Bileşke Fonksiyon
\[
f: A \to B, \quad g: B \to C
\]
Fonksiyonları verilsin. \( f \) ve \( g \)’yi kullanarak \( A \) kümesinin elemanlarını \( C \) kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona, \( f \) ile \( g \) nin bileşke fonksiyonu denir.
\[
g \circ f : A \to C, \quad (g \circ f)(x) = g(f(x))
\]
Örnek:
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x^2 + 1
\]
\[
g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = x + 1
\]
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2 + 1
\]
\[
= x^2 + 2x + 2
\]
\[
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 1) = (x^2 + 1) + 1
\]
\[
= x^2 + 2
\]
Bileşke Fonksiyonun Özellikleri:
1. Fonksiyonlar arasında tanımlanan bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
\[
f \circ g \neq g \circ f \quad \text{(eğer \( f \neq I \) ve \( g \neq I \) ise)}
\quad (I: \text{ Birim Fonksiyon ) }
\]
Uyarı:
Bazı \( f \) ve \( g \) fonksiyonları için \( f \circ g = g \circ f \) olabilir.
Örnek:
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = x + 2
\]
\[
g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g(x) = x – 7
\]
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x – 7) = x – 7 + 2 = x – 5
\]
\[
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = x + 2 – 7 = x – 5
\]
Bu durumda:
\[ f \circ g = g \circ f \quad \text{nin olabileceği görülür.} \]
2. Fonksiyonlar arasında tanımlanan bileşke işleminin birleşme özelliği vardır:
\[
f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h
\]
\[
f \circ g \circ h = f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h
\]
Örnek:
\[
\text{R } \to \text{ R}, \quad f(x) = 2x, \quad g(x) = x^2, \quad h(x) = x + 1
\]
\[
ise
\]
\[
(g \circ h)(x) = g\bigl(h(x)\bigr) = g(x+1) = (x+1)^2
\]
\[
[f \circ (g \circ h)](x) = f\bigl((g \circ h)(x)\bigr)
= f\bigl((x+1)^2\bigr)
= 2(x+1)^2
\]
\[
(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr)
= f(x^2)
= 2x^2
\]
\[
[(f \circ g) \circ h](x) = (f \circ g)\bigl(h(x)\bigr)
= (f \circ g)(x+1)
= 2(x+1)^2
\]
\[
\text{olduğundan, } f \circ (g \circ h) \;=\; (f \circ g) \circ h \text{ olduğu görülür.}
\]
Uyarı:
\[
(f \circ g \circ h)(x) = [(f \circ g) \circ h](x) = f[g(h(x))]
\]
Örnekler:
\[
\mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ de } f(x) = x^2 – 1 \quad g(x) = 2x, \quad \text{ve} \quad h(x) = x + 2 \text{ ise,}
\]
\( \bullet \quad (fogoh)(x): \)
\[
(f \circ g \circ h)(x) = f[g(h(x))] = \left[ 2(x+2) \right]^2 – 1
\]
\[
= 4x^2 + 16x + 15
\]
\( \bullet \quad (fogoh)(1) \) ifadesini bulalım.
\[
(f \circ g \circ h)(1) = f[g(h(1))]
\]
\[
= f[g(3)]
\]
\[
= f(6) = 35
\]
3. Bileşke fonksiyonun birim fonksiyonla ilişkisi
\[
f \circ I = I \circ f = f, \quad \text{(f: A → A)}
\]
4. Fonksiyonun tersiyle bileşke işlemi
\[
f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I, \quad \text{(f: A → A)}
\]
Örnek:
\[
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{2x – 3}{5}
\]
\[
f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}
\]
\[
\Rightarrow (f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x))
\]
\[
= \frac{2 \cdot \left( \frac{5x + 3}{2} \right) – 3}{5} = x \quad \text{olarak bulunur.}
\]
Sonuç:
\[
f \circ f^{-1} = I
\]
Uyarı:
Eğer \( fog = h \) ise \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarını bulabiliriz.
1. Her iki tarafın sağından \( g^{-1} \) ile bileşke alırsak:
\[
fog = h \Rightarrow fog \circ g^{-1} = h \circ g^{-1}
\]
\[
\Rightarrow f \circ I = h \circ g^{-1}
\]
\[
\Rightarrow f = h \circ g^{-1}
\]
2. Her iki tarafın solundan \( f^{-1} \) ile bileşke alırsak:
\[
fog = h \Rightarrow f^{-1} \circ fog = f^{-1} \circ h
\]
\[
\Rightarrow I \circ g = f^{-1} \circ h
\]
\[
\Rightarrow g = f^{-1} \circ h
\]
Örnek:
\[
f(x) = \frac{x – 1}{2}, \quad (fog)(x) = 3x + 4 \text{ ise } g(x) \text{ fonksiyonunu bulalım.}
\]
\[
f^{-1}(x) = 2x + 1, \quad h(x) = 3x + 4
\]
\[
g(x) = (f^{-1} \circ h)(x) = f^{-1}(h(x))
\]
\[
= 2(3x + 4) + 1
\]
\[
= 6x + 9
\]
Örnek:
\[
f \left( \frac{2x – 1}{x + 3} \right) = x + 1 \text{ ise } f(x) \text{ fonksiyonunu bulalım.}
\]
\[
g(x) = \frac{2x – 1}{x + 3}, \quad h(x) = x + 1
\]
\[
g^{-1}(x) = \frac{-3x – 1}{x – 2}
\]
\[
f \left( \frac{2x – 1}{x + 3} \right) = x + 1 \Rightarrow (fog)(x) = h(x)
\]
\[
\Rightarrow f(x) = (h \circ g^{-1})(x)
\]
\[
= h(g^{-1}(x))
\]
\[
= \frac{-3x – 1}{x – 2} + 1 = \frac{-2x – 3}{x – 2} \quad \text{olarak bulunur.}
\]
Burada,
\[
f(g(x)) = h(x)
\]
ifadesinde eşitliğin iki yanında \( x \) yerine \( g^{-1}(x) \) yazılarak \( f(x) \) fonksiyonunun bulunduğuna dikkat ediniz.
Örnek:
\[
f \left( \sqrt[3]{x} + 1 \right) = x^2 \text{ ise } f(x) \text{ fonksiyonunu bulalım.}
\]
\[
g(x) = \sqrt[3]{x} + 1 \text{ olsun. } f(x) \text{ i bulmak için eşitliğin her iki yanında } x \text{ yerine } g^{-1}(x) \text{ yazılır.}
\]
Öncelikle \( g^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulalım:
\[
y = g(x) = \sqrt[3]{x} + 1 \Rightarrow y – 1 = \sqrt[3]{x}
\]
\[
\Rightarrow (y – 1)^3 = x
\]
\[
\Rightarrow g^{-1}(x) = (x – 1)^3
\]
Şimdi,
\[
f \left( \sqrt[3]{x} + 1 \right) = x^2
\]
eşitliğinde \( x \) yerine \( g^{-1}(x) \) yazarsak:
\[
f \left( \sqrt[3]{(x – 1)^3} + 1 \right) = ((x – 1)^3 + 1)^2
\]
\[
\Rightarrow f(x) = (x – 1)^6 \quad \text{olarak bulunur.}
\]
Uyarı:
Eğer \( f: A \to B \) bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere:
\[
A \overset{f}{\longrightarrow}
B \overset{f^{-1}}{\longrightarrow}
A
\quad\quad
B \overset{f^{-1}}{\longrightarrow}
A \overset{f}{\longrightarrow}
B
\]
\[
f^{-1} \circ f = I \quad \text{ve} \quad I : A \to A
\]
\[
f \circ f^{-1} = I \quad \text{ve} \quad I : B \to B
\]
Bunun anlamı:
\[
A \neq B \text{ ve } f: A \to B \; \text{ise } f \circ f^{-1} \neq f^{-1} \circ f
\]
\[
A \neq B \text{ ve } f: A \to A \; \text{ise } f \circ f^{-1} \neq f^{-1} \circ f \quad \text{dir.} \]
Bileşke Fonksiyonun Tersi
Eğer \( f, g, h \) fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere:
\[
(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}
\]
\[
(f \circ g \circ h)^{-1} = h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1}
\]
Örnek:
\[
f(x) = x^2 + 1, \quad g(x) = \frac{-x + 1}{x + 2}
\]
Bu fonksiyonlar bire bir ve örtendir.
\[
(f^{-1} \circ g)^{-1} (2) \text{ ifadesinin değerini bulalım.}
\]
Çözüm:
\[
(f^{-1} \circ g)^{-1} (2) = (g^{-1} \circ (f^{-1})^{-1} )(2)
\]
\[
= (g^{-1} \circ f)(2)
\]
\[
= g^{-1} (f(2))
\]
\[
= g^{-1} (5)
\]
Denklem:
\[
x = g^{-1}(5) \iff 5 = g(x)
\]
\[
\Rightarrow 5 = \frac{-x + 1}{x + 2}
\]
Buradan:
\[
x = g^{-1} (5) = -\frac{3}{2}
\]
olarak bulunur.
SORU 23
\[
f\left( \frac{2x – 1}{3x + 1} \right) = x – 1
\]
olduğuna göre, \( f(3) \) kaçtır?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } – \frac{11}{7} \quad
\text{C) } \frac{11}{7} \quad
\text{D) } -\frac{9}{4} \quad
\text{E) } \frac{9}{4}
\]
Çözüm:
\[
\frac{2x – 1}{3x + 1} = 3
\]
Buradan \( x \) değeri:
\[
x = -\frac{4}{7}
\]
eşitliğin iki yanında \( x \) yerine \( -\frac{4}{7} \) yazarsak:
\[
f\left( \frac{2x – 1}{3x + 1} \right) = x – 1 \Rightarrow f(3) = -\frac{4}{7} – 1
\]
\[
f(3) = -\frac{4}{7} – \frac{7}{7} = -\frac{11}{7}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 24
\[
f(x) = \frac{2 f(x-2) + x}{3} \quad \text{ve } f(6) = \frac{16}{3} \quad \text{ise } \; f(2) \; \text{kaçtır?} \]
\[
\text{A)} \frac{11}{2} \quad
\text{B) } \frac{11}{3} \quad
\text{C) } \frac{11}{4} \quad
\text{D) } \frac{11}{5} \quad
\text{E) } \frac{11}{6}
\]
Çözüm:
\[ f(x) = \frac{2f(x-2) + x}{3} \Rightarrow f(6) = \frac{2f(6-2) + 6}{3} \]
\[ \Rightarrow \frac{16}{3} = \frac{2f(4) + 6}{3} \]
\[ \Rightarrow f(4) = 5 \quad \text{Aynı şekilde,} \]
\[ f(x) = \frac{2f(x-2) + x}{3} \Rightarrow f(4) = \frac{2f(4-2) + 4}{3} \]
\[ \Rightarrow 5 = \frac{2f(2) + 4}{3} \]
\[ \Rightarrow f(2) = \frac{11}{2} \quad \text{dir. } \]
\(\textbf{Cevab: A } \)
SORU 25
\( f(x) = 2^{x-2} + 1 \) olduğuna göre, \( f(x+2) \) nin \( f(x) \) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A)} 3f(x) – 1 \quad
\text{B) } 4f(x) – 1 \quad
\text{C) } 4f(x) \quad
\text{D) } 3f(x) \quad
\text{E) } 4f(x) – 3
\]
Çözüm:
\[ f(x) = 2^{x-2} + 1 \Rightarrow f(x+2) = 2^{x+2-2} + 1 \]
\[ \Rightarrow f(x+2) = 2^x + 1 \]
\[ f(x) = 2^{x-2} + 1 \Rightarrow f(x) – 1 = 2^{x-2} \]
\[ \Rightarrow f(x) – 1 = \frac{2^x}{2^2} \]
\[ \Rightarrow 4f(x) – 4 = 2^x \quad \text{olduğuna göre,} \]
\[ f(x+2) = 2^x + 1 = 4f(x) – 4 + 1 \]
\[ = 4f(x) – 3 \quad \text{tür} \]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 26
\( f(x^2 + x + 1) = 3x^2 + 3x + 1 \) olduğuna göre, \( f(x) \) aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A)} x+1 \quad
\text{B) } 2x+3 \quad
\text{C) } 2x-3 \quad
\text{D) } 3x-2 \quad
\text{E) } 3x+2
\]
Çözüm:
\[
f(x^2 + x + 1) = 3x^2 + 3x + 1
\]
şeklindedir. Burada \( f(x) \) fonksiyonunun genel formunu bulmaya çalışacağız.
Adım 1: Değişken Dönüşümü: Fonksiyonun içine basit bir ifade koyarak \( f(x) \) hakkında bilgi edinmeye çalışalım. Öncelikle \( x = 0 \) için fonksiyon eşitliğine bakalım:
\[
f(0^2 + 0 + 1) = 3(0)^2 + 3(0) + 1
\]
\[
f(1) = 1
\]
Şimdi \( x = 1 \) için eşitliği yazalım:
\[
f(1^2 + 1 + 1) = 3(1)^2 + 3(1) + 1
\]
\[
f(3) = 3 + 3 + 1 = 7
\]
\( x = 2 \) için deneyelim:
\[
f(2^2 + 2 + 1) = 3(2)^2 + 3(2) + 1
\]
\[
f(7) = 3(4) + 6 + 1 = 19
\]
Şimdi \( f(x) \) fonksiyonunun bir doğrusal fonksiyon olup olmadığını kontrol edelim.
Adım 2: Doğrusal Fonksiyon Hipotezi
\( f(x) = ax + b \) şeklinde bir fonksiyon olduğunu varsayalım.
\( f(1) = 1 \) ve \( f(3) = 7 \) verildiğine göre:
\[
a(1) + b = 1
\]
\[
a(3) + b = 7
\]
Bu iki denklemden:
1. \( a + b = 1 \)
2. \( 3a + b = 7 \)
Bu iki denklemden birini diğerinden çıkaralım:
\[
(3a + b) – (a + b) = 7 – 1
\]
\[
2a = 6
\]
\[
a = 3
\]
Bulduğumuz \( a \) değerini birinci denklemde yerine koyarsak:
\[
3 + b = 1
\]
\[
b = -2
\]
\[
f(x) = 3x – 2
\]
II. Yol
\[
\Rightarrow f(x^2 + x + 1) = 3x^2 + 3x + 3 – 2
\]
\[
\Rightarrow f\underbrace {(x^2 + x + 1) }_{a}= 3 \underbrace{(x^2 + x + 1)}_{a} – 2
\]
\[
\Rightarrow f(a) = 3a – 2 \Rightarrow f(x) = 3x – 2 \text{ dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: D} \)
SORU 27
\[
f\left( \frac{x}{x^2 + 1} \right) = x – 1
\]
olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\[
\text{A) } x \quad
\text{B) } \frac{x+1}{x^2 + 1} \quad
\text{C) } \frac{x}{x^2 + 2} \quad
\text{D) } \frac{x}{x+2} \quad
\text{E) } \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1}
\]
Çözüm:
\[
y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1}(y)
\]
\[
f\left( \frac{x}{x^2 + 1} \right) = x – 1 \Rightarrow \frac{x}{x^2 + 1} = f^{-1}(x – 1)
\]
\[
\Rightarrow \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1} = f^{-1}(x + 1 – 1)
\]
\[
\Rightarrow \frac{x+1}{(x+1)^2 + 1} = f^{-1}(x)
\]
olarak bulunur.
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 28
\[
f(x+1) = 5x^2 + 1 \quad \text{ve} \quad g(x+8) = x^2 + 1
\]
olduğuna göre, \( (gof)(-1) \) kaçtır?
\[
\text{A) } 169 \quad
\text{B) } 170 \quad
\text{C) }171 \quad
\text{D) } 172\quad
\text{E) } 173
\]
Çözüm:
\[
(gof)(-1) = g(f(x)) = g(f(-1))
\]
\[
f(x+1) = 5x^2 + 1 \Rightarrow f(-2+1) = 5(-2)^2 + 1
\]
\[
\Rightarrow f(-1) = 21 \text{ olduğuna göre,}
\]
\[
g(f(-1)) = g(21)
\]
\[
g(x+8) = x^2 + 1 \Rightarrow g(13+8) = (13)^2 + 1
\]
\[
\Rightarrow g(21) = 170 \text{ dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 29
\[
f(x) = 2^{x+2} \quad \text{ve} \quad g(x) = x^2 + 15
\]
olduğuna göre, \( (f^{-1} \circ g \circ f)(-2) \) kaçtır?
\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) }4 \quad
\text{D) } 5\quad
\text{E) } 6
\]
Çözüm:
\[
(f^{-1} \circ g \circ f)(-2) = f^{-1} \left[g(f(x))\right]= f^{-1} \left[g(f(-2))\right]
\]
\[ f(-2) = 2^{x+2}= 2^{-2+2}=2^0= 1\]
\[ g(x) = x^2 + 15 \Rightarrow g(1) = 1^2+15 =16 \]
\[
= f^{-1} (g(1))
\]
\[
= f^{-1} (16) \quad \text{çünkü} \quad 16 = f(x)
\]
\[
\Rightarrow 16 = 2^{x+2}
\]
\[
\Rightarrow x = 2 \text{ olur.}
\]
O halde \( (f^{-1} \circ g \circ f)(-2) = 2 \) dir.
\(\textbf{Cevab: A} \)
SORU 30
Yukarıdaki şekilde \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( (fofofof)(5) \) kaçtır?
\[
\text{A) } 6 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) }4 \quad
\text{D) } 3\quad
\text{E) } 2
\]
Çözüm:
\( x \geq 3 \) için \( f(x) \) sabit fonksiyon olduğundan,
\[
f(5) = 2 \text{ olup,}
\]
\[
(fofofof)(5) = f[f(f[f(5)])]
\]
\[
= f[f(f(2))]
\]
\[
= f[f(0)]
\]
\[
= f(4) = 2 \text{ dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 31
Şekilde \( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
\[
(fof)(2x – 4) = 3
\]
olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
\[
\text{A) } 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) }2 \quad
\text{D) } 3\quad
\text{E) } 4
\]
Çözüm:
\[
(fof)(2x – 4) = 3 \Rightarrow f(f(2x – 4)) = 3
\]
Grafikten,
\[
f(1) = 3 \quad \text{olduğundan,} \;\; \Rightarrow f(2x – 4) = 1
\]
\[
f(0) = 1 \quad \text{olduğundan,} \;\; \Rightarrow 2x – 4 = 0
\]
\[
x= 2 \quad \text{bulunur. }
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)