Basit Trigonometrik Denklemler

 

Basit Trigonometrik Denklemler

 

a) \( \cos x = a \) denkleminin çözümü:

 

\( a \in [-1, 1] \) olmak üzere, denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \alpha \) ise

 

\[ \cos x = \cos \alpha = \cos (-\alpha) \]

\[ x = \alpha + 2k\pi \] veya

\[x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in Z) \quad  \text{dir.}  \]

Örnek:

 

\( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[ \displaystyle 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

denkleminin \( (0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \displaystyle \alpha = \frac{5\pi}{6} \) olduğundan

\( \Rightarrow \cos x = \cos \displaystyle \frac{5\pi}{6} = \cos (-\displaystyle \frac{5\pi}{6}) \)

\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) veya \( x = -\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) dir.

Burada,

\( k = -1 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} – 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \) veya

\[ \displaystyle x = -\frac{5\pi}{6} – 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \]

\( k = 0 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} \) veya \( x = -\displaystyle \frac{5\pi}{6} \)

\( k = 1 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \) veya

\[ \displaystyle x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \]

şeklinde, çözüm kümesinin elemanlarından bazıları elde edilmiş olur.

 

Uyarı:

Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki çözümü isteniyorsa, bu denklemin k ya bağlı genel çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine …, -1, 0, 1, … tamsayıları yazılarak istenen aralıktaki kökler elde edilir.

 

SORU 54

 

\( 2 \cos^2 x + 3 \cos x – 2 = 0 \) denkleminin \( (0, 2\pi) \) aralığındaki köklerinin toplamı nedir?

\[ A) \ \pi \quad B) \ 2\pi \quad C) \displaystyle \frac{5\pi}{2} \quad D) \ 3\pi \quad E) \displaystyle \frac{7\pi}{2} \]

 

Çözüm:

 

\( 2 \cos^2 x + 3 \cos x \ – \  2 = 0 \) denkleminde

\( t = \cos x \) denilir se,

\[ \displaystyle 2t^2 + 3t \ – \  2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \text{ veya } t = -2 \]

\[ \displaystyle \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \quad (\cos x \neq -2) \]

olur. O halde,

\( \cos x = \cos \displaystyle \frac{\pi}{3} = \cos (-\displaystyle \frac{\pi}{3}) \)

\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)  veya   \( x = -\displaystyle \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) dir.

\( k = 0 \) için \( x_1 = \displaystyle \frac{\pi}{3} \) veya \( x = -\displaystyle \frac{\pi}{3} \notin (0, 2\pi) \)

\( k = 1 \) için \( x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \notin (0, 2\pi) \) veya

\[ \displaystyle x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \text{ olur.} \]

Burada k nın sıfırdan küçük tamsayı değerleri veya k nın 1 den büyük tamsayı değerleri için elde edilecek kökler \( (0, 2\pi) \) aralığının elemanı olmaz.

Buna göre \( \displaystyle x_1 + x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = 2\pi \) dir.

\( \textbf{Cevap : B} \)

 

SORU 55

 

\( \sqrt{6 – 3 \cos^2 x} + \sqrt{5} \cos x = \sqrt{15} \) denkleminin \( (0, 2\pi) \) aralığındaki köklerinin farkının mutlak değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\[ A) \pi \quad B) \frac{4\pi}{3} \quad C) \frac{5\pi}{3} \quad D) \frac{5\pi}{4} \quad E) \frac{3\pi}{2} \]

 

Çözüm:

 

\( \sqrt{6 – 3 \cos^2 x} + \sqrt{5} \cos x = \sqrt{15} \)

\( \Rightarrow (\sqrt{6 – 3 \cos^2 x})^2 = (\sqrt{15} – \sqrt{5} \cos x)^2 \)

\( \Rightarrow 6 – 3 \cos^2 x = 15 + 5 \cos^2 x – 2\sqrt{75} \cos x \)

\( \Rightarrow 8 \cos^2 x – 10 \sqrt{3} \cos x + 9 = 0 \)

\( t = \cos x \) denilirse,

\( \Rightarrow 8t^2 – 10 \sqrt{3} t + 9 = 0 \)

\( \Rightarrow (2t – \sqrt{3})(4t – 3\sqrt{3}) = 0 \)

\( \Rightarrow t = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{veya} \quad t = \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4} > 1 \)

\( \Rightarrow \cos x = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \quad (\cos x \neq \displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}) \)

\( \cos x = \cos \displaystyle \frac{\pi}{6} = \cos (-\frac{\pi}{6}) \)

\( \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ veya } x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in Z) \text{ dir.} \)

\( k = 0 \text{ için } x_1 = \displaystyle \frac{\pi}{6} \text{ veya } x = -\frac{\pi}{6} \notin (0, 2\pi) \)

\( k = 1 \text{ için } x = \displaystyle \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \notin (0, 2\pi) \)

\( \text{veya } x_2 = -\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \)

Buna göre, \( | x_1 – x_2 | = | \displaystyle \frac{\pi}{6} – \frac{11\pi}{6} | = \frac{5\pi}{3} \text{ tür.} \)

\( \textbf{Cevap : C} \)

 

b) \( \sin x = a \) denkleminin çözümü:

 

\( a \in [-1, 1] \) olmak üzere, denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \alpha \) ise,

\( \sin x = \sin \alpha = \sin (\pi \ – \  \alpha) \)

\( x = \alpha + 2k\pi \) veya

\( x = \pi – \alpha + 2k\pi \)

\( = -\alpha + (2k + 1)\pi \quad (k \in Z) \) dir.

 

Örnek:

 

\( 2 \sin 4x \ – \  1 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[ \displaystyle 2 \sin 4x \ – \ 1 = 0 \Rightarrow \sin 4x = \frac{1}{2}  \]

denkleminin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6} \) olduğundan,

\( \displaystyle \Rightarrow \sin 4x = \sin \frac{\pi}{6} = \sin (\pi \ – \ \frac{\pi}{6}) \)

\( \displaystyle \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \) veya

\( \displaystyle 4x = \pi  \ – \  \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in Z) \text{ dir.} \)

O halde,

\[ \displaystyle Ç = \{ x \mid x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \text{ veya } x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, k \in Z \} \]

olarak bulunur.

 

SORU 56

 

\( \cos 4x + \sin 2x = 1 \) denkleminin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki en büyük kökü aşağıdakilerden hangisidir?

\[ A) \pi \quad B) \frac{3\pi}{2} \quad C) \displaystyle \frac{17\pi}{12} \quad D) \displaystyle \frac{23\pi}{12} \quad E) \displaystyle \frac{21\pi}{11} \]

 

Çözüm:

 

\( \cos 4x + \sin 2x = 1 \)

\( \Rightarrow 1 \ – \ 2 \sin^2 2x + \sin 2x = 1 \)

\( \Rightarrow \sin 2x \cdot (-2 \sin 2x + 1) = 0 \)

\[ \displaystyle \Rightarrow \sin 2x = 0 \] veya  \[ -2 \sin 2x + 1 = 0 \Rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \]

O halde,

\( \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = \sin 0 = \sin \pi \)

\( 2x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = k\pi \) veya

\( \displaystyle 2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \text{ olur.} \)

\( k = 0 \) için \( \displaystyle x = 0 \text{ veya } x = \frac{\pi}{2} \)

\( k = 1 \) için \( \displaystyle x = \pi \text{ veya } x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \text{ dir.} \)

\( \displaystyle \sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi}{6} = \sin (\pi – \frac{\pi}{6}) \)

\( \displaystyle 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + k\pi  \)

veya

\( \displaystyle 2x = \pi \ – \  \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + k\pi  \) olur.

\( k = 0 \)  için   \( \displaystyle x = \frac{\pi}{12} \text{ veya } \frac{5\pi}{12} \)

\( k = 1 \)   için   \( \displaystyle x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \)  veya  \( \displaystyle x = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12} \)

olduğundan bu denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki en büyük kökü \( \displaystyle \frac{17\pi}{12} \) dir.

\( \textbf{Cevap : C} \)

 

SORU 57

 

\[ \displaystyle \frac{\cos x}{1 – \sin x} + \frac{\sin x}{1 – \cos x} = -1 \text{ denkleminin } [0, 2\pi) \text{ aralığındaki köklerinin toplamı nedir?} \]

\[ A) \pi \quad B) \frac{3\pi}{2} \quad C) \frac{7\pi}{4} \quad D) 2\pi \quad E) \frac{5\pi}{2} \]

 

Çözüm:

 

\[ \displaystyle \frac{\cos x}{1 \ – \ \sin x} + \frac{\sin x}{1 \ – \  \cos x} = -1 \]

\[ \displaystyle \Rightarrow \frac{\cos x \ – \  \cos^2 x + \sin x – \sin^2 x}{1 \ – \  \cos x  \ – \  \sin x + \sin x \cos x} = -1 \]

\[ \displaystyle \Rightarrow \frac{\cos x + \sin x \ – \  (\cos^2 x + \sin^2 x)}{1 \ – \  \cos x – \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x} = -1 \]

\[ \displaystyle \Rightarrow \cos x + \sin x \ – \  1 = -1 + \cos x + \sin x \ – \  \frac{1}{2} \sin 2x \]

\[ \displaystyle \Rightarrow -\frac{1}{2} \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \]

O halde,

\( \sin 2x = \sin 0 = \sin \pi \)

\( 2x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = k\pi \)      veya

\( \displaystyle 2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

\( k = 0 \) için \( \displaystyle x = 0 \quad   \text{    veya } \quad   x = \frac{\pi}{2} \)

\( k = 1 \) için \( \displaystyle x_1 = \pi \quad   \text{    veya } \quad   x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \)

\( x = 0 \) değeri \( \displaystyle \frac{\sin x}{1 \ –  \ \cos x} \) kesrinin, \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) değeri \( \displaystyle \frac{\cos x}{1 – \sin x} \) kesrinin paydasını \( 0 \) yaptığından denklemi sağlamazlar. Buna göre,

\[ \displaystyle x_1 + x_2 = \pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \text{ dir.} \]

\( \textbf{Cevap : E} \)

 

SORU 58

 

\( \cos 8x \ – \ 2 \sin 5x \ – \ 2 \cos^2 x + 1 = 0 \) denkleminin \( (0, 2\pi) \) aralığındaki en küçük kökü nedir?

\[ A) \frac{\pi}{8} \quad B) \frac{\pi}{7} \quad C) \frac{\pi}{6} \quad D) \frac{\pi}{5} \quad E) \frac{\pi}{4} \]

 

Çözüm:

 

\( \cos 8x \ – \ 2 \sin 5x \ – \ 2 \cos^2 x + 1 = 0 \)

\( \Rightarrow \cos 8x \ – \ 2 \sin 5x \ –  \ (2 \cos^2 x – 1) = 0 \)

\( \Rightarrow \cos 8x \ – \ 2 \sin 5x \  – \ \cos 2x = 0 \)

\( \Rightarrow \cos 8x \ – \ \cos 2x \ –  \ 2 \sin 5x = 0 \)

\( \Rightarrow \ – \ 2 \sin 5x \cdot \sin 3x \ – \ 2 \sin 5x = 0 \)

\( \Rightarrow -2 \sin 5x \cdot (\sin 3x + 1) = 0 \)

\( \Rightarrow \sin 5x = 0 \) veya \( \sin 3x + 1 = 0 \)

\( \Rightarrow \sin 3x = -1 \) olur.

\( \sin 5x = 0 \Rightarrow \sin 5x = \sin 0 = \sin \pi \)

\( \Rightarrow 5x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = \displaystyle \frac{2k\pi}{5} \) veya

\( 5x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{5} + \displaystyle \frac{2k\pi}{5} \) tür.

\( k = 0 \) için \( x = 0 \) veya \( x = \displaystyle \frac{\pi}{5} \) olur.

\( \sin 3x = -1 \Rightarrow \sin 3x = \sin \displaystyle \frac{3\pi}{2} = \sin (\pi – \displaystyle \frac{3\pi}{2}) \)

\( \Rightarrow 3x = \displaystyle \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + \displaystyle \frac{2k\pi}{3} \) veya

\( 3x = \pi – \displaystyle \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = -\displaystyle \frac{\pi}{6} + \displaystyle \frac{2k\pi}{3} \) tür.

\( k = 0 \) için \( x = \displaystyle \frac{\pi}{2} \) veya \( x = -\displaystyle \frac{\pi}{2} \)

\( k = 1 \) için \( x = \displaystyle \frac{\pi}{2} + \displaystyle \frac{2\pi}{3} = \displaystyle \frac{7\pi}{6} \) veya

\( x = -\displaystyle \frac{\pi}{6} + \displaystyle \frac{2\pi}{3} = \displaystyle \frac{\pi}{2} \) olur.

Buna göre en küçük kök \( \displaystyle \frac{\pi}{6} \) dır.

\( \textbf{Cevap : C} \)

 

SORU 59

 

\( \displaystyle \frac{1}{1 + \cot^2 x} + \frac{1}{\sin x} = \cot x \cdot \cos x \) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\[ A) \ \{ x \mid x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ k \in Z \} \]

\[ B) \ \{ x \mid x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ k \in Z \} \]

\[ C) \ \{ x \mid x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ k \in Z \} \]

\[ D) \ \{ x \mid x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ k \in Z \} \]

\[ E) \  \{ x \mid x = 2k\pi, \ k \in Z \} \]

 

Çözüm:

 

\( \displaystyle \frac{1}{1 + \cot^2 x} + \frac{1}{\sin x} = \cot x \cdot \cos x \)

\( \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{\csc^2 x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \cos x \)

\( \Rightarrow \sin^2 x + \displaystyle \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} \)

\( \Rightarrow \displaystyle \frac{\sin^3 x + 1}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} \)

\( \sin x \neq 0 \) olmak üzere,

\( \Rightarrow \sin^3 x + 1 = \cos^2 x \Rightarrow \sin^3 x = \cos^2 x – 1 \)

\( \Rightarrow \sin^3 x = -\sin^2 x \)

\( \Rightarrow \sin x = -1 \) olur.

O halde,

\( \sin x = \sin \displaystyle \frac{3\pi}{2} = \sin (\pi – \displaystyle \frac{3\pi}{2}) \)

\( \Rightarrow x_1 = \displaystyle \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) veya

\( x_2 = \pi – \displaystyle \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \)

\( \Rightarrow x_2 = -\displaystyle \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in Z) \) bulunur.

Burada \(x_1 \) değerlerinin \(x_2 \) değerlerinin içinde olduğuna dikkat edilirse,

\[  \ \{ x \mid x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ k \in Z \} \]

\( \textbf{Cevap : B} \)

 

SORU 60

 

\( 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \) olmak üzere,

\( 4 \sin^3 3x \    – \  4\sqrt{3} \sin^2 3x \  – \  3 \sin 3x + 3\sqrt{3} = 0 \) denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir?

\[ A) \  10^\circ \quad B) \  15^\circ \quad C) \  20^\circ \quad D) \  25^\circ \quad E) \  30^\circ \]

 

Çözüm:

 

\[ 4 \sin^3 3x \  –  \  4\sqrt{3} \sin^2 3x  \ – \ 3 \sin 3x + 3\sqrt{3} = 0 \]

\[  \sin 3x = t \) denilirse,

\[ \Rightarrow 4t^3 \ – \ 4\sqrt{3} t^2 \  – \  3t + 3\sqrt{3} = 0 \]

\[ \Rightarrow (4t^2 \ – \  3) (t – \sqrt{3}) = 0\]

\[ \Rightarrow t = \pm \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) veya \( t = \sqrt{3}\]

\[0^\circ \leq x \leq 30^\circ \Rightarrow 0^\circ \leq 3x \leq 90^\circ \) için \( \sin 3x > 0 \]

\[ \sin 3x = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \]  olur. O halde,

\[ \sin 3x = \sin 60^\circ\]

\[ \Rightarrow 3x = 60^\circ \Rightarrow x = 20^\circ \] dir.

\( \textbf{Cevap : C} \)

 

c) \( \tan x = a \) denkleminin çözümü:

 

\( a \in R \)  olmak üzere, denklemin \( [0, 2\pi ) \) aralığındaki bir kökü  \( \alpha\)  ise, \[ \displaystyle  \tan x =  \tan\alpha  \]

\[ x = a + k \pi \;  (k \in Z) \ \quad  \text{dir.} \]

 

Örnek:

 

\( \tan 2x + 1 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\( \tan 2x + 1 = 0 \Rightarrow \tan 2x = -1 \) denkleminin

\( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \alpha = \displaystyle \frac{3\pi}{4} \) olduğundan,

\( \tan 2x = \tan \displaystyle \frac{3\pi}{4} \)

\( \Rightarrow 2x = \displaystyle \frac{3\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x = \displaystyle \frac{3\pi}{8} + \displaystyle \frac{k\pi}{2} \quad (k \in Z) \) dir.

O halde,

\( Ç = \{ x \mid x = \displaystyle \frac{3\pi}{8} + \displaystyle \frac{k\pi}{2}, \ k \in Z \} \) olarak bulunur.

 

SORU 61

 

\( \tan^3 x \  – \ \sqrt{3} \tan^2 x + \tan x \ – \  \sqrt{3} = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?

\[ A) \{ x \mid x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \ k \in Z \} \quad B) \{ x \mid x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \ k \in Z \} \]

\[ C) \{ x \mid x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \ k \in Z \} \quad D) \{ x \mid x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, \ k \in Z \} \]

\[ E) \{ x \mid x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \ k \in Z \} \]

 

Çözüm:

 

\[ \tan^3 x \  – \ \sqrt{3} \tan^2 x + \tan x \  – \  \sqrt{3} = 0 \]

\( \tan x = t \) denilirse,

\[ \Rightarrow t^3 \ – \  \sqrt{3} t^2 + t – \sqrt{3} = 0 \]

\[\Rightarrow (t \ –  \  \sqrt{3}) (t^2 + 1) = 0 \]

\[ \Rightarrow t = \sqrt{3} \quad (t^2 + 1 \neq 0) \]

\[ \Rightarrow \tan x = \sqrt{3} \] olur. O halde,

\[ \tan x  = \displaystyle\tan\frac{\pi}{3} \Rightarrow \quad   x= \frac{\pi }{3} + k \pi  \quad  (k \in Z)  \]

\[ Ç = \{ x \mid x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \ k \in Z \}     \]

\( \textbf{Cevap : C} \)

 

SORU 62

 

\( \sqrt{3} \tan x – \cot x = \sqrt{3} – 1 \) denkleminin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki en büyük kökü aşağıdakilerden hangisidir?

\[ A) \displaystyle \frac{5\pi}{6} \quad B) \displaystyle \frac{5\pi}{4} \quad C) \displaystyle \frac{4\pi}{3} \quad D) \displaystyle \frac{11\pi}{6} \quad E) \displaystyle \frac{11\pi}{4} \]

 

Çözüm:

 

\[ \sqrt{3} \tan x \ – \ \cot x = \sqrt{3} – 1 \]

\( \tan x = t \) denilirse, \( \cot x = \displaystyle \frac{1}{t} \) olur.

\[ \Rightarrow \sqrt{3} t^2 + (1 \ – \ \sqrt{3}) t – 1 = 0\]

\[ \Rightarrow (\sqrt{3} t + 1) (t \ – \ 1) = 0 \]

\( \Rightarrow t = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \) veya \( t = 1 \)

\( \Rightarrow \tan x = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}  \)  veya  \( \tan x = 1 \) dir. O halde,

\[  \tan x = \tan \displaystyle \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k\pi \]veya

\[ \tan x = \tan \displaystyle \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \] dir.

\( k = 0 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} \) veya \( x = \displaystyle \frac{\pi}{4} \)

\( k = 1 \) için \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + \pi = \displaystyle \frac{11\pi}{6} \)

veya

\( x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi = \displaystyle \frac{5\pi}{4} \quad  \text{olur.} \)

Buna göre \( [0, 2\pi) \) aralığında en büyük kök \( \displaystyle \frac{11\pi}{6} \) dır.

\( \textbf{Cevap : D} \)

 

d) \( \cot x = a \) denkleminin çözümü:

 

\( \alpha \in R \) olmak üzere, denklemin \( [0, 2\pi) \) aralığındaki bir kökü \( \alpha \) ise,

\( \cot x = \cot \alpha \)

\( x = \alpha + k\pi \quad (k \in Z) \) dir.

 

SORU 63

 

Aşağıdakilerden hangisi

\( \displaystyle \frac{1}{1 – \cot x} + \frac{1}{1 + \cot x} = 3 \)

denkleminin köklerinden biri değildir?

\[ A) \frac{\pi}{3} \quad B) \frac{2\pi}{3} \quad C) \frac{4\pi}{3} \quad D) \frac{5\pi}{3} \quad E) \frac{11\pi}{6} \]

 

 

Çözüm:

 

\[ \displaystyle \frac{1}{1 – \cot x} + \frac{1}{1 + \cot x} = 3 \]

\[ \Rightarrow \displaystyle \frac{1 + \cot x + 1 – \cot x}{(1 – \cot x)(1 + \cot x)} = 3 \]

\[ \Rightarrow \displaystyle \frac{2}{1 – \cot^2 x} = 3 \]

\[ \Rightarrow 2 = 3 – 3 \cot^2 x \]

\( \Rightarrow \cot x = \pm \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \) olur. O halde,

\[ \cot x = \cot \displaystyle \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k\pi \]

\( \cot x = \cot \displaystyle \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + k\pi \) dir.

\( k = 0 \)  için  \( x = \displaystyle \frac{\pi}{3} \) veya \( x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)

\( k = 1 \)  için  \( x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + \pi = \displaystyle \frac{4\pi}{3} \) veya

\( x = \displaystyle \frac{2\pi}{3} + \pi = \displaystyle \frac{5\pi}{3} \) tür.

\( \textbf{Cevap : E} \)