Bir Karmaşık Sayının Döndürülmesi

 

 

\( z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \) karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü, pozitif yönde \( \alpha \) açısı ile döndürüldüğünde elde edilen karmaşık sayı \( z^{‘} \) ise,

\( z^{‘ ‘ } = |z|[\cos(\theta + \alpha) + i \sin(\theta + \alpha)] \)

\( = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)(\cos \alpha + i \sin \alpha) \) olur.

O halde,

\[ z^{‘ ‘ } = z(\cos \alpha + i \sin \alpha) \quad  \text{dir. }   \]

Eğer \( z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \) karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü, negatif yönde \( \alpha \) açısı ile döndürüldüğünde elde edilen karmaşık sayı \( z^{”} \) ise,

\( z^{“} = z[\cos(\ – \ \alpha) + i \sin(\ – \ \alpha)] \) dir.

 

Örnek:

 

\( z = 2 + 4i \) karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü, pozitif yönde \( 60^\circ \) döndürmekle elde edilecek \( z’ \) karmaşık sayısını bulalım.

\( z’ = (2 + 4i)(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \)

\( = (2 + 4i)(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\,i) \)

\( = 1 \ – \ 2\sqrt{3} + (2 + \sqrt{3})\,i \) olarak bulunur.