Sanal Birimin Kuvvetleri
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere i nin kuvvetleri,
\[ \begin{array}{|l|l|l|}
\hline
\text{1. Sütun} & \text{2. Sütun} & \text{3. Sütun} \\
\hline
i = \sqrt{-1} & i^5 = i^4 \cdot i = i & i^{4n+1} = i \\
\hline
i^2 = -1 & i^6 = i^4 \cdot i^2 = -1 & i^{4n+2} = -1 \\
\hline
i^3 = i^2 \cdot i = -i & i^7 = i^4 \cdot i^3 = -i & i^{4n+3} = -i \\
\hline
i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1 & i^8 = i^4 \cdot i^4 = 1 & i^{4n+4} = 1 \\
\hline
\end{array} \]
\[ \vdots \]
\[ i^{4n} = (i^4)^n = 1 \]
olur. O halde,
\[ n \equiv m \pmod{4} \Rightarrow i^n = i^m \] dir.
i sayısının herhangi bir kuvveti bulunurken, bu kuvvetin 4 ile bölümündeki kalan i nin kuvveti olarak alınır.
Örnek:
- \( i^{74} \) sayısını hesaplayalım.
\( 74 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow i^{74} = i^2 = -1 \)
- \( i^{1996} \) sayısını hesaplayalım.
\( 1996 \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow i^{1996} = i^0 = 1 \) herhangi bir sayının (0 hariç) 0. kuvveti 1 dir
- \( i^{-17} \) sayısını hesaplayalım.
\( -17 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{-17} = i^3 = -i \)
- \( i^{-103} \) sayısını hesaplayalım.
\( -103 \equiv 1 \pmod{4} \Rightarrow i^{-103} = i^1 = i \) dir.
Örnek:
\( (x + i^{19})^{99} = -i \) eşitliğini sağlayan x değerlerinden birini bulalım.
\( 19 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{19} = i^3 = -i \) olduğundan,
\( (x + i^{19})^{99} = -i \Rightarrow (x – i)^{99} = -i \) olur.
\( 99 \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow i^{99} = i^3 = -i \) olduğundan,
\( \Rightarrow (x – i)^{99} = i^{99} \)
\( \Rightarrow x – i = i \Rightarrow x = 2i \) dir.
Örnek:
\( z = i + i^2 + i^3 + ……. + i^{49} + i^{50} \) karmaşık sayısının reel ve sanal kısmını bulalım.
\[ \begin{array}{ccccc}
i^1 = i & i^5 = i & \dots & i^{45} = i & i^{49} = i \\
i^2 = -1 & i^6 = -1 & \dots & i^{46} = -1 & + \, i^{50} = -1 \\
i^3 = -i & i^7 = -i & \dots & i^{47} = -i & \\
+ \, i^4 = 1 & + \, i^8 = 1 & \dots & + \, i^{48} = 1 & \\
\hline & \hline &\hline &\hline & \\
0 & 0 & \dots & 0 & -1 + i
\end{array} \]
olduğundan \( z = -1 + i \) olur. O halde \( \text{Re}(z) = -1 \) ve \( \text{İm}(z) = 1 \) olarak bulunur.
Örnek:
\( z = i^{-1} + i^{-2} + i^{-3} + \dots + i^{-50} \) karmaşık sayısının sanal kısmını bulalım.
\( z \) yi \( i^{50} \) ile çarpıp \( i^{50} \) ile bölelim.
\( z = \displaystyle \frac{i^{50} ( i^{-1} + i^{-2} + i^{-3} + \dots + i^{-50} )}{i^{50}} \)
\( = \displaystyle \frac{i^{49} + i^{48} + i^{47} + \dots + i^0}{i^2} \)
\( = \displaystyle \frac{i^0 + i^1 + i^2 + i^3 + i^4 + \dots + i^{48} + i^{49}}{-1} \)
olur. O halde \( \text{İm}(z) = -1 \) olarak bulunur.
SORU 2
\( z = i – i^3 + i^5 – i^7 + \dots + i^{97} – i^{99} \) karmaşık sayısının sanal kısmı nedir?
\[ A) \ 25 \quad B) \ – \ 25 \quad C) \ 50 \quad D) \ -50 \quad E) \ 0 \]
Çözüm:
\( z = i – i^3 + i^5 – i^7 + \dots + i^{97} – i^{99} \)
\( = i – (-i) + i – (-i) + \dots + i – (-i) \)
\( = 2i + 2i + \dots + 2i = 25 \cdot 2i = 50i \) olur.
O halde \( \text{İm}(z) = 50 \) dir.
\( \textbf{Cevap: C} \)
SORU 3
\( z = \displaystyle \frac{i^{-98} + i^{-99}}{i^{-100} + i^{-101}} \) karmaşık sayısının sanal kısmı nedir?
\[ A) \ – \ 2 \quad B) \ – \ 1 \quad C) \ 0 \quad D) \ 1 \quad E) \ 2 \]
Çözüm:
\( z \) nin pay ve paydasını \( i^{101} \) ile çarpalım
\( z = \displaystyle \frac{i^{-98} + i^{-99}}{i^{-100} + i^{-101}} = \displaystyle \frac{i^{101} ( i^{-98} + i^{-99} )}{i^{101} ( i^{-100} + i^{-101} )} \)
\( = \displaystyle \frac{i^3 + i^2}{i^1 + i^0} = \displaystyle \frac{- i \ – \ 1}{i + 1} = -1 \) olur.
O halde \( \text{İm}(z) = 0 \) dır.
\( \textbf{Cevap: C} \)