Rasyonel Sayılar
Matematikte birbirine denk olan kesirlerin oluşturduğu kümenin bütünü tek bir sayısal değeri temsil eder. Bu şekilde tanımlanan ifadelere rasyonel sayı adı verilir. Herhangi bir rasyonel sayıyı göstermek amacıyla, o sayının ait olduğu denk kesirler kümesinin dilediğimiz bir elemanını seçip kullanabiliriz.
a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere,
$$A={\frac{a}{2b}, \frac{2a}{2b}, \frac{3a}{3b}, \cdots, \frac{ka}{kb}, \cdots }\,\, k \in Z $$
kümesi verilsin. Bu kümenin elemanları olan kesirler denk oldukları için A kümesi bir rasyonel sayı ifade eder. Bu kümenin
temsilcisi \(\displaystyle \frac{a}{b} \) dir. A kümesinin belirttiği rasyonel sayı \(\displaystyle \frac{a}{b} \) ile temsil edildiği gibi bu kümenin herhangi bir elemanı ile de temsil edilebilir.
Uyarı:
Yapısı gereği her kesir özünde bir rasyonel sayıyı modeller. Örneğin, $$-\frac{2}{7}, -\frac{4}{3}, \frac{9}{7}, \frac{11}{12} , 0, 8, \cdots $$ sayıların her biri birer rasyonel sayıyı gösterir.
RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Rasyonel sayıları kendi aralarında büyüklük ve küçüklük durumlarına göre mukayese ederken temelde 5 farklı yöntemden yararlanırız:
- Paydaları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan payı küçük olan daha küçüktür.
$$ \frac{3}{7} < \frac{4}{7} <\frac{5}{7} $$
Örnek:
$$ {\frac{3}{4}, \frac{5}{8} ,\frac{4}{6} } $$
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Kesirlerin paydalarını, paydaların okek inde eşitlersek; OKEK (4, 8, 6) = 24 tür. Buradan
$$\displaystyle\frac{3}{4}\cdot \displaystyle\frac{6}{6} =\displaystyle\frac{18}{24} $$
$$\displaystyle\frac{5}{8} \cdot \displaystyle\frac{3}{3} = \displaystyle\frac{15}{24} $$
$$\displaystyle\frac{4}{6} \cdot \displaystyle\frac{4}{4} =\displaystyle\frac{16}{24} \quad \text{ise} $$
$$\displaystyle\frac{15}{24} <\frac{16}{24} <\frac{18}{24} \quad \text{O halde} $$
$$\displaystyle\frac{5}{8} <\displaystyle\frac{4}{6} <\displaystyle\frac{3}{4} \quad \text{Şeklinde sıralanır} $$
2. Payları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan paydası küçük olan daha büyüktür.
$$ {\frac{8}{3} > \frac{8}{5}> \frac{8}{6} } $$
Örnek:
$$ {\frac{3}{5} , \frac{2}{6}, \frac{4}{7} }$$
Sayıları sıralayalım.
Kesirlerin paylarını, payların okek inde eşitlersek; OKEK (3, 2, 4) = 12 dir. Buradan,
$$ \displaystyle\frac{3}{5} \cdot \displaystyle\frac{4}{4} = \displaystyle\frac{12}{20} $$
$$ \displaystyle\frac{2}{6} \cdot \displaystyle\frac{6}{6} = \displaystyle\frac{12}{36} $$
$$ \displaystyle\frac{4}{7} \cdot \displaystyle\frac{3}{3} = \displaystyle\frac{12}{21} $$
ise
$${\frac{12}{20} >\frac{12}{21} > \frac{12}{36}= \frac{3}{5}> \frac{4}{7} >\frac{2}{6} }$$ şeklinde sıralanır.
\(\displaystyle{\frac{a}{b} } \quad \) ve \( \quad \displaystyle{\frac{c}{d} } \) pozitif iki kesir olmak üzere,
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{a}{b} \div \displaystyle\frac{c}{d}} > 1 \quad ise \quad {\displaystyle\frac{a}{b} >\displaystyle\frac{c}{d} } \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{a}{b} \div \displaystyle\frac{c}{d}} < 1 \quad ise \quad {\displaystyle\frac{a}{b} <\displaystyle\frac{c}{d} } \end{array}\]
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{a}{b} =\displaystyle\frac{c}{d}} < 1 \quad ise \quad {\displaystyle\frac{a}{b} =\displaystyle\frac{c}{d} } \quad \text{dir. } \end{array}\]
Örnek:
\( \displaystyle{\frac{2}{3} } \quad \) ve \( \quad \displaystyle{\frac{3}{4} } \) kesirlerini araştıralım.
\[\begin{array}{l l } {\displaystyle\frac{2}{3} \div \displaystyle\frac{3}{4} =\displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{4}{3} =\displaystyle \frac{8}{9} < 1} \end{array}\]
olduğundan bölünen kesir \(\displaystyle {\frac{2}{3} } \quad \) daha küçüktür. Yani \(\displaystyle{\frac{2}{3} < \frac{3}{4} } \) tür
4. Rasyonel sayılar ondalık sayıya çevirilerek karşılaştırılabilir. İki ondalık sayıdan tam kısmı büyük olan daha büyüktür. Tam kısmı eşit olan ondalık sayılar virgülden sonraki kısmına bakılarak karşılaştırılır.
Şöyle ki: Verilen sayıları soldan sağa doğru, sırayla aynı hizadaki basamak değerlerine göre inceleriz. Bu süreçte karşılaştığımız ilk farklı rakam çifti belirleyicidir. Karşımıza çıkan bu farklı rakamlardan hangisi daha büyükse, o rakamı barındıran ondalık sayı diğerine göre daha büyük bir değere sahiptir.
Örnekler:
- 3,21 > 2,95 (tam kısımlar farklı ve 3>2)
- 2,3428 ile 2,3432 sayılarını karşılaştıralım. Tam kısımlar aynı olduğundan, virgülden sonraki kısımları soldan sağa doğru sırasıyla karşılaştırdığımızda birbirinden farklı rakama rastladığımız ilk basamak binde birler basamağıdır. Bu rakamlar için 2 < 3 oldugundan binde birler basamağındaki rakamı 2 olan sayı daha küçüktür.
- 3,418 ile 3,602 ve 3,42 sayılarını karşılaştıralım. Bu sayıları yukarıda ki örnekte olduğu gibi sıralarsak, 3,602>3,42>3,418 olur.
5. Pay ve paydası arasındaki fark eşit olan pozitif kesirlerin pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe; basit kesirlerin değeri artar, bileşik kesirIerin ise değeri azalır.
\[\begin{array}{l l }
{\displaystyle\frac{3}{8} <\displaystyle\frac{4}{9} <\displaystyle\frac{7}{12}< \displaystyle\frac{8}{13} \cdots} \\
\\
{\displaystyle\frac{5}{3} >\displaystyle\frac{7}{5} >\displaystyle\frac{9}{7} >\displaystyle\frac{10}{8} \cdots }\\
\end{array}\]
Uyarı: Negatif yönlü rasyonel sayılarda büyüklük kıyaslaması yapılırken, ilk etapta sayıların önündeki eksi işaretleri tamamen yokmuş gibi düşünülerek normal bir sıralama kurulur. Bu işlemin hemen ardından, tüm ifadeler negatif bir değerle (-1 ile) genişletilerek elde edilen sıralama bağıntısının yönü tersine çevrilir.
Örnek:
\[\begin{array}{l l } a= {-\displaystyle\frac{11}{10}} , b= {-\displaystyle\frac{101}{100}} , c= {-\displaystyle\frac{1001}{1000}} \end{array}\]
olduğuna göre a, b, c sayıları arasındaki bulalım.
Verilen sayları işareti hesaba katılmadan sıralanırsa,
\[ {\frac{11}{10}} > {\frac{101}{100}} > {\frac{1001}{1000}} \]
Eşitsizliğin her tarafı -1 ile çarpılırsa
\[ {-\frac{11}{10}} < {-\frac{101}{100}} < {-\frac{1001}{1000}} \quad \text{olur. } \]
Buna göre, a < b < c dir.
Örnek:
24,48 < 24, X5 sıralamasında X yerine yazılabilecek rakamlar kümesini bulalım.
Onda birler basamakları karşılaştırılırsa; verilen sıralamanın doğru olması için X yerine yazılabilecek rakamlar 4 ten büyük olmalıdır. Buna göre, X yerine yazılabilecek rakamlar kümesi,
$${5,6,7,8,9 }$$
olarak bulunur.