Permütasyon Fonksiyon
A sonlu (sayılabilir elemanlı) bir küme olsun. \( f: A \to A \) bire bir her fonksiyona A’nın bir permütasyonu denir.
\( f: A \to A \) bire bir fonksiyonunun tanım kümesi ile değer kümesi birbirinin aynısı olduğundan bu fonksiyon örtendir.
Örnek:
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) olmak üzere, A’nın bir permütasyonu
\[
f =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\]
şeklinde olsun.
\( f: A \to A \) bire bir ve örten fonksiyondur.
Burada,
\[
\begin{array}{c@{\quad}l}
f =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 2 & 4
\end{pmatrix}
&
\begin{aligned}
&\rightarrow \text{tanım kümesi}\\
&\rightarrow \text{değer kümesi}
\end{aligned}
\end{array}
\]
\( f(1) = 3,\quad f(2) = 1,\quad f(3) = 2,\quad f(4) = 4 \) tür.
Ters fonksiyon ise,
\[
f =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 2 & 4
\end{pmatrix}
\quad \text{olduğundan,}
\]
\[
f^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix}
\quad \text{şeklindedir.}
\]
Örnek:
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) kümesinin,
\[
f =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\quad\text{ve}\quad
g =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
4 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
permütasyonları veriliyor. \(f \circ g^{-1}\) permütasyonunu bulalım.
\[
g^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\]
\[
(f \circ g^{-1})(1) = f\bigl(g^{-1}(1)\bigr)
\quad\text{için}\quad
g^{-1}(1) = 3
\quad\Rightarrow\quad
f(3) = 3
\]
\[
(f \circ g^{-1})(2) = f\bigl(g^{-1}(2)\bigr)
\quad\text{için}\quad
g^{-1}(2) = 4
\quad\Rightarrow\quad
f(4) = 1
\]
\[
(f \circ g^{-1})(3) = f\bigl(g^{-1}(3)\bigr)
\quad\text{için}\quad
g^{-1}(3) = 2
\quad\Rightarrow\quad
f(2) = 4
\]
\[
(f \circ g^{-1})(4) = f\bigl(g^{-1}(4)\bigr)
\quad\text{için}\quad
g^{-1}(4) = 1
\quad\Rightarrow\quad
f(1) = 2
\]
O hâlde,
\[
f \circ g^{-1} =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\( A = \{ a, b, c \} \) kümesinde,
\[
f =
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
c & a & b
\end{pmatrix},
\quad
g \circ f =
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
b & a & c
\end{pmatrix}
\]
veriliyor.
\(g\) permütasyonunu bulalım.
\[
f(a) = c
\quad\text{ve}\quad
g\bigl(f(a)\bigr) = b
\quad\Rightarrow\quad
g(c) = b
\]
\[
f(b) = a
\quad\text{ve}\quad
g\bigl(f(b)\bigr) = a
\quad\Rightarrow\quad
g(a) = a
\]
\[
f(c) = b
\quad\text{ve}\quad
g\bigl(f(c)\bigr) = c
\quad\Rightarrow\quad
g(b) = c
\]
olduğuna göre,
\[
g =
\begin{pmatrix}
a & b & c \\
a & c & b
\end{pmatrix}
\]
olarak bulunur.
Permütasyon Fonksiyon Sayisi:
\( s(A) = n \) olmak üzere,
\( f : A \to A \) permütasyon (bire bir ve örten) fonksiyon sayısı:
\[ P(n, n) = \frac{n!}{(n-n)!} = n! \quad \text{dir.} \]
SORU 33
\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) kümesinde tanımlanan fonksiyonlardan kaç tanesinin ters fonksiyonu yoktur?
\[
\text{A) } 200 \quad
\text{B) } 232 \quad
\text{C) } 256 \quad
\text{D) } 276 \quad
\text{E) } 278
\]
Çözüm:
\( f : A \to A \) fonksiyon sayısı: \( 4^4 = 256 \),
\( f : A \to A \) ters fonksiyonu olan, yani permütasyon (bire bir ve örten) fonksiyon sayısı: \( 4! = 24 \) tanedir.
O hâlde ters fonksiyonu olmayan fonksiyon sayısı: \( 256 – 24 = 232 \) ‘dir.
\(\textbf{Cevab: B} \)