Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına uzaklığına bu karmaşık sayının mutlak değeri veya modülü denir ve \( z = a \ \ + \ \ bi \) sayısının modülü \( |z| \) ile gösterilir.

Karmaşık düzlemde \( z = a \ \ + \ \ bi \) sayısının modülü, bu sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına uzaklığıdır.

Bu uzaklık:

\[
|z|^{2} = a^{2} \ \ + \ \ b^{2}
\]

olduğundan,

\[
|z| = \sqrt{ a^{2} \ \ + \ \ b^{2} }
\]

şeklinde bulunur.

Örnekler:

\( z = -3 \ \ + \ \ 4i \)

\( |z| = \sqrt{ (-3)^{2} \ \ + \ \ 4^{2} } = 5 \)

\( z = 1 \ \ – \ \ 2\sqrt{2}i \)

\( |z| = \sqrt{ 1^{2} \ \ + \ \ (-2\sqrt{2})^{2} } = 3 \)

\( z = 1 \ \ + \ \ \sqrt{2} \ \ – \ \ i \)

\( |z| = \sqrt{ (1 \ \ + \ \ \sqrt{2})^{2} \ \ + \ \ (-1)^{2} } = \sqrt{ 4 \ \ + \ \ 2\sqrt{2} } \)

\( z = -3i \)

\( |z| = \sqrt{ 0^{2} \ \ + \ \ (-3)^{2} } = 3 \)

Modülün Özellikleri:

1) \( |z| = |-z| = |\bar{z}| = |-\bar{z}| \)

2) \( |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}| \)

3) \( \left| \displaystyle \frac{ z_{1} }{ z_{2} } \right| = \displaystyle \frac{ |z_{1}| }{ |z_{2}| } \) ( \( z_{2} \neq 0 \) )

4) \( |z^{n}| = |z|^{n} \)

5) \( z \cdot \bar{z} = |z|^{2} \)

6) \( |z_{1} \ \ + \ \ z_{2}| \leq |z_{1}| \ \ + \ \ |z_{2}| \)

7) \( |z_{1} \ \ – \ \ z_{2}| \geq \left| |z_{1}| \ \ – \ \ |z_{2}| \right| \)

Örnekler:

\( \left| \displaystyle \frac{ 2 \ \ + \ \ \sqrt{5}i }{ 1 \ \ + \ \ 2\sqrt{2}i } \right| \)

\( = \displaystyle\frac{ \sqrt{ 2^{2} \ \ + \ \ (\sqrt{5})^{2} } }{ \sqrt{ 1^{2} \ \ + \ \ (2\sqrt{2})^{2} } } \)
\( =\displaystyle \frac{ 3 }{ 3 } = 1 \)

\( |(\sqrt{3} \ \ – \ \ i)^{7} \cdot (3 \ \ + \ \ 4i) \)

\( = |(\sqrt{3} \ \ – \ \ i)^{7}| \cdot |3 \ \ + \ \ 4i| \)

\( = \left( \sqrt{ (\sqrt{3})^{2} \ \ + \ \ (-1)^{2} } \right)^{7} \cdot 5 \)

\(= 2^{7} \cdot 5 = 640 \)

SORU 18

\( z = \displaystyle \frac{ (-8 \ \ + \ \ 6i)^{5} }{ \sqrt[3]{ 7 \ \ + \ \ \sqrt{15}i } } \) karmaşık sayısının modülü nedir?

\[ A) \ 5 \cdot 10^{3} \quad B) \ 5 \cdot 10^{4} \quad C) \ 5 \cdot 10^{5} \quad D) \ 5 \cdot 10^{6} \quad E) \ 5 \cdot 10^{7} \]

Çözüm:

\[
|z| = \left| \displaystyle \frac{ (-8 \ \ + \ \ 6i)^{5} }{ \sqrt[3]{ 7 \ \ + \ \ \sqrt{15}i } } \right|
= \displaystyle \frac{ | -8 \ \ + \ \ 6i |^{5} }{ | 7 \ \ + \ \ \sqrt{15}i |^{1/3} }
\]

\[
= \displaystyle \frac{ 10^{5} }{ 8^{1/3} } = 5 \cdot 10^{4}
\]

\( \textbf{Cevap : B} \)

SORU 19

\( z = \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ x \ \ + \ \ xi }{ x \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ xi } \) karmaşık sayısının modülü nedir?

\[ A) \ 1 \quad B) \ x \quad C) \ \displaystyle \frac{1}{x} \quad D) \ 2x \quad E) \ \displaystyle \frac{1}{2x} \]

Çözüm:

\[
|z| = \left| \displaystyle \frac{ 1 \ \ – \ \ x \ \ + \ \ xi }{ x \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ xi } \right|= \displaystyle \left| \frac{ \sqrt{ (1 \ \ – \ \ x)^{2} \ \ + \ \ x^{2} } }{ \sqrt{ (x \ \ – \ \ 1)^{2} \ \ + \ \ (-x)^{2} } } \right|\]

\[
\displaystyle \frac{ | 1 \ \ – \ \ x \ \ + \ \ xi | }{ | x \ \ – \ \ 1 \ \ – \ \ xi | }
\]

\[
= \displaystyle \frac{ \sqrt{ (1 \ \ – \ \ x)^{2} \ \ + \ \ x^{2} } }{ \sqrt{ (x \ \ – \ \ 1)^{2} \ \ + \ \ (-x)^{2} } } = 1
\]

\( \textbf{Cevap : A} \)

SORU 20

\[ iz^{2} \ \ – \ \ (\sqrt{3} \ \ – \ \ i)z \ \ + \ \ \sqrt{7} \ \ + \ \ 3i = 0 \]

denkleminin kökleri \( z_{1}, z_{2} \) ise,

\( \left| \displaystyle \frac{1}{z_{1}} \ \ + \ \ \frac{1}{z_{2}} \right| \) ifadesinin değeri nedir?

\[ A) \ \displaystyle \frac{1}{3} \quad B) \ \displaystyle \frac{1}{2} \quad C) \ 1 \quad D) \ 2 \quad E) \ 3 \]

Çözüm:

\( iz^{2} – (\sqrt{3} \ – \ i)z + \sqrt{7} + 3i = 0 \) denkleminin kökleri \( z_{1}, z_{2} \) ise,

\[ \left| \displaystyle \frac{1}{z_{1}} +\displaystyle \frac{1}{z_{2}} \right| = \left| \displaystyle\frac{ z_{1} + z_{2} }{ z_{1} z_{2} } \right| \]

\[ = \left| \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ \sqrt{3} \ – \ i }{i} } { \displaystyle\frac{ \sqrt{7} + 3i }{i} } \right| \] \[ = \left| \displaystyle\frac{ i(\sqrt{3} \ – \ i) }{ i(\sqrt{7} + 3i) } \right| \]

\[ =\displaystyle \frac{ |\sqrt{3} \ – \ i| }{ |\sqrt{7} + 3i| } = \displaystyle\frac{ 2 }{ 4 } = \frac{1}{2} \]

\( \textbf{Cevap : B} \)

SORU 21

\[
\displaystyle \frac{ z – 1 – \displaystyle \frac{2}{z} }{ z – 2 } + z = 0
\]

denkleminin kökleri \( z_{1}, z_{2} \) ise \( |z_{1}| \) nedir?

\[ A) \ 5 \quad B) \ 4 \quad C) \ 3 \quad D) \ 2 \quad E) \ 1 \]

Çözüm:

\[ \displaystyle \frac{ z – 1 – \displaystyle \frac{2}{z} }{ z – 2 } + z = 0 \Rightarrow \displaystyle \frac{ \displaystyle\frac{ z^{2} – z – 2 }{z} }{ (z – 2) }+ z = 0 \]

\[
\Rightarrow
\displaystyle \frac{ (z – 2)(z + 1) }{ z(z – 2) } + z = 0
\]

\( z – 2 \neq 0 \) ve \( z \neq 0 \) olmak üzere,

\[
\Rightarrow \frac{z + 1}{z} + z = 0
\]

\[
\Rightarrow z^{2} + z + 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow z_{1,2} = \frac{ -1 \ \pm \ \sqrt{ -3 } }{ 2 \cdot 1 }
= \displaystyle -\frac{1}{2} \ \pm \ \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } i \ \ \text{ olur.}
\]

O halde,

\[
|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{ \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \right)^{2} } = 1 \ \text{ dir.}
\]

\( \textbf{Cevap : E} \)