Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,
1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.
2. Bulunan periyoda uygun aralık seçilir.
3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu düzenlenir.
4. Seçilen aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Esas periyot uzunluğundaki aralıklarda grafik aynen tekrarlanır.
1. Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği:
\( f(x) = \cos x \) fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) dir. \( [0, 2\pi] \) aralığında değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c |lcr}
x & 0 & \displaystyle \ \;\; \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \; \; \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
\cos x & 1 & \searrow \ 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0 & \nearrow \quad 1
\end{array}
\]
2. Sinüs Fonksiyonunun Grafiği:
\( f(x) = \sin x \) fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) dir. \( [0, 2\pi] \) aralığında değişim tablosunu düzenleyerek grafiğini çizelim.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \displaystyle \;\;\;\; \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \;\; \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
\sin x & 0 & \nearrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0
\end{array}
\]
3. Tanjant Fonksiyonunun Grafiği:
\( f(x) = \tan x \) fonksiyonunun esas periyodu \( \pi \) dir.
\( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) için \( f(x) = \tan x \) tanımsız olduğundan grafik \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) doğrusunu kesmez.
\( [0, \pi] – \{ \displaystyle \frac{\pi}{2} \} \) aralığındaki değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \; \; \displaystyle \frac{\pi}{4} & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \; \; \pi \\
\hline
\tan x & 0 & \nearrow 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \nearrow 0
\end{array}
\]
4. Kotanjant Fonksiyonunun Grafiği:
\( f(x) = \cot x \) fonksiyonunun esas periyodu \( \pi \) dir.
\( x = 0 \) ve \( x = \pi \) için \( f(x) = \cot x \) tanımsız olduğundan grafik \( x = 0 \) ve \( x = \pi \) doğrularını kesmez.
\( [0, \pi] – \{ 0, \pi \} \) aralığındaki değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lll}
x & \quad & 0 & \;\; \displaystyle \frac{\pi}{4} & \;\; \displaystyle \frac{\pi}{2} & \;\; \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \;\; & \quad \pi \\
\hline
\cot x & \quad & || +\infty & \searrow 1 & \searrow 0 & \searrow -1 & \searrow -\infty& \quad ||
\end{array}
\]
5. Sekant Fonksiyonunun Grafiği:
\( \displaystyle f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} \) fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) dir.
\( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) ve \( \displaystyle x = \frac{3\pi}{2} \) için \( f(x) = \sec x \) tanımsız olduğundan grafik \( x = 0 \) ve \( \displaystyle x = \frac{3\pi}{2} \) doğrularını kesmez.
\( \displaystyle [0, 2\pi] – \{ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \} \) aralığındaki değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lllll}
x & 0 & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \pi & \quad \quad \;\; \displaystyle \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
\sec x & 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \searrow -\infty || +\infty \searrow & 1
\end{array}
\]
6. Kosekant Fonksiyonunun Grafiği:
\( \displaystyle f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} \) fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) dir. \( x = 0 \), \( x = \pi \) ve \( x = 2\pi \) için \( f(x) = \csc x \) tanımsız olduğundan grafik \( x = 0 \), \( x = \pi \) ve \( x = 2\pi \) doğrularını kesmez.
\( [0, 2\pi] – \{ 0, \pi, 2\pi \} \) aralığındaki değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lllll}
x & 0 & \;\;\;\; \displaystyle \frac{\pi}{2} & \quad \quad \quad \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & \quad \quad \quad 2\pi \\
\hline
\csc x & || +\infty & \searrow 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \searrow -\infty \; \; ||
\end{array}
\]
Örnek:
\( f(x) = 1 + \sin x \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( f(x) = 1 + \sin x \) fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \) dir.
\( [0, 2\pi] \) aralığında değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
1 + \sin x & 1 & \nearrow \quad 2 & \searrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \nearrow \quad 1
\end{array}
\]
Örnek:
\( f(x) = -2 \cos x \) fonksiyonun grafiğini çizelim.
\( f(x) = -2 \cos x \) fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) dir. \( [0, 2\pi] \) aralığında değişim tablosunu düzenleyerek grafiğini çizelim.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
-2 \cos x & -2 & \nearrow \quad 0 & \nearrow \quad 2 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -2
\end{array}
\]
\( y = -\cos x \) fonksiyonunun grafiği, \( y = \cos x \) fonksiyonunun grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir.
Örnek:
\( \displaystyle f(x) = \tan \frac{x}{2} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( \displaystyle f(x) = \tan \frac{x}{2} \) fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) dir.
\( x = \pi \) için \( \displaystyle f(x) = \tan \frac{x}{2} \) tanımsız olduğundan grafik \( x = \pi \) doğrusunu kesmez. \( [0, 2\pi] – \{ \pi \} \) aralığındaki değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lll}
x & 0 & \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} & \quad \quad \quad \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & \; \; 2\pi \\
\hline
\tan \frac{x}{2} & 0 & \nearrow 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \nearrow 0
\end{array}
\]
\( \displaystyle y = \tan \frac{x}{2} \) fonksiyonun grafiği, \( y = \tan x \) eğrisinin \( 2\pi \) periyotta çizilmiş şeklidir.
Örnek:
\( \displaystyle f(x) = \sin (x \ – \ \frac{\pi}{4}) \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( \displaystyle f(x) = \sin (x \ – \ \frac{\pi}{4}) \) fonksiyonunun esas periyodu \( 2\pi \) dir.
\( \displaystyle [\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}] \) aralığında değişim tablosunu düzenleyerek grafiğini çizelim.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \quad \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \; \displaystyle \frac{5\pi}{4} & \; \displaystyle \frac{7\pi}{4} & \; \displaystyle \frac{9\pi}{4} \\
\hline
\sin (x – \frac{\pi}{4}) & 0 & \nearrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0
\end{array}
\]
Örnek:
\( f(x) = -2 + \cot(-x) \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( f(x) = -2 + \cot(-x) = -2 – \cot x \) fonksiyonunun esas periyodu \( \pi \) dir.
\( x = 0 \) ve \( x = \pi \) için \( f(x) = -2 – \cot x \) tanımsız olduğundan grafik \( x = 0 \) ve \( x = \pi \) doğrularını kesmez.
\( [0, \pi] – \{ 0, \pi \} \) aralığındaki değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \pi \\
\hline
-2 – \cot x & || -\infty & \nearrow \quad -3 & \nearrow \quad -2 & \nearrow \quad -1 & \nearrow \quad +\infty ||
\end{array}
\]
\( y = -\cot x \) fonksiyonunun grafiği, \( y = \cot x \) fonksiyonunun grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir.
\( y = -2 – \cot x \) fonksiyonunun grafiği, \( y = -\cot x \) fonksiyonunun grafiğinin Oy ekseninin negatif yönünde 2 birim ötelenmiş şeklidir.
Örnek:
\( \displaystyle f(x) = \sin \left( \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( \displaystyle f(x) = \sin \left( \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \) fonksiyonunun esas periyodu \( 3\pi \) dir.
\( \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \) aralığında değişim tablosunu düzenleyerek grafiği çizelim.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & \displaystyle -\frac{\pi}{2} & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \pi & \displaystyle \frac{7\pi}{4} & \displaystyle \frac{5\pi}{2} \\
\hline
\sin (\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3}) & 0 & \nearrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0
\end{array}
\]
\( \displaystyle y = \sin \left( \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \) fonksiyonun grafiği \( \displaystyle y = \sin \frac{2x}{3} \) fonksiyonunun grafiğinin Ox ekseninin negatif yönünde \( \displaystyle \frac{\pi}{2} \) birim ötelenmiş şeklidir.