Logaritma Fonksiyonu

 

Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan, ters fonksiyonu vardır. Üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

\( a \in \mathbb{R}^+ \)   ve   \( a \neq 1 \).  olmak üzere,

\( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \),   \( y = f(x) = a^x \Leftrightarrow x = \log_a y \)

\( x \) ile \( y \)   yer değiştirilirse,

\( f^{\ – \ 1} : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} \),   \( y = f^{\ – \ 1}(x) = \log_a x \)   olur.

O halde,

\[ \mathbf{y = \log_a x \Leftrightarrow x = a^y} \quad \text{dir.} \]

Burada,

\( y = \log_a x \) fonksiyonunda \( y \in \mathbb{R} \) sayısına \( x \in \mathbb{R}^+ \) sayısının \( a \) tabanına göre logaritması denir ve \( y \) eşittir \( a \) tabanına göre logaritma \( x \) diye okunur.

 

Örnekler :

 

• \( \log_2 64 = y \Rightarrow 64 = 2^y \Rightarrow y = 6 \)

 

• \( \log_5 x = 4 \Rightarrow x = 5^4 = 625 \)

 

• \( \log_2 (\displaystyle\frac{1}{16}) = y \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{16} = 2^y \Rightarrow y = \ – \ 4 \)

 

• \( \log_a (0,01) = \ – \ 2 \Rightarrow 0,01 = a^{\ – \ 2} \Rightarrow 10^{\ – \ 2} = a^{\ – \ 2} \Rightarrow a = 10 \)

 

• \( \log_a a = y \Rightarrow a = a^y \Rightarrow y = 1 \)

 

• \( \log_a 1 = y \Rightarrow 1 = a^y \Rightarrow y = 0 \) dır.

 

Sonuçlar :

 

\( y = \log_a f(x) \) fonksiyonu için,

1. \( f(x) > 0 \) (logaritma fonksiyonu pozitif sayılar için tanımlıdır.)

2. \( a > 0 \)   ve   \( a \neq 1 \)

3. \( \log_a a = 1 \)

4. \( \log_a 1 = 0 \) dır.

 

Örnek :

 

\( y = 1 + x + 2 \log_5 (x \ – \ 3) \) fonksiyonunun tanım aralığını bulalım.

Verilen fonksiyonunun tanımlı olması için \( \log_5 (x \ – \ 3) \) ifadesinin tanımlı olması yeterlidir.

O halde,

\( x \ – \ 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)

\( \text{Ç} = \{ x \mid x > 3, x \in \mathbb{R} \} \) olarak bulunur.

 

Örnek :

 

\( y = 2 \ – \ x^2 \ – \ \log_5 (x \ – \ 3)^2 \) fonksiyonunun tanım aralığını bulalım.

Verilen fonksiyonun tanımlı olması için \( \log_5 (x \ – \ 3)^2 \) ifadesinin tanımlı olması yeterlidir.

O halde,

\[ (x \ – \ 3)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 3 \]

\[ \text{Ç} = \mathbb{R} \ – \ \{ 3 \} \text{ olarak bulunur.} \]

 

SORU 1

 

\( \log_{\sqrt{2}}^2 x = 4 \)   ve   \( \log_{\sqrt[3]{3}} y = 3 \)   ise x.y nin değerlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

 

\[ \text{A) } 8 \qquad \text{B) } 6 \qquad \text{C) } 4 \qquad \text{D) } 2 \qquad \text{E) } 1 \]

 

Çözüm:

 

\( \log_{\sqrt{2}}^2 x = 4 \Rightarrow \log_{\sqrt{2}} x = 2 \quad \text{veya} \quad \log_{\sqrt{2}} x = \ – \ 2 \)

\( \phantom{\log_{\sqrt{2}}^2 x = 4} \Rightarrow x = (\sqrt{2})^2 \qquad \qquad x = (\sqrt{2})^{\ – \ 2} \)

\( \phantom{\log_{\sqrt{2}}^2 x = 4} \Rightarrow x_1 = 2 \qquad \qquad \quad x_2 = \displaystyle\frac{1}{2} \)

\( \log_{\sqrt[3]{3}} y = 3 \Rightarrow y = (\sqrt[3]{3})^3 \)

\( \Rightarrow y = 3 \) olur. O halde,

\( x_1 \cdot y = 2 \cdot 3 = 6 \quad \text{veya} \quad x_2 \cdot y = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 3 = \displaystyle\frac{3}{2} \) dir.

 

\(  \textbf{Cevap: B}   \)

 

SORU 2

 

\( \log_2 ( \log_2 ( \log_2 x ) ) = 2 \)   ise x nedir?

 

\[ \text{A) } 2^{12} \quad \text{B) } 2^{13} \quad \text{C) } 2^{14} \quad \text{D) } 2^{15} \quad \text{E) } 2^{16} \]

 

Çözüm:

 

\( \log_2 ( \log_2 ( \log_2 x ) ) = 2 \Rightarrow \log_2 ( \log_2 x ) = 2^2 = 4 \)

\( \phantom{\log_2 ( \log_2 ( \log_2 x ) ) = 2} \Rightarrow \log_2 x = 2^4 = 16 \)

\( \phantom{\log_2 ( \log_2 ( \log_2 x ) ) = 2} \Rightarrow x = 2^{16} \) dır.

 

\(  \textbf{Cevap: E}   \)

 

SORU 3

 

\( \log_{(3 \ – \ x)} ( \log_2 ( x^2 \ – \ 7 ) ) = 0 \)   ise x nedir?

 

\[ \text{A) } \ – \ 3 \quad \text{B) } \ – \ 4 \quad \text{C) } \ – \ 5 \quad \text{D) } \ – \ 6 \quad \text{E) } \ – \ 7 \]

 

Çözüm:

 

\( \log_{(3 \ – \ x)} ( \log_2 ( x^2 \ – \ 7 ) ) = 0 \)

\( 3 \ – \ x > 0 \Rightarrow x < 3 \quad \text{ve} \quad 3 \ – \ x \neq 1 \Rightarrow x \neq 2 \)

olmak üzere,

\( \Rightarrow \log_2 ( x^2 \ – \ 7 ) = (3 \ – \ x)^0 = 1 \)

\( \Rightarrow x^2 \ – \ 7 = 2^1 \Rightarrow x = \ – \ 3 \) tür.

 

\(  \textbf{Cevap: A}   \)

 

SORU 4

 

\( \log_{10} ( a^2 \cdot b \cdot c^2 ) = 3 \), \( \quad   \log_{10} ( \displaystyle\frac{a \cdot b}{c} ) = 2 \)   ve   \(\quad   \log_{10} ( \displaystyle\frac{b}{c} ) = 4 \)   ise a.b kaçtır?

 

\[ \text{A) } 10 \quad \text{B) } 10^2 \quad \text{C) } 10^3 \quad \text{D) } 10^4 \quad \text{E) } 10^5 \]

 

Çözüm:

 

\( \log_{10} ( a^2 \cdot b \cdot c^2 ) = 3 \Rightarrow a^2 \cdot b \cdot c^2 = 10^3 \)

\( \log_{10} ( \displaystyle\frac{a \cdot b}{c} ) = 2 \Rightarrow \displaystyle\frac{a \cdot b}{c} = 10^2 \)

\( \log_{10} ( \displaystyle\frac{b}{c} ) = 4 \Rightarrow \displaystyle\frac{b}{c} = 10^4 \)

\( \quad  \quad \quad \quad   \quad  \quad  \underline{\times \quad  \quad  \quad  \quad \quad \quad \quad   } \)

\( \quad  \quad  \quad  \quad  \quad   a^3 \cdot b^3 = 10^9 \Rightarrow a \cdot b = 10^3 \) tür.

 

\(  \textbf{Cevap: C}   \)

SORU 5

 

\( y = \log_x (16 \ – \ x^2) \) fonksiyonu kaç tane x tamsayısı için tanımlıdır?

 

\[ \text{A) } 1 \qquad \text{B) } 2 \qquad \text{C) } 3 \qquad \text{D) } 4 \qquad \text{E) } 5 \]

 

Çözüm:

 

\( y = \log_x (16 \ – \ x^2) \) fonksiyonunun tanımlı olması için \( 16 \ – \ x^2 > 0 \), \( x > 0 \) ve \( x \neq 1 \) olmalıdır.

 

\[ \begin{array}{c|c*2{c}c*2{c}c} x & \ – \ \infty & & \ – \ 4 & & 0 & & 4 & & + \infty \\ \hline 16 \ – \ x^2 & & \ – \ & \circ & + & \vert & + & \circ & \ – \ & \\
\hline x & &\ – \ & \vert & \ – \ & \circ & + & \vert & + & \\
\hline \text{Sistem} & &\text{░░░} & \vert & \text{░░░░} & \vert & \text{Çözüm} & \vert & \text{░░░} & \end{array} \]
\[ \text{Ç} = \{ x \mid 0 < x < 4, x \in \mathbb{R} \} \ – \ \{ 1 \} \]

olduğundan \( x \) in tamsayı değerleri 2, 3 olup iki tanedir.

 

\(  \textbf{Cevap: B}   \)

SORU 6

 

\( y = \log_{x^2} ( \displaystyle\frac{16 \ – \ x^2}{x^2 + 1} ) \) fonksiyonu kaç tane x tamsayısı için tanımlıdır?

 

\[ \text{A) } 1 \qquad \text{B) } 2 \qquad \text{C) } 3 \qquad \text{D) } 4 \qquad \text{E) } 5 \]

 

Çözüm:

 

\( \log_{x^2} ( \displaystyle\frac{16 \ – \ x^2}{x^2 + 1} ) \) fonksiyonunun tanımlı olması için \( \displaystyle\frac{16 \ – \ x^2}{x^2 + 1} > 0 \), \( x^2 > 0 \) ve \( x^2 \neq 1 \) olmalıdır.

 

\[ x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0 \quad \text{ve} \quad x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq \pm 1 \]

 

\[ \text{Ç} = \{ x \mid \ – \ 4 < x < 4, x \in \mathbb{R} \} \ – \ \{ \ – \ 1, 0, 1 \} \]
olduğundan \( x \) in tamsayı değerleri \( \ – \ 3, \ – \ 2, 2, 3 \) olup dört tanedir.

 

\(  \textbf{Cevap: D}   \)

 

SORU 7

 

\( y = 2 \log_2 (x + 4) \ – \ x \log_3 (4 \ – \ x) + \log_5 (\ – \ x) \quad  \) fonksiyonunun tanımlı olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

 

\[ \text{A) } \ – \ 5 < x < \ – \ 1 \qquad \text{B) } \ – \ 6 < x < \ – \ 4 \qquad \text{C) } \ – \ 1 < x < 2 \quad  \text{D) } \ – \ 4 < x < 0 \qquad \text{E) } 0 < x < 4 \]

 

Çözüm:

 

\( y = 2 \log_2 (x + 4) \ – \ x \log_3 (4 \ – \ x) + \log_5 (\ – \ x) \) fonksiyonunun tanımlı olması için,

\[x + 4 > 0 \Rightarrow x > \ – \ 4 \Rightarrow \ – \ 4 < x\]

\[ 4 \ – \ x > 0 \Rightarrow 4 > x \Rightarrow x < 4 \quad \text{ve} \quad \]

\[ \ – \ x > 0 \Rightarrow x < 0 \]

olmalıdır. O halde,

\[\ – \ 4 < x < 0 \] dır.

 

\(  \textbf{Cevap: D}   \)

 

SORU 8

 

\( \log_x \sqrt{2x^2 \ – \ 3x + 2} = 1 \) ise x kaçtır?

 

\[ \text{A) } 2 \qquad \text{B) } 3 \qquad \text{C) } 4 \qquad \text{D) } 5 \qquad \text{E) } 6 \]

 

Çözüm:

 

\[ \log_x \sqrt{2x^2 \ – \ 3x + 2} = 1 \quad  \]

\[ x > 0 \quad  \text{ve } \quad    x \neq 1 \]

olmak üzere,

\[\Rightarrow \sqrt{2x^2 \ – \ 3x + 2} = x^1 \]

\[ \Rightarrow 2x^2 \ – \ 3x + 2 = x^2 \]

\[ \Rightarrow x^2  \ – \ 3x  +2 = 0    \]

\[ \Rightarrow x_1= 1 \quad  \text{veya } \quad  x_2 = 2 \quad  \text{olur }   \]

\[ \Rightarrow x_1 \neq 1 \quad  \text{olduğundan } \quad  x_2 = 2 \quad  \text{dir. }   \]

 

\(  \textbf{Cevap: A}   \)