E} \)

 

SORU 50

 

\[ \frac{\cos 25^\circ \cdot \cos 10^\circ – \cos 20^\circ \cdot \cos 15^\circ}{\sin^2 5^\circ} \] ifadesinin eşiti nedir?

\[ A) \ 1 \quad B) \ 2 \quad C) -2 \quad D) \ 2 \cos 5^\circ \quad E) -2 \cos 5^\circ \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{\cos 25^\circ \cdot \cos 10^\circ – \cos 20^\circ \cdot \cos 15^\circ}{\sin^2 5^\circ} \]

Payda ters dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ = \frac{\frac{1}{2} (\cos 35^\circ + \cos 15^\circ) – \frac{1}{2} (\cos 35^\circ + \cos 5^\circ)}{\sin^2 5^\circ} \]

\[ = \frac{\cos 15^\circ – \cos 5^\circ}{2 \sin^2 5^\circ} \text{ olur.} \]

Payda dönüşüm formülü uygulanırsa,

\[ = \displaystyle\frac{-2 \sin 10^\circ \cdot \sin 5^\circ}{2 \sin^2 5^\circ} = \frac{- \sin 10^\circ}{\sin 5^\circ} \]

\[ = \displaystyle\frac{-2 \sin 5^\circ \cdot \cos 5^\circ}{\sin 5^\circ} = -2 \cos 5^\circ \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : E} \)

 

SORU 51

 

\[ \frac{\tan (x + \frac{\pi}{4}) + \tan (x – \frac{\pi}{4})}{\cot (x + \frac{\pi}{4}) + \cot (x – \frac{\pi}{4})} \] kesrinin sadeleştirilmiş şekli nedir?

\[ A) -1 \quad B) 1 \quad C) -3 \quad D) 3 \quad E) \frac{1}{3} \]

 

Çözüm:

 

\[ \left. \begin{array}{l} x + \frac{\pi}{4} = a \\ x – \frac{\pi}{4} = b \end{array} \right\} a + b = 2x \text{ ve } a – b = \frac{\pi}{2} \text{ olur. O halde,} \]

\[ \frac{\tan (x + \frac{\pi}{4}) + \tan (x – \frac{\pi}{4})}{\cot (x + \frac{\pi}{4}) + \cot (x – \frac{\pi}{4})} \]

Pay ve paydada dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ \frac{\tan a + \tan b}{\cot a + \cot b} = \frac{\displaystyle \frac{\sin (a + b)}{\cos a \cdot \cos b}}{\displaystyle \frac{\sin (a + b)}{\sin a \cdot \sin b}} = \frac{\sin a \cdot \sin b}{\cos a \cdot \cos b} \]

\[ = \frac{\displaystyle -\frac{1}{2} [\cos (a + b) – \cos (a – b)]}{\displaystyle \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a – b)]} \]

\[ = \frac{\displaystyle – (\cos 2x – \cos \frac{\pi}{2})}{\displaystyle \cos 2x \; – \; \cos \frac{\pi}{2}} = -1 \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : A} \)

 

SORU 52

 

\[ \frac{1}{\sin 40^\circ} \; – \; 4 \sin 80^\circ \] işleminin sonucu nedir?

\[ A) -2 \quad B) \ 2 \quad C) -2 \cot 40^\circ \quad D) \ 2 \cot 40^\circ \quad E) -\cot 40^\circ \]

 

Çözüm:

 

\[ \frac{1}{\sin 40^\circ} \; – \; 4 \sin 80^\circ = \frac{1 – 4 \sin 80^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} \]

Payda ters dönüşüm formülü uygulanırsa,

\[ = \frac{\displaystyle 1 – 4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) (\cos 120^\circ  \; – \; \cos 40^\circ)}{\sin 40^\circ} \]

\[ = \frac{\displaystyle 1 + 2 \left( -\frac{1}{2} – \cos 40^\circ \right)}{\sin 40^\circ} \]

\[ = \frac{1 \; – \; 1 \; – \; 2 \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} = -2 \cot 40^\circ \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : C} \)

 

SORU 53

 

\(x \ – \  y = 30^\circ \)  olduğuna göre,

\( \cot(x \ – \ 2y) \cdot \cot(2x \ –  \ y) \) çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\[  A) -1 \quad B) \ 1 \quad C) -2 \quad D) \ \cot 3x \quad E) \  \cot(x+y) \]

 

Çözüm:

 

\( cot(x – 2y) \cdot \cot(2x – y) \)

\[  = \frac{\displaystyle \cos(x \ – \  2y)}{\displaystyle \sin(x \ –  \ 2y)} \cdot \frac{\displaystyle \cos(2x \ – \  y)}{\displaystyle \sin(2x \  – \ y)} \]

Pay ve paydada ters dönüşüm formülleri uygulanırsa,

\[ = \frac{\displaystyle \frac{1}{2} [\cos(3x \ – \  3y) + \cos(-x \ –  \  y)]}{\displaystyle -\frac{1}{2} [\cos(3x \ – \ 3y) – \cos(-x \  – \  y)]} \]

\[  x \  – \  y = 30^\circ \Rightarrow 3x \  – \  3y = 90^\circ \]  olduğundan,

\[ = \frac{\displaystyle \cos 90^\circ + \cos(-x \ – \  y)}{\displaystyle -(\cos 90^\circ \  – \  \cos(-x \  – \  y))} = 1 \text{ dir.}  \]

\( \textbf{Cevap : B} \)