Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme

 

Çarpma:

Rasyonel sayılar çarpılırken, kesirlerin paylarının çarpımı ve paydalarının çarpımı sırasıyla pay ve paydaya yazılır.

$$ \frac{a}{b} \cdot  \frac{c}{d} = \frac{a \cdot  c}{b \cdot  d}  \quad dir $$

Örnekler:

$$(1-\frac{1}{2} \cdot  (1-\frac{1}{3}) – (1- \frac{1}{4}) \cdots (1-\frac{1}{101} )    \cdot  101  ) $$

$$= \frac{1}{2}  \frac{2}{3}  \frac{3}{4} \cdots    \frac{100}{101} \cdot  101 =1   $$

 

$$  (1+ \frac{1}{5}) \cdot (1+ \frac{1}{6}) \cdot   (1 + \frac{1}{7})  \cdots   (1+ \frac{1}{99})  \cdot  a = \frac{200}{b} $$ olduğuna göre \( a \cdot  b \) çarpımını bulalım.

$$  (1+ \frac{1}{5}) \cdot (1+ \frac{1}{6}) \cdot   (1 + \frac{1}{7})  \cdots   (1+ \frac{1}{99})  \cdot  a = \frac{200}{b}  $$

$$ \Rightarrow \frac{6}{5} \cdot  \frac{7}{6} \cdot   \frac{8}{7} \cdots \frac{100}{99} \cdot  a = \frac{200}{b}  $$

$$ \Rightarrow \frac{100}{5} \cdot a = \frac{200}{b} $$

$$ \text{içler – dışlar çarpımı yapılıp, düzenleme yapılırsa }$$

$$ a \cdot  b = 10 \quad  \text{olarak bulunur.} $$

Bölme:

İki rasyonel sayı bölünürken, bölünen kesir ile bölen kesrin çarpmaya göre tersi çarpılır.

$$ a \cdot  b ≠ 0 $$ olmak üzere \( \frac{a}{b} \) nin çarpmaya göre tersi \( \frac{b}{a} \) dır.

$$    \frac{a}{b}  : \frac{c}{d}   =  \frac{a}{b} \cdot  \frac{d}{c} = \frac{a \cdot  d }{ b \cdot  c}          $$ dir. Ayrıca

$$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} = \frac{\text{dıştaki sayıların çarpımı} }{\text{içteki sayıların çarpımı} } $$

a ile d nin dıştaki sayılar, b ile c nin içteki sayılar diye isimlendirildiğine dikkat edilmelidir.

Uyarı:

Bölme işleminde, bölünen ile bölenin paylan ve paydalan karsılıklı olarak sıfırdan farklı aynı bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.  Örneğin,

$$\to \frac{1}{4} : \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot  1}{4}: \frac{2 \cdot  2}{5}  = \frac{2}{4} : \frac{4}{5}  ,$$

 

$$\to \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot  3} : \frac{1}{3 \cdot  4} = \frac{1}{9}:  \frac{1}{12} ,$$

$$\to \frac{2}{3} : \frac{4}{7} = \frac{2:2}{3} :\frac{4:2}{7} = \frac{1}{3}:\frac{2}{7},    $$

$$\to \frac{3}{4} : \frac{5}{6} = \frac{3}{4:2} :\frac{5}{6:2} = \frac{3}{2}:\frac{5}{3},    $$

$$\to \frac{9}{8} : \frac{3}{4} = \frac{9:3}{8:4} :\frac{3:3}{4:4} = \frac{3}{2},    $$

$$\to \frac{\frac{8}{14} }{\frac{4}{7} }= \frac{\frac{8:4}{14:7} }{\frac{4:4}{7:7} } =\frac{2}{2}=1 \quad dir   $$

Örnekler:

  • \[\begin{aligned}
    & \left (\frac{7}{9}- \frac{2}{3} : \frac{3}{4} + \frac{4}{6} :\frac{2}{3} – \left(\frac{10}{27} – \frac{2}{9}\right) \right)\\
    \\
    &= \left(\frac{7 \cdot 3 – 9 \cdot 2}{9 \cdot 3} : \frac{3}{4} + \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{2} – \left(\frac{10}{27} – \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{3}\right) \right)\\
    \\
    &= \frac{3}{9 \cdot 3} \cdot \frac{4}{3} + 1 – \frac{4}{27} \\
    \\
    &= \frac{4}{27} + 1 – \frac{4}{27} = 1
    \\
    \end{aligned}
    \]

\[ \begin{aligned}
\to  \frac{1}{2} \cdot(  \frac{7}{9}-\frac{2}{3} : \frac{3}{4} + \frac{1}{6} – (\frac{1}{9}+ 3))\\
\\
= \frac{1}{2} \cdot  (\frac{7}{9} – \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} + \frac{1}{6} – \frac{1}{9} -3   )\\
\\
= \frac{1}{2} \cdot  \frac{7-8}{9} + \frac{3}{18} – \frac{2}{18} -3 = -3,\\
\end{aligned}\]

 

  • $$= \frac{(\frac{1}{2}:5-\frac{1}{5}:2+\frac{1}{3})^2:2-\frac{1}{6}} {\frac{1}{2} – \frac{1}{3} } $$

$$ = \frac{(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5} -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} +\frac{1}{3})^2:2-\frac{1}{6}} {\frac{3-2}{6} }$$

$$ =\frac{( \frac{1}{3})^2 \cdot \frac{1}{2} – \frac{1}{6}  }{\frac{1}{6} }= \frac{( \frac{1}{3})^2 \cdot \frac{1}{2} – \frac{1}{6}  \cdot  \frac{3}{3} }{\frac{1}{6} }$$

$$ = (\frac{1}{18} – \frac{3}{18}) \cdot  \frac{6}{1} = \frac{-2}{18} \cdot  6 = -\frac{2}{3}    $$

 

  • $$ (3 \frac{1}{4} +. 5 \frac{1}{2} \cdot  \frac{4}{5} :2 \frac{1}{3}   )$$

$$ ( \frac{3 \cdot 4+ 1}{4} + \frac{5 \cdot  2 + 1}{2} \cdot \frac{2}{2} ) \cdot (  \frac{4}{5} : \frac{2 \cdot  3+1}{3}  ) $$

$$ (\frac{13+22}{4} )\cdot  (\frac{4}{5} \cdot  \frac{3}{7}  ) = \frac{35 \cdot  4 \cdot  3 }{4 \cdot  5 \cdot  7}= 3 $$

 

  • $$ \frac{(2 \frac{1}{3} +3 : \frac{8}{6} )}{-2 \frac{1}{3} : (\frac{1}{3}: \frac{1}{2}  ) } = \frac{(\frac{2 \cdot  3  + 1 }{3} + 3)  \cdot  \frac{6}{8}  }{- \frac{2 \cdot  3 +1}{3}: (\frac{1}{3} \cdot  \frac{2}{1} ) } $$

$$= \frac{\frac{7+3 \cdot  3 }{3}  \cdot  \frac{6}{8}} {-\frac{7}{3} \cdot  \frac{3}{2} } = \frac{2 \cdot  2 }{-\frac{7}{2} } =- \frac{8}{7}  $$

 

Zincir (Merdiven) Kesirler:

Bu tip kesirlerde ilk önce ana kesir çizgisi tespit edilir. Daha sonra ana kesir çizgisinin yayında yukarıdan (üst uçtan) ana kesir çizgisine doğru, paydasında ise aşağıdan (alt uçtan) ana kesir çizgisine doğru işlem yapılır.

\[ x = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{5}}}} \]

 

Örnekler:

1)    \[2- \cfrac{3}{  3+ \cfrac{2}{1- \frac{1}{3} }  } \\ = 2- \frac{3}{3+2 \cdot   \frac{3}{2} } \\   = 2 – \frac{1}{2}   = \frac{3}{2}                      \]

 

 

2)    $$1 + \cfrac{ 2+ \cfrac{\frac{1}{2} – \frac{1}{3}  }{2- \frac{1}{3} } }{3}    = 1 +  \cfrac{2+ \frac{\frac{1}{6} }{\frac{5}{6} } }{3}     $$

$$ 1+ \frac{2+ \frac{1}{5} }{3}   = 1+ \frac{11}{15} = \frac{26}{15}  $$

 

 

3) $$ 3 – \cfrac{1 – \cfrac{(\frac{1}{2} – 2 ) -(\frac{1}{2} + 2 )}{1 + \frac{1}{3} } }{\frac{2}{3}: (1 – \frac{2}{3} ) }  $$

\[ = 3 – \cfrac{\displaystyle 1 – \cfrac{\displaystyle \cfrac{1}{2} – 2 – \cfrac{1}{2} – 2}{\displaystyle \cfrac{4}{3}}}{\displaystyle \cfrac{2}{3} : \frac{1}{3}} \]

\[ = 3 – \cfrac{1 – \cfrac{-4}{\cfrac{4}{3}}}{2} \] \[ = 3 – \cfrac{1 – (-3)}{2} \] \[ = 3 – \cfrac{4}{2} = 3 – 2 \] \[ = 1 \quad \text{dir.} \]