Basamak ve Taban

Bir sayıda rakamların bulundukları yere basamak, sayıyı meydana getiren rakamların bulunduğu yerdeki değere basamak değeri ve bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene de taban denir.

\[r_0, \; r_1, \; r_2, \; r_3, \; \dots, \; r_{n-1}, \; r_n\]

birer rakam ve $a$sayı tabanını göstermek üzere $a$ tabanındaki (a’lık sayma sistemindeki) $n + 1$ basamaklı $r_n, r_{n-1},\dots, r_2, r_1, r_0)_a$ sayısının basamakları

$$ (r_n \; r_{n-1} \; \dots \; r_2 \; r_1 \; r_0)_a $$

$$
\begin{aligned}
&r_0 &\longrightarrow & a^0 \text{ ‘lar basamağı} \\
&r_1 &\longrightarrow & a^1\text{ ‘ler basamağı} \\
&r_2 &\longrightarrow & a^2\text{ ‘ler basamağı} \\
&\ \ \vdots \\
&r_{n-1} &\longrightarrow & a^{n-1}\text{ ‘ler basamağı} \\
&r_n &\longrightarrow & a^n\text{ ‘ler basamağı} \\
\end{aligned}
$$

olmak üzere \[(r_n, r_{n-1}, \dots, r_2, r_1, r_0)_a\] sayısının

\[ r_n \cdot a^n + r_{n-1} \cdot a^{n-1} + \dots + r_2 \cdot a^2 + r_1 \cdot a^1 + r_0 \cdot a^0 \] şeklinde yazılışına bu sayının çözümlemiş şekli denir.

Örnek:

10 luk sistemdeki 1965 sayısını inceleyelim.

\[ \begin{array}{c c c c} 1 & 9 & 6 & 5 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 10^3 & 10^2 & 10^1 & 10^0 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 10^3 \, \text{binler basamağı} & 10^2 \, \text{yüzler basamağı} & 10^1 \, \text{onlar basamağı} & 10^0 \, \text{birler basamağı} \end{array} \]

1965 sayısında 1 rakamının basamak değeri bin, 9 rakamının basamak değeri dokuz yüz, 6 rakamının basamak değeri altmış, 5 rakamının basamak değeri beştir.

$$ 1965= 1\cdot10^3 + 9\cdot10^2 + 6\cdot10^1+ 5\cdot10^0$$

Örnekler:

$(3412)_5$ sayısının çözümlenmiş şekli

\[(3412)_5 = 3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 \]

$(20000)_3$ sayısının çözümlemiş şekli

\[(20000)_3 = 2 \cdot 3^4\]

$(384,217)$ sayılarının çözümlemiş şekli

\[ 384,217 = 3 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} \]

Virgülden sonra basamak değerleri tabanın kuvvetine göre düşer, burada ki örnekte taban değeri 10 olduğundan değer de katları şeklinden düşer.

$(432,21)_5$ sayılarının çözümlemiş şekli

\[ (432,21)_5 = 4 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 + 2 \cdot 5^{-1} + 1 \cdot 5^{-2} \]

Örnekler:

İki basamaklı ab ve aa sayıları

\[ ab = 10 \cdot a + b \]

\[ aa = 10 \cdot a + a = 11 \cdot a \]

Üç basamaklı abc ve aaa sayıları

\[ abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c \] \[ aaa = 100 \cdot a + 10 \cdot a + a = 111 \cdot a \] Şeklinde çözümlenir.

Uyarı: Bir sayının basamaklarında yapılan bir işlemde, rakamların basamak değerleri göz önüne alınmalıdır. Örneğin bir sayının onlar basamağındaki rakamın sayısal değeri 3 artırılırsa sayının değeri 3.10 = 30 artar; bir sayının yüzler basamağındaki rakamın sayısal değeri 5 azaltılırsa sayının değeri 5 .100 = 500 azalır; bir sayının onlar basamağındaki rakam 7 artırılır, birler basamağındaki rakam 3 azaltılırsa sayının değeri 7.10 – 3.1 = 67 artar.

Örnek:

İki basamaklı bir sayının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde bu sayının değeri 63 arttığına göre bu sayının rakamlarının farkinin mutlak degerini bulalım.

Bu iki basamaklı sayı ab olsun. Rakamlarının yerleri değiştirildiğinde elde edilen sayı ba olur. Bu sekilde sayının değeri 63 arttığına göre,

\[
\begin{align}
ba &= ab + 63 \\
\Rightarrow 10 \cdot b + a &= 10 \cdot a + b + 63 \\
\Rightarrow 9 \cdot |b – a| &= 63 \\
|b – a| &= 7 \text{ dir}
\end{align}
\]

Örnek:

İki basamaklı $ab$ sayısı ile bu sayının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen iki basamaklı $ab$ sayısı toplandığında sonuç 99 oluyor. Buna göre $ab$ sayısının en çok kaç olabileceğini bulalım.

\[ \begin{align} ab + ba &= 99 \Rightarrow 10 \cdot a + b + 10 \cdot b + a = 99 \\ \Rightarrow 11 \cdot (a + b) &= 99 \\ \Rightarrow a + b &= 9 \quad \text{olur.} \end{align} \]

$ab$ en büyük olacağına göre a en büyük olmalıdır. $a+b= 9$ oldugundan $a=9$, $b=0$ seçilirse $ba$ sayısı iki basamaklı sayı olmaz. Bu durumda $a=8$, $b =1$ seçilirse $ab$ nin en büyük degeri $81$ olarak bulunur.

Soru 14:

Rakamları tekrarsız, üç basamaklı, birbirinden farklı dört tane doğal sayının toplamı 768’dir.

Buna göre, en büyük sayı kaç olabilir?

\[ \text{A) } 458 \quad \text{B) } 459 \quad \text{C) } 460 \quad \text{D) } 461 \quad \text{E) } 462 \]

Çözüm:

En büyük sayıyı bulmak için diğer üç sayıyı en küçük olacak şekilde seçmeliyiz. Sayıların rakamları birbirinden farklı olduğuna göre, en küçük üç sayı $102$, $103$ ve $104$ olursa:

\[ \text{En büyük sayı } = 768 – (102 + 103 + 104) \]

\[ = 459 \text{ olarak bulunur.} \]

$\textbf{Cevab: B} $

Soru 15:

Dört basamaklı $abcd$ sayısının onlar ve binler basamağındaki rakamların yerleri değiştirildiğinde sayının değeri 5940 artıyor.

Buna göre, c – a farki kaçtır?

\[ \text{A) } 3 \quad \text{B) } 4 \quad \text{C) } 5 \quad \text{D) } 6 \quad \text{E) } 7 \]

Çözüm:

\[cbad= abcd + 6540 \quad olduğundan \] eşitliğin iki yanındaki sayılar çözümlenip düzenlenirse,

\[ \begin{aligned} 990 \cdot (c – a) &= 5940 \\
\Rightarrow c – a &= 6
\end{aligned}
\]

$\textbf{Cevab: D} $

Soru 16:

Üç basamaklı bir sayının sağına, bu sayı tekrar yazılarak altı basamaklı yeni bir sayı elde ediliyor. Buna göre, elde edilen yeni sayı ilk sayının kaç katı fazla olur?

\[ \text{A) } 99 \quad \text{B) } 100 \quad \text{C) } 101 \quad \text{D) } 1000 \quad \text{E) } 1001 \]

Çözüm:

Sözü edilen iki sayı $abc$ ve $abcabc$ olsun.

\[\begin{aligned}
&abcabc – abc =x \cdot abc \\
&\Rightarrow abc000 = x . abc \\
&\Rightarrow x= 1000 \quad \text{kat daha fazladır}
\end{aligned}
\]

$\textbf{Cevab: D} $

Soru 17:

a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır.

\[
\begin{array}{r}
\text{abc} \\
\text{bca} \\
+ \text{cab} \\
\hline 2109
\end{array}
\]

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

\[ \text{A) } 9 \quad \text{B) } 10 \quad \text{C) } 19 \quad \text{D) } 20 \quad \text{E) } 21 \]

Çözüm:

Verilen üç basamaklı sayıları çözümleyerek işlem yaparsak,

\[
\begin{array}{r}
100\cdot a + 10\cdot b + c \\
100\cdot a + 10\cdot b + c \\
+100\cdot a + 10\cdot b + c \\
\hline 111\quad \cdot( a+ b+ c)
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
&111\quad \cdot( a+ b+ c)= {2109} \\
\\
&\Rightarrow a+b+c = \dfrac{2109}{111} = 19\quad dur
\end{aligned}\]

$\textbf{Cevab: C} $

Soru 18:

Her bir nokta ve a, b, c birer rakamın yerini tutmak üzere,

\[ \begin{array}{c@{}c}
\;\;\;\;ab\\
\times\;\;6c\\
\hline
\;\;…\\
+450\;\;\;\;\\
\hline
\;\;4725\\\
\end{array} \]

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

\[ \text{A) } 14 \quad \text{B) } 15 \quad \text{C) } 16 \quad \text{D) } 27 \quad \text{E) } 28 \]

Çözüm:

1. çarpan ile 6 nın çarpımı 450 olduğundan

\[ \begin{array}{c@{}c}
\;\;\;\;75 & \quad \text{I. çarpan} \\
\times\;\;\;6c &\quad \text{II. çarpan} \\
\hline
\;\;xyz\\
+\;\;450\;\;\;\;\\
\hline
\;\;4725\\\
\end{array} \]

\[
\begin{array}{c@{}c}
\;\;\;\;\;\;xyz& \\
+\;\;\;4500 &\\
\hline
\;\;\;\;4725\\
\\
\\
xyz = 4725 – 4500 \Rightarrow xyz = 225 \quad \text{elde edilir. O halde,} \\
75 \cdot c = xyz = 225 \Rightarrow c = \dfrac{225}{75} \Rightarrow c = 3 \quad \text{bulunur.} \\
ab = 75 \quad \text{olduğuna göre} \quad a = 7, \quad b = 5 \quad \text{olur.} \\
\text{Dolayısıyla } \quad a + b + c = 7 + 5 + 3 = 15 \quad \text{tir.}
\end{array}
\]

$\textbf{Cevab: B} $

Soru 19:

xyz üç basamaklı bir doğal sayıdır. $x = y + 2$ ve $y = z + 2$ şartlarına uygun olarak yazılabilecek tek sayıların toplamı kaçtır?

\[
\text{A) 2159} \quad \text{B) 2259} \quad \text{C) 2616} \quad \text{D) 2915} \quad \text{E) 3210}
\]

Çözüm:

Verilen şartlara göre, x ve y rakamları, z için seçebileceğimiz değerlere bağlıdır.
z tek sayı olmak şartıyla, z için seçebileceğimiz değerlere göre verilen şartlarda yazılabilecek üç basamaklı sayılar yazılıp toplama işlemi yapılırsa; (z 1,3 ve 5 olabilir. 5 ten büyük değerler x ve y değerlerini rakam olmaktan çıkarır)

\[
531 + 753 + 975 = 2259
\]

$\textbf{Cevab: B} $

Soru 20:

a ≠ b olmak üzere, abb ve baa üç basamaklı doğal sayılar olduğuna göre, $\dfrac{abb – baa}{b – a}$ kesrinin değeri kaçtır?

\[\text{A) 89 B) -89 C) 91 D) -91 E) 101}\]

Çözüm:

\[
\frac{abb – baa}{b – a} = \frac{100a + 10b + b – (100b + 10a + a)}{b – a} \\
= \frac{89a – 89b}{b – a} \\
= \frac{89 \cdot (a – b)}{b – a} = 89 \times \frac{a – b}{b – a} = -89 \text{ dur.}
\]

$\textbf{Cevab: B} $

Soru 21:

2mn4 ve 1mn7 dört basamaklı doğal sayılar olmak üzere

\[ \begin{array}{r} 2mn4 \\ – 1mn7 \\ \hline \cdots \end{array} \]

çıkarma işleminin sonucu kaçtır?

\[\text{A) 1004 B) 1003 C) 997 D) 907 E) 903}\]

Çözüm:

Verilen sayılar çözümlenerek çıkarma işlemi yapılırsa,

\[ \begin{array}{r} 2000 +100m +10n + 5 \\ -1000 + 100m +10n+ 7 \\ \hline 1000-3 =997\quad \text{bulunur.} \end{array} \]

$\textbf{Cevab: C} $

Soru 22:

a ve b birer rakamdır.

\[ \begin{array}{r} ab3 \\ – ab \\ \hline 408 \end{array} \]

olduğuna göre $a.b$ çarpımı kaçtır?

\[\text{A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25}\]

Çözüm:

1. Yol

Verilen sayılar çözümlenerek çıkarma işlemi yapılırsa

\[
\begin{array}{l}
100\cdot a + 10\cdot b + 3 – (10+b) =408\\
\Rightarrow 90\cdot a + 9\cdot b =405 \\
\Rightarrow 9\cdot (10\cdot a + b) =405\\
\Rightarrow ab=45 \text{olur. Buna göre,}\\
a=4, \quad b= 5 \quad ve \quad a\cdot b= 20 \text{ dir}
\end{array}
\]

2. Yol

\[ \begin{array}{l} ab3 \\ – ab \\ \hline 408 \end{array} \]

Birler basamağındaki işleme dikkat edilirse b‘nin 3’ten büyük olduğu görülür. Buna göre, 3’ten b çıkmayacağına göre onlar basamağındaki b‘den 1 alınıp birler basamağındaki 3’e, bir onluk olarak ilâve edilirse 13 olur. Bu durumda 13 – b = 8 çıkarma işleminden b = 5 bulunur. Onlar basamağındaki işlem yapılırsa; b‘den 1 alındığı için geriye b – 1 kalır. (b – 1) – a = 0 işleminden 5 – 1 = a = 4 elde edilir.

Buna göre, a . b çarpımı 20 olarak bulunur.

$\textbf{Cevab: E} $

Soru 23:

Bir öğrenciden, verilen üç basamaklı bir sayı ile 75’in çarpımını hesaplaması istenmiştir. Öğrenci işlemin sonucunu 8850 olarak bulmuştur. Bu öğrencinin yaptığı işlemi kontrol eden öğretmeni, öğrencinin işlemi yaparken verilen üç basamaklı sayının onlar basamağındaki 7 rakamını 1 zannederek hesap yapmış olduğunu tespit etmiştir.

Buna göre, verilen çarpma işleminin doğru sonucu kaçtır?

\[\text{A) 9300 B) 9750 C) 10500 D) 11400 E) 13350}\]

Çözüm:

1. Yol

Öğrenci, verilen üç basamaklı sayının onlar basamağındaki 7 rakamını 1 zannettiği için bulduğu sonuç, gerçek sonuçtan

\[
\begin{array}{l}
(7-1)\cdot 10 \cdot 75 =4500 \text{ daha azdır. Buna göre doğru sonuç}\\
8850 +4500=13350 \text{ dir.}\\
\end{array}
\]

2. Yol

Ögrencinin okuduğu üç basamaklı sayı x olsun. Buna göre ögrencinin yaptığı işlem

$$x\cdot 75=8850 \quad ise \quad x=118\quad dir.$$

O halde ögrenciye verilen çarpma islemi $178 \cdot 75$ tir. Bu islemin doğru sonucu 13350 dir.

$\textbf{Cevab: E} $

Uyarı:

a sayıyı tabanını, x, y ve z de a tabanındaki rakamları göstermek üzere,

(xyz)ₐ ifadesi a tabanında (a’lı sayma sisteminde) üç basamaklı bir sayıyı gösterir ve a sayısı 1’den ve x, y, z rakamlarından büyüktür.

En küçük tabanlı sayma sistemi 2’lik sayma sistemidir.
a tabanında kullanılan rakamlar a tanedir ve en büyük rakam a – 1‘dir.
10’luk sistemde yazılan sayılarda tabanı yazmaya gerek yoktur.

Örnek:

2 tabanında kullanılan rakamların kümesi {0, 1}
5 tabanında kullanılan rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4}
10 tabanında kullanılan rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
12 tabanında kullanılan rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B} ve burada A’nın değeri 10, B’nin değeri 11’dir.