Polinomlar
\( a_0, a_1, a_2, \dots, a_{n-1}, a_n \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{N} \) ve \( x \) değişken olmak üzere,
\[
P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0
\]
şeklindeki ifadelere reel katsayılı n’inci dereceden bir değişkenli polinomlar denir.
\( a \neq 0 \) olmak üzere \( P(x) = a_0 \) polinomuna sabit polinom, \( P(x) = 0 \) polinomuna sıfır polinomu denir. Bir \( P(x) \) polinomunun derecesi \(der[P(x)] \) şeklinde gösterilir. Sabit polinomun derecesi sıfır, sıfır polinomunun derecesi ise tanımsızdır.
Örnekler:
\( \bullet \quad P(x) = x^2 – 2x + 3 + \frac{1}{x^2} \) ifadesi,
\[
P(x) = x^2 – 2x + 3 + x^{-2}
\]
olup, \( x^{-2} \) de \( -2 \notin \mathbb{N} \) olduğundan polinom değildir.
\( \bullet \quad P(x) = -x + \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + 1 \) ifadesi,
\[
P(x) = -x + x^{1/2} + x^{1/3} + 1
\]
olup, \( x^{1/2} \) ve \( x^{1/3} \) te \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3} \notin \mathbb{N} \) olduğundan polinom değildir.
\( \bullet \quad P(x) = \frac{x^2 – x + 1}{x^2 + 2} \) ifadesi polinom değildir.
\( \bullet \quad P(x) = \sqrt{2} x^3 + x^2 – 3 \) ifadesi üçüncü dereceden bir polinomdur.
\( \bullet \quad P(x) = \frac{x^4 + x^2}{x^2 + 1} \) ifadesi,
\[
P(x) = \frac{x^2 (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = x^2
\]
olduğundan, ikinci dereceden bir polinomdur.
\( \bullet \quad P(x) = \sqrt{3} \) ifadesi sıfırıncı dereceden bir polinomdur.
\( \bullet \quad \) \( P\left( x + \frac{1}{x} \right), \quad P\left( \frac{1}{x} \right), \quad P\left( x + \frac{1}{x} \right), \dots \)
gibi ifadeler polinom değildir.
SORU 1
\[ P(x) = x^{\frac{m+6}{m}} – x^m + 3 \] ifadesinin bir polinom olması için \( m \) nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
\[
\text{A)} 11 \quad
\text{B) } 12 \quad
\text{C) } 13 \quad
\text{D) } 14 \quad
\text{E) } 15
\]
Çözüm:
\( P(x) \) in bir polinom olması için,
\[
m \in \mathbb{N} \quad \text{ve} \quad \frac{m+6}{m} \in \mathbb{N} \quad \text{olmalıdır.}
\]
\[
\frac{m+6}{m} = 1 + \frac{6}{m} \in \mathbb{N} \quad \Rightarrow \quad m \in \{1, 2, 3, 6\}
\]
\( m \) nin alabileceği değerlerin toplamı:
\[
1 + 2 + 3 + 6 = 12
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 2
\[
P(x) = x^{\frac{24}{n}} + x^{\frac{n}{3}} – x^{n-4} + x + 1
\]
ifadesinin bir polinom olması için \( n \) nin alabileceği kaç değer vardır?
\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]
Çözüm:
\( P(x) \) in bir polinom olması için,
\[
\frac{24}{n}, \quad \frac{n}{3}, \quad n – 4 \in \mathbb{N} \quad \text{olmalıdır.}
\]
\( n \in \{1,2,3,4,6,8,12,24\} \) ise \( \frac{24}{n} \in \mathbb{N} \) dir.
Fakat,
\( n \in \{1,2,4,8\} \) için \( \frac{n}{3} \notin \mathbb{N} \),
\( n \in \{1,2,3\} \) için \( n – 4 \notin \mathbb{N} \) olduğundan,
\( n \in \{6,12,24\} \) için \( (P(x) \) bir Polinomdur.
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 3
\[
P(x) = x^3 + 2x^{4-n} + x^{n-3} + x^{n+1} – 5
\]
polinomunun derecesi en büyük kaç olabilir?
\[
\text{A)} 3 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 5 \quad
\text{D) } 6 \quad
\text{E) } 7
\]
Çözüm:
\( P(x) \) bir polinom olduğuna göre \( n \in \mathbb{N} \) (Doğal Sayı) ve
\[
4 – n \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 4 \geq n
\]
\[
n – 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad n \geq 3
\]
\[
n + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad n \geq -1
\]
olmalıdır.
Buradan \( 3 \leq n \leq 4 \) tür.
\( n = 4 \) için polinomun derecesi en büyük olur.
O halde,
\[
P(x) = x^3 + 2x^{4-4} + x^{4-3} + x^{4+1} – 5
\]
\[
P(x) = x^5 + x^3 + x – 3
\]
ve
\[
{der}[P(x)] = 5
\]
tir.
\(\textbf{Cevab: C} \)
\[
P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0
\]
polinomunda, \( a_n\; , \; a_{n-1}\;, \;\dots\;, \;a_2\;,\; a_1\;, \;a_0 \) reel sayılarına polinomun katsayıları denir. Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için, bu polinomda değişken yerine 1 yazılır.
\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı,
\[
a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1 + a_0 = P(1)
\]
dir.
Örnekler:
\(\bullet \quad P(x+2) \) polinomunun katsayılar toplamı,
\[
P(1+2) = P(3)
\]
\(\bullet \quad P(2x+3) \) polinomunun katsayılar toplamı,
\[
P(2 \cdot 1 + 3) = P(5)
\]
\( \bullet \quad P(3x-2) \) polinomunun katsayılar toplamı,
\[
P(3 \cdot 1 – 2) = P(1)
\]
\(\bullet \quad P(x^2 + 2x – 1) \) polinomunun katsayılar toplamı,
\[
P(1^2 + 2 \cdot 1 – 1) = P(2)
\]
\(\bullet \quad P(x^2 – x) \) polinomunun katsayılar toplamı,
\[
P(1^2 – 1) = P(0) \quad \text{dır.}
\]
\( a_n x^n \;, \;\ a_{n-1}x^{n-1}\;,\; \dots, a_2 x^2\;, \;a_1 x\;, \;a_0 \) ifadelerinin her birine polinomun bir terimi, bu terimler içerisinde derecesi en büyük olanın katsayısına (\( a_n \)) polinomun baş katsayısı, derecesi \( 0 \) (sıfır) olanın katsayısına (\( a_0 \)) da polinomun sabit terimi denir.
Bir polinomun sabit terimini bulmak için, bu polinomda değişken yerine 0 (sıfır) yazılır. \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( a_0 = P(0) \) dir.
Örnekler:
\( \bullet \quad P(x + 2) \) polinomunun sabit terimi,
\[
P(0 + 2) = P(2)
\]
\( \bullet \quad P(2x + 3) \) polinomunun sabit terimi,
\[
P(2 \cdot 0 + 3) = P(3)
\]
\( \bullet \quad P(3x – 2) \) polinomunun sabit terimi,
\[
P(3 \cdot 0 – 2) = P(-2)
\]
\( \bullet \quad P(x^2 + 2x – 1) \) polinomunun sabit terimi,
\[
P(0^2 + 2 \cdot 0 – 1) = P(-1)
\]
\( \bullet \quad P(x^2 – x) \) polinomunun sabit terimi,
\[
P(0^2 – 0) = P(0)
\]
Örnek:
\[
P(x) = -2x^7 + 3x^5 + x^4 + x + 1
\]
polinomunun, katsayılar toplamı
\[
P(1) = -2 + 3 + 1 + 1 + 1 = 4
\]
baş katsayısı \( -2 \), sabit terimi \( P(0) = 1 \) ve \( {der}[P(x)] = 7 \)
dir.
SORU 4
\[
P(x) = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8)^2
\]
polinomu veriliyor.
\( P(x – 4) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
\[
\text{A)} 81 \quad
\text{B) } 64 \quad
\text{C) } 16 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 1
\]
Çözüm:
\( P(x – 4) \) polinomunun katsayılar toplamı (x yerine 1 yazılırsa) \( P(1 – 4) = P(-3) \) tür. O halde,
\[
P(x) = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8)^2 = ((x+2)^3)^2 = (x+2)^6
\]
\[
P(-3) = (-3+2)^6 = 1 \text{ dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 5
\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,
\[
P(x – 3) = (x^2 + x + 1)^3 + x + 2
\]
olduğuna göre, \( P(x – 4) \) polinomunun sabit terimi kaçtır?
\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]
Çözüm:
\( P(x – 4) \) polinomunun sabit terimi (x yerine 0 yazılırsa)
\[
P(0 – 4) = P(-4)
\]
tür. Buna göre,
\[
P(x – 3) = (x^2 + x + 1)^3 + x + 2
\]
de \( x \) yerine \( -1 \) yazılırsa,
\[
P(-1 – 3) = P(-4) = ((-1)^2 + (-1) + 1)^3 + (-1) + 2
\]
\[
= 2
\]
dir.
\(\textbf{Cevab: A} \)
Bir \( P(x) \) polinomunun, çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı \( ç \), tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı \( t \) olsun.
\[
P(1) = ç \;+ \; t
\]
\[
P(-1) = ç \;-\; t
\]
olduğundan,
\[
ç= \frac{P(1) + P(-1)}{2} \quad \text{ve} \quad t = \frac{P(1) – P(-1)}{2}
\]
dir.
SORU 6
\[
P(x) = (x^5 – 3x^3 + x^{17})
\]
polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?
\[
\text{A)} -4 \quad
\text{B) } -3 \quad
\text{C) } -2 \quad
\text{D) } -1 \quad
\text{E) } 0
\]
Çözüm:
\[
ç = \frac{P(1) + P(-1)}{2}
\]
\[
= \frac{-1 + 1}{2} = 0 \quad \text{dır.}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
← Önceki Sayfa | Sonraki Sayfa →