Tek ve Çift Fonksiyonlar
\(\forall x \in A\) için \(-x \in A\) olmak üzere, \(f : A \to \mathbb{R}\) fonksiyonu verilsin.
\(\forall x \in A\) için
\[
f(x) = f(-x)
\]
ise \(f\) fonksiyonuna çift fonksiyon,
\[
f(-x) = -f(x)
\]
ise \(f\) fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Örnek:
\(
\bullet\quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 2 \quad \text{fonksiyonu,}
\)
\(
\Longrightarrow f(-x) = (-x)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x)
\quad\text{olduğundan çift fonksiyondur.}
\)
\(
\bullet\quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = |x| + 1 \quad \text{fonksiyonu,}
\)
\(
\Longrightarrow f(-x) = |-x| + 1 = |x| + 1 = f(x)
\quad\text{olduğundan çift fonksiyondur.}
\)
\(
\bullet\quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^4 + x^2 + 1 \quad \text{fonksiyonu,}
\)
\(
\Longrightarrow f(-x) = (-x)^4 + (-x)^2 + 1 = x^4 + x^2 + 1 = f(x)
\quad\text{olduğundan çift fonksiyondur.}
\)
\(
\bullet\quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^3 \quad \text{fonksiyonu,}
\)
\(
\Longrightarrow f(-x) = (-x)^3 = -\,x^3 = -\,f(x)
\quad\text{olduğundan tek fonksiyondur.}
\)
\(
\bullet\quad f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^4 + x^3 + 1 \quad \text{fonksiyonu,}
\)
\(
\Longrightarrow f(-x) \neq f(x) \quad \text{ve} \quad f(-x) \neq -\,f(x)
\quad\text{olduğundan \(f\) ne çift ne de tek fonksiyondur.}
\)
Uyarı:
\(f\) çift fonksiyonu için, \(f : x \to f(x)\),
\[
f(-x) = f(x)
\quad\Longrightarrow\quad
(x, f(x)) \;\text{ve}\; (-x, f(x))
\]
noktaları bu fonksiyonun grafiğine aittir. Bu noktalar \(Oy\) eksenine göre simetriktir. Dolayısıyla \(f\) çift fonksiyonunun grafiği \(Oy\) eksenine göre simetriktir.
Örnek:
\[
f(x) = x^2 – 1
\]
Grafiği \(y\) eksenine göre simetrik bir paraboldür.
Uyarı:
\(f\) tek fonksiyonu için,
\[f : x \to f(x)\]
\[f: -x \to f(-x) = -\,f(x) \quad \text{olduğundan} \]
\[ \Longrightarrow (x, f(x))\;\text{ve}\;(-x, -f(x)) \]
noktaları bu fonksiyonun grafiğine aittir. Bu noktalar orijine göre simetrik olduğundan \(f\) tek fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
Örnek:
\[
f(x) = x^3
\]
Grafiği orijine göre simetrik bir kubiktir.
← Önceki Sayfa | Sonraki Sayfa →