Bire Bir Fonksiyon

\( s(A) \leq s(B) \) olmak üzere,

\( f: A \to B \) fonksiyonu verilsin. A kümesinin her elemanının görüntüsü farklı ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir.

Yani \( y = f(x) \) için,

\[
x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)
\]

veya

\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \]

Örnekler:

\( \bullet \quad f: A \to B \) fonksiyonu, A’nın her elemanının görüntüsü farklı olduğundan bire birdir. Ayrıca B’de boşta eleman kaldığından bire bir ve içinedir.

\( \bullet \quad f: A \to B \) fonksiyonu, bire bir ve örtendir.

\( \bullet \quad f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \), \( f(x) = 2x^3 – 7 \) fonksiyonu,

\[
f(x_1) = 2x_1^3 – 7 \quad \text{ve} \quad f(x_2) = 2x_2^3 – 7
\]

\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1^3 – 7 = 2x_2^3 – 7
\]

\[
\Rightarrow x_1 = x_2 \quad \text{olduğundan bire birdir.}
\]

\(\bullet \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = 2x^2 + 1 \) fonksiyonu,

\[
f(x_1) = 2x_1^2 + 1 \quad \text{ve} \quad f(x_2) = 2x_2^2 + 1
\]

\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1^2 + 1 = 2x_2^2 + 1
\]

\[
\Rightarrow x_1^2 = x_2^2 \Rightarrow x_1 = \pm x_2
\]

olduğundan bire bir değildir.

\( \bullet \quad f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad f(x) = x^2 + x + 1 \) fonksiyonu,

\[
f(x_1) = x_1^2 + x_1 + 1 \quad \text{ve} \quad f(x_2) = x_2^2 + x_2 + 1
\]

\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1^2 + x_1 + 1 = x_2^2 + x_2 + 1
\]

\[
\Rightarrow x_1^2 – x_2^2 + x_1 – x_2 = 0
\]

\[
\Rightarrow (x_1 – x_2)(x_1 + x_2 + 1) = 0
\]

Burada, \( x \in \mathbb{N} \) olduğundan, \( x_1 + x_2 + 1 \neq 0 \) ve

\[
x_1 – x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2
\]

O halde bire birdir.

\( \bullet \quad f: \mathbb{R} – \{-1\} \to \mathbb{R} – \{2\} \),

\[
f(x) = \frac{2x – 1}{x + 1}
\]

fonksiyonu,

\[
f(x_1) = \frac{2x_1 – 1}{x_1 + 1} \quad \text{ve} \quad f(x_2) = \frac{2x_2 – 1}{x_2 + 1}
\]

\[
f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow \frac{2x_1 – 1}{x_1 + 1} = \frac{2x_2 – 1}{x_2 + 1}
\]

\[
\Rightarrow 2x_1 x_2 – x_2 + 2x_1 – 1 = 2x_1 x_2 – x_1 + 2x_2 – 1
\]

\[
\Rightarrow 3x_1 = 3x_2 \Rightarrow x_1 = x_2
\]

olduğundan bire birdir.

Uyarı:

Grafiği verilen \( y = f(x) \) şeklindeki bir fonksiyonun değer kümesinin her noktasından \( Oy \) eksenine dikmeler çizilir:

1) Grafiği kesmeyen dikme varsa, \( f \) içine fonksiyondur.
2) Grafiği kesmeyen dikme yoksa, \( f \) örten fonksiyondur.
3) Grafiği kesen dikmelerin her biri grafiği sadece bir noktada kesiyorsa, \( f \) bire bir fonksiyondur.

Örnek:

\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

\( f \) fonksiyonunun değer kümesi reel sayılar kümesi olduğundan \( Oy \) ekseni üzerindeki her noktadan \( Oy \) eksenine dikmeler çizilir. Grafiği kesmeyen dikmeler olduğundan içine fonksiyondur. Ayrıca grafiği birden fazla (iki) noktada kesen dikmeler olduğundan bire bir fonksiyon değildir.

Burada, grafiği kesmeyen dikmelerin olması, değer kümesinde boşta elemanların bulunması demektir. Grafiği birden fazla noktada kesen dikmelerin olması ise tanım kümesindeki birden fazla elemanın değer kümesinde tek görüntüsünün olması anlamına gelir.