Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri
1. Pozitif reel sayıların çarpımının logaritması, bu sayıların logaritmaları toplamına eşittir.
\[ \forall x, y \in \mathbb{R}^+ \] olmak üzere,
\[ \mathbf{\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y} \quad \text{dir.} \]
Örnekler:
- \( \log_3 77 = \log_3 (7 \cdot 11) = \log_3 7 + \log_3 11 \)
- \( \log 30 = \log (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log 2 + \log 3 + \log 5 \)
- \( \ln 2 + \ln 3 + 1 = \ln 2 + \ln 3 + \ln e = \ln (2 \cdot 3 \cdot e) = \ln (6e) \)
- \( \log(x \ – \ 1) + \log(x + 1) + \log x \)
\( = \log [(x \ – \ 1) \cdot (x + 1) \cdot x] \)
\( = \log (x^3 \ – \ x) \quad \text{dir.} \)
2. Pozitif iki reel sayının bölümünün logaritması, bölünenin logaritması ile bölenin logaritmasının farkına eşittir.
\( \forall x, y \in \mathbb{R}^+ \) olmak üzere,
\[ \mathbf{\log_a (\displaystyle\frac{x}{y}) = \log_a x \ – \ \log_a y} \quad \text{dir.} \]
Örnekler:
- \( \log (\displaystyle\frac{50}{3}) = \log 50 \ – \ \log 3 \)
\( \phantom{\log (\displaystyle\frac{50}{3})} = \log (10 \cdot 5) \ – \ \log 3 \)
\( \phantom{\log (\displaystyle\frac{50}{3})} = \log 10 + \log 5 \ – \ \log 3 \)
\( \phantom{\log (\displaystyle\frac{50}{3})} = 1 + \log 5 \ – \ \log 3 \)
- \( \ln (\displaystyle\frac{x}{y \cdot z}) = \ln x \ – \ \ln (y \cdot z) \)
\( \phantom{\ln (\displaystyle\frac{x}{y \cdot z})} = \ln x \ – \ (\ln y + \ln z) \)
\( \phantom{\ln (\displaystyle\frac{x}{y \cdot z})} = \ln x \ – \ \ln y \ – \ \ln z \)
- \( \log 4 + \log 15 \ – \ \log 6 = \log (4 \cdot 15) \ – \ \log 6 \)
\( \phantom{\log 4 + \log 15 \ – \ \log 6} = \log (\displaystyle\frac{60}{6}) = 1 \quad \text{dir.} \)
3. \( \quad \forall n \in \mathbb{R} \quad \) ve \( \quad \forall x \in \mathbb{R}^+ \quad \) olmak üzere,
\[ \mathbf{\log_a x^n = n \cdot \log_a x} \quad \text{dir.} \]
Örnekler:
- \( \log_3 81 = \log_3 3^4 = 4 \cdot \log_3 3 = 4 \)
- \( \log (\displaystyle\frac{1}{1000}) = \log 10^{\ – \ 3} = \ – \ 3 \cdot \log 10 = \ – \ 3 \)
- \( \log_2 \sqrt[3]{4} = \log_2 \sqrt[3]{2^2} = \log_2 2^{\frac{2}{3}} = \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \log_2 2 = \displaystyle\frac{2}{3} \)
- \( \ln \sqrt[4]{e^3} = \ln e^{\frac{3}{4}} = \displaystyle\frac{3}{4} \cdot \ln e = \displaystyle\frac{3}{4} \)
- \( 3 \log \sqrt[3]{5} = \log (\sqrt[3]{5})^3 = \log 5 \quad \text{tir.} \)