Bölünebilme, Bölme-Kalan Özellikleri

\(B \neq 0 \) ve A, B, C, K tamsayılar olmak üzere,

\[
\begin{array}{c|c}
\begin{array}{c} A \\
_\_\quad \vdots \\
\hline
K
\end{array} &
\begin{array}{c}
\quad B \\
\hline \\ C
\end{array}
\end{array} \]

şeklinde verilen bir bölme işleminde,

A ya bölünen,
B ye bölen,
C ye bölüm,
K ya kalan denir. Burada

\(A = B. C + K\) eşitliğine bölme özdeşliği denir.
Kalan, bölenden küçüktür. (K<B)
K=0 ise A, B ye tam bölünür
Kalan, bölümden de küçük ise bölenle bölüm yer değiştirilirse kalan değişmez. Yani K<B ve K<C ise

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad B \\
\hline
\quad C
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve \;\; \;\; \;\; \;\; \;\;
\end{array}
\begin{array}{C}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad C \\
\hline
\quad B
\\
\\
\end{array}
\end{array} \]

olur.

Örnek:

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &230 \;\;\\
-\quad &221 \;\; \\
\hline
&\quad 9 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 13 \\
\hline
\quad 17
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad
230=13\cdot17+9
\end{array}
\end{array} \]

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &230 \;\;\\
-\quad &221 \;\; \\
\hline
&\quad 9 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 17 \\
\hline
\quad 13
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad
230=17\cdot13+9
\end{array}
\end{array} \]

Kalan, bölümden de küçük ise bölen le bölüm yer değiştirilirse kalan değişmez.

Örnek:

\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad 134 \;\;\\
-\quad \vdots \;\; \\
\hline
\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad A \\
\hline
\quad 11
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

Yandaki bölme işleminde K<11 olduguna göre A+K toplamını bulalım.

Çözüm:

Kalan bölümden küçük olduğundan bölenle bölüm yer değiştirebilir. Bu şekilde işlem yapılırsa,

\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad 134 \;\;\\
-\quad 132 \;\;\;\; \\
\hline
\;\;\quad 2 \rightarrow K \\
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 11 \\
\hline
\quad 12 \rightarrow A
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

\[ A= 12 \quad \text{ ve} \quad K= 2 \text{ dir}\] O halde \(A+ K=14\) olarak bulunur.

Kalan Özellikleri:

1. Bir A sayısının x sayısına bölümünden kalan a ve bir B sayısının x sayısına bölümünden kalan b ise

a) A + B toplamının x sayısına bölümünden kalan a + b,

b) A . B çarpımının x sayısına bölümünden kalan a . b dir.

Uyarı: Yukarıda verilen özellikler için a + b veya a . b sayısı x sayısından büyük olursa, bu degerler x sayısına tekrar bölünerek kalan bulunur.

Örnekler:

\(357984\) ve \(1996\) sayılarının toplamının ve çarpımının 9 a bölümünden kalanı bulalım.

\(\to\) \(2357984 + 1996\) toplamının 9´a bölümünden kalan \(2+7=9\) ve buradan 9 un 9 ´a bölümünden kalan 0 olduğundan bu toplamın 9´a bölümünden kalan 0 olur.

\(2357984 \cdot 1996\) çarpımının 9 a bölümünden kalanı bulalım.

\(\to\) \(2 \cdot7 = 14\) ve buradan 14 ün 9 a bölümünden kalan 5 olduğundan bu çarpımın 9 a bölümünden kalan 5 olarak bulunur.

Uğur, elindeki şekerleri 7 şer gruplandırdığında 5 şeker, kardeşi Melek, şekerlerini 7 şer gruplandırdığında 4 şeker artıyor. Uğur şekerlerini kardeşi Melek’e veriyor. Bu durumda Melek, elindeki şekerleri 7 şer gruplandırırsa kaç seker artacağını bulalım.

\(\to\) Melek, kardeşinin şekerlerini aldıktan sonra, elindeki bütün şekerleri 7 şer gruplandırırsa 5 +4 = 9 şeker artar. 9 un 7 ye bölümünden kalan 2 olduğundan son durumda, Melek elindeki şekerleri 7 şer gruplandırırsa 2 şeker artar.

2. Bir A sayısı \(x \cdot y\) çarpımına bölünebiliyorsa, x ve y sayılarına da ayrı ayrı bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı her zaman doğru değildir. Yani, A sayısı hem x, hem de y sayısına bölünebiliyorsa \(x \cdot y\) çarpımına her zaman bölünmeyebilir. Ancak bu durumda A sayısı x ile y sayılarının en küçük ortak katına bölünebilir. O halde,

\[
\Rightarrow\begin{array}{l,l,l}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x\cdot y} \in Z\quad ise \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x} \in Z\quad ve \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{y} \in Z\quad dir \\
\end{array}
\end{array}
\]

Fakat

\[
\Rightarrow\begin{array}{l,c,r}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x} \in Z\quad ve \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{y} \in Z\quad ise \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x \cdot y} \in Z\quad \text{her zaman tam sayı olmayabilir. Ancak,} \\
\end{array}
\end{array}
\]

\[
\Rightarrow\begin{array}{l,c,r}
\begin{array}{c}
\frac{A}{x} \in Z\quad ve \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{y} \in Z\quad ise \quad \\
\end{array}
\begin{array}{c}
\frac{A}{(x \cdot y)}_{okek} \in Z\quad \text{dir} \\
\end{array}
\end{array}
\]

Örnek:

320 sayısı 80 sayısına bölünebilir. Dolayısıyla 80 in bütün çarpanlarına da bölünebilir.

\(\Rightarrow\) 320 sayısı 32 ye ve 20 ye bölünebilir fakat \(32\cdot 20\) çarpımına bölünemez. (32 ve 20 sayılarının aralarında asal olmadığına dikkat edilmelidir.) Fakat \((32, 20)_{okek}\) = 160 olduğundan 320 sayısı 160 a bölünebilir.