Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması
Herhangi bir tabandaki bir sayı, çözümlenmek suretiyle 10 tabanındaki eşiti bulunur.
\((118)_9\), \((1034)_5\), \((21203)_4\), \((101101)_2\)s h sayılarının 10 tabanındaki eşitini bulalım.
\[ (118)_9 = 1\cdot 9^2+ 1\cdot 9^1 + 8\cdot 9^0 =98 \]
\[ (1034)_5 = 1\cdot 5^3+ 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 4\cdot 5^0 =144 \]
\[ (21203)_4 = 2\cdot 4^4+ 1\cdot 4^3 + 2\cdot 4^2+0\cdot 4^1+3\cdot 4^0 =611 \]
\[ (101101)_2 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0= 45\]
\((110,01)_2\) ve \((123,21)_4\) sayılarının 10 lu tabanındaki eşitini bulalım.
\[ (110,01)_2 = 1\cdot 2^2+ 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1}+ 1\cdot 2^{-2}= 4+2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}=6,25\]
\[ (123,21)_4 = 1\cdot 4^2+ 2\cdot 4^1 + 3\cdot 4^0 + 2\cdot 4^{-1}+ 1\cdot 4^{-2}= 27+2\cdot{1}{4}+\dfrac{1}{16}= 27,5625\]
Soru 24:
x sayı tabanını göstermek üzere, \((132)_x=42\) olduğuna göre, x kaçtır?
\[\text{A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4}\]
Çözüm:
\[
\begin{array}{l}
(132)_x=42\\
\Rightarrow 1\cdot x^2 + 3\cdot x^1 + 2\cdot x^0 =42\\
\Rightarrow (x^2+ 3)\cdot (x-40)=0\\
\Rightarrow (x-5)\cdot(x+8)=0\\
\Rightarrow x-5=0 \quad veya \quad x+8 = 0 \\
x= 5 \quad veya \quad x=-8\\
\text{x sayı tabanı olduğuna göre, } x=5 \quad tir
\end{array}
\]
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 25:
x sayı tabanını göstermek üzere, \((43)_x+(36)_x=(101)_x\) olduğuna göre, x kaçtır?
\[\text{A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11}\]
Çözüm:
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow (4x^1+3) + (3x^1+6)= (x^2+x^1\cdot0+1)\\
\Rightarrow x^2-7x-8=0\\
\Rightarrow (x-8)\cdot (x+1)=0\\
\text{buradan} x=8 \quad veya x=-1\\
\text{x sayı tabanı olduğundan x = 8 olmalıdır}
\end{array}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
Sayı Sistemlerinde Tek ve Çift Sayılar
a tabanındaki n + 1 basamaklı R = (rₙ rₙ₋₁ … r₂ r₁ r₀)ₐ sayısı için,
a çift sayı iken r₀ çift sayı ise R de çift, r₀ tek sayı ise R de tek sayıdır.
a tek sayı iken r₀ + r₁ + r₂ + … + rₙ toplamı tek sayı ise R de tek, çift sayı ise R de çift sayıdır.
Örnekler:
• \((10010)_2\), \((3214)_6\) ,\((12302)_4\) 384 sayıları çift
• \((101001)_2\), \((43213)_6\) ,\((30221)_4\) 217 sayıları tek sayıdır.
• 1+2+1+4 =8 çift sayı olduğundan \((1214)_5\) sayısı çift, 1 + 0 + 2 = 3 tek sayı olduğundan \((102)_3\) sayısı tek sayıdır.
10 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir Tabanda Yazılması
10 tabanında verilen bir sayı istenen tabana çevrilirken, verilen sayı istenen tabana bölünür. Elde edilen bölüm istenen tabandan küçük değilse, bulunan bölüm tekrar istenen tabana bölünür. Bu işlem, istenen tabandan küçük bir bölüm elde edilene kadar arka arkaya sürdürülür.
İstenen tabandan küçük bir bölüm elde edildiğinde, bu bölüm ve önceki bölmelerde elde edilen kalanlar, sonuncudan başlayarak geriye doğru sıralanarak istenen tabandaki sayının rakamlarını oluşturur.
Örnek:
124 sayısının 4 tabanındaki eşitini bulalım. \(124 = (1330)_4\)
\[
\begin{array}{l}
\text{1. Adım: } 124 \div 4 = 31 \quad \text{Kalan: } 0 \\
\text{2. Adım: } 31 \div 4 = 7 \quad \text{Kalan: } 3 \\
\text{3. Adım: } 7 \div 4 = 1 \quad \text{Kalan: } 3 \\
\text{4. Adım: } 1 \div 4 = 0 \quad \text{Kalan: } 1 \\
\text{Aşağıdan yukarı doğru kalanlar yazılırsa: }
\text{Sonuç: } 124_{10} = (1330)_4
\end{array}
\]
Örnek:
11 sayısının 2 tabanındaki eşitini bulalım.
\[
\begin{array}{l}
\text{1. Adım: } 11 \div 2 = 5 \quad \text{Kalan: } 1 \\
\text{2. Adım: } 5 \div 2 = 2 \quad \text{Kalan: } 1 \\
\text{3. Adım: } 2 \div 2 = 1 \quad \text{Kalan: } 0 \\
\text{4. Adım: } 1 \div 2 = 0 \quad \text{Kalan: } 1 \\
\text{Aşağıdan yukarı doğru kalanlar yazılırsa: }
\text{Sonuç: } 11_{10} = (1011)_2
\end{array}
\]
Soru 26:
3975 sayısının 11 tabanındaki yazılışı \((abcd)_11\) dir. Buna göre, a +b +c +d toplamanın 11 tabanındaki eşiti nedir?
\begin{array}{ll} \text{A) } (25)_{11} & \text{B) } (23)_{11} \\ \text{C) } (52)_{11} & \text{D) } (32)_{11} \\ \text{E) } (A1)_{11} \end{array}
Çözüm:
\[
\begin{array}{l}
\text{1. Adım: 3975 sayısını 11 tabanına çevirelim:}\\
\\
3975 \div 11 = 361 \quad \text{Kalan: } 4 \quad (d = 4) \\
361 \div 11 = 32 \quad \text{Kalan: } 9 \quad (c = 9) \\
32 \div 11 = 2 \quad \text{Kalan: } 10 \quad (b = A) \\
2 \div 11 = 0 \quad \text{Kalan: } 2 \quad (a = 2) \\
\text{Bu işlemler sonucunda:} \\
3975_{10} = (2A94)_{11}\\
\\
\text{2. Adım: } a + b + c + d \text{ toplamını bulalım:}\\
\\
a + b + c + d = 2 + 10 + 9 + 4 = 25\\
\text{3. Adım: Bu toplamı 11 tabanına çevirelim:}\\
25 \div 11 = 2 \quad \text{Kalan: } 3 \\
\text{Sonuç: } 25_{10} = (23)_{11}\\
\end{array}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)