Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması
Herhangi bir tabanda verilen bir sayı çözümlenerek 10 tabanındaki eşiti bulunur. Daha sonra 10 tabanından istenen tabana çevrilir.
Örnekler:
• \((1011101)_2\) sayısının 3 tabanındaki eşitini bulalım.
\[
\begin{array}{l}
(1011101)_2= 1\cdot2^6+0\cdot2^5+1\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^1\\
=64+16+8+4+1=93\\
(1011101)_2=93\quad olur.\\
\\
\text{93 sayısını 3 lük tabana çevirdiğimizde}\\
\\
1. \quad 93 \div 3 = 31 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 0\\
2. \quad 31 \div 3 = 10 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 1\\
3. \quad 10 \div 3 = 3 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 1\\
4. \quad 3 \div 3 = 1 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 0\\
5. \quad 1 \div 3 = 0 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 1\\
\\
(10110)_3 \quad bulunur
\end{array}
\]
olduğundan \((1011101)_2 =93=(10110)_3\) olur
• \((123)_4\) sayısının 5 tabanındaki eşitini bulalım.
\[
\begin{array}{l}
(123)_4= 1\cdot4^2+2\cdot4^1+3\cdot4^0\\
=16+8+1=27\\
(123)_4=27\quad olur.\\
\text{27 sayısını 5 lik tabana çevirdiğimizde}\\
\\
1. \quad 27 \div 5 = 5 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 2\\
2. \quad 5 \div 5 = 1 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 0\\
3. \quad 1 \div 5 = 0 \quad \text{bölüm}, \quad \text{kalan} = 1\\
27 = (102)_5
\end{array}
\]
olduğundan \((123)_4 =27=(102)_5\) olur
a Tabanındaki Bir Sayının \(a^n\) Tabanında Yazılması
a tabanında verilen bir sayı \(a^n\) tabanında yazılırken:
1. Verilen sayının basamakları sağdan sola doğru n`li gruplara ayrılır.
2. En soldaki gruptan başlayarak her bir grup sırasıyla a tabanına göre çözümlenerek \(a^n\) tabanında yazılacak sayının rakamları bulunur.
3. Bulunan rakamlar sırasıyla soldan sağa doğru yazılarak a tabanındaki sayının \(a^n\) tabanındaki eşiti elde edilir.
Örnekler:
• \( (10110011010)_2 \) sayısının 8 tabanındaki eşitini bulalım.
\(8=2^3\) olduğundan \((10110011010)_2\) sayısının basamaklarını sağdan sola doğru 3 erli gruplara ayırarak her grubu 2 tabanına göre sırasıyla soldan sağa doğru çözümleyelim.
\[
\begin{array}{l}
(10 \quad110 \quad011 \quad010)_2 = (abcd)_8 \quad olsun\\
(10)_2=2=a\\
(110)_2=6=b\\
(011)_2=3=c\\
(010)_2=1=d \quad olduğundan\\(10110011010)_2=(2632)_8\quad olur.
\end{array}
\]
•\((2012201)_3\) sayısının 9 tabanındaki eşitini bulalım.
\(9=3^2\) olduğundan \((2012201)_3\) sayısının basamaklarını sağdan sola doğru 2 erli gruplara ayırarak her grubu 3 tabanına göre sırasıyla soldan sağa doğru çözümleyelim.
\[
\begin{array}{l}
(2\quad 01\quad 22\quad 01)_3 = (abcd)_9 \quad olsun\\
(2)_3=2=a\\
(01)_3=1=b\\
(22)_3=8=c\\
(01)_3=1=d \quad olduğundan\\
(2 01 22 01)_3=(2181)_9 \quad olur.
\end{array}\]
- \((101010100111010101)_2\) sayısının 16 tabanındaki eşitini bulalım.
\(16 = 2^4\) olduğundan $$(101010100111010101)_2$$ sayısının basamaklarını sağdan sola doğru 4 erli gruplara ayırıp her grubu sırasıyla soldan sağa doğru çözümleyelim.
\[
\begin{array}{l}
(101010100111010101)_2 = (abcde)_{16} \quad \text{olsun}\\
\\
\text{Dörtlü gruplara ayırıyoruz:} \\
(101010100111010101)_2 = (10\ 1010\ 1001\ 1101\ 0101)_2 \\
\\
(10)_2 = 2_{16}=a\\
(1010)_2 = 10_{16}=b=A\\
(1001)_2 = 9_{16}=c\\
(1101)_2 = 13_{16}=d=D\\
(0101)_2 = 5_{16}=e\\
\\
(101010100111010101)_2 = (2A9D5)_{16} \quad \text{olur.}
\end{array}
\]
Soru 27:
5 tabanındaki rakamları birbirinden farklı dört basamaklı en büyük tek sayının 4 tabanındaki eşiti nedir?
\begin{array} \text{A) } (2203)_{4} & \text{B) } (3011)_{4}& \text{C) } (3201)_{4} & \text{D) } (21021)_{4}& \text{E) } (20121)_{4} \end{array}
Çözüm:
Verilen şartlara uygun 5 tabanındaki sayı \((abcd)_5\) olsun. Bu sayı tek sayı olacağından a+b+c+d toplamı tek sayı olmalıdır. Buna göre a=4, b = 3, c=2, d = 0, seçilirse \((4320)_5\) olur. Bu sayının 4 tabanındaki eşitini bulmak için önce 10 tabanına çevirelim.
\[
\begin{array}{l}
(4320)_5= 4\cdot 5^3 + 3\cdot 5^2 + 2\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 =585 \\
\text{585 sayısını 4 tabanına çevirirsek}\\
\\
585 \div 4 = 146 \quad \text{kalan} \ 1 \\
146 \div 4 = 36 \quad \text{kalan} \ 2 \\
36 \div 4 = 9 \quad \text{kalan} \ 0 \\
9 \div 4 = 2 \quad \text{kalan} \ 1 \\
2 \div 4 = 0 \quad \text{kalan} \ 2 \\
\\
\text{Kalanları tersten yazarsak:} \\
585 = (21021)_4
\end{array}
\]
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 28:
16 Sayı tabanı olmak üzere \((5A2)_{16}\) sayısının 2 tabandaki eşiti nedir.
\begin{array} \text{A) } (101101010)_{2} & \text{B) } (10110100010)_{2}& \text{C) } (111010010)_{2} & \text{D) } (1010101011)_{2}& \text{E) } (1100110101)_{2} \end{array}
Çözüm:
\((5A2)_{16}\) sayısının rakamlarını soldan sağa sırasıyla 2 tabanına çevirip bulduğumuz değerleri ayni sırada yerine yazarsak \((5A2)_{16}\) sayısının 2 tabanındaki eşitini bulabiliriz. Burada \(16 = 2^4\) olduğundan bu sayının rakamlarını 2 tabanına çevirdiğimizde elde edilen değerler 4 rakamdan meydana gelmelidir.
Buna göre işlem yapılırsa,
\[
\begin{array}{l}
(5A2)_{16}\\
5=(101)_2=(0101)_2\\
A=10=(1010)_2\\
2=(10)_2=(0010)_2 \text{ elde edilir.}
\end{array}
\]
Bu değerler sırasıyla soldan sağa doğru yazılırsa \((010110100010)_2\) sayının en solundaki sıfır (0) sayının değerini değiştirmez. O halde \((5A2)_{16}\)sayısının 2 tabanındaki eşiti \((010110100010)_2\) olur.
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 29:
16 sayı tabanını göstermek üzere, \((5A93C2)_{16}\) sayısının 2 tabandaki eşiti kaç basamaklıdır?
\begin{array} \text{A) } 16 & \text{B) } 21 & \text{C) } 23 & \text{D) } 24 & \text{E) } 26 \end{array}
Çözüm:
\(16=2^4\) olduğundan \((5A93C2)_{16}\) sayısının rakamlarının her biri (5 hariç) bu sayının 2 tabanındaki eşitinin basamaklarının sağdan sola doğru 4 erli gruplara ayrılıp 2 tabanında çözümlenmesiyle elde edilmiştir. Buna göre 2, C, 3, 9, A rakamlarının her biri için 4 basamak sayılmalıdır. \(5= (101)_2\) olduğundan 5 rakamı da 3 basamağa karşılık gelir. O halde \((5A93C2)_{16}\) sayısının 2 tabanındaki karşılığı \(5\cdot 4+ 3 = 23\) basamaklıdır.
\(\textbf{Cevab: E} \)