Devirli Ondalık Açılımlar
\( \frac{7}{5} \) sayısının ondalık açılımını bulalım.
$$\frac{7}{5}= \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10} = 1, 4 \quad tür $$
\( \frac{14}{10} \) sayısının ondalık açılımını bulalım.
$$\frac{14}{10}= \frac{140}{100} = \frac{1400}{1000} = \frac{14000}{10000} \cdots \quad olur $$
veya
$$ 1,4 = 1,40 = 1,400 = 1,4000 = \cdots \quad olur$$
Ondalık kesirlerin virgüllü yazılışında kesir kısmının sonuna konulan (veya sonundan silinen) sıfırlar ondalık kesrin değerini değiştirmez. Burada sıfır devreden (tekrar eden) sayıdır. Bu şekildeki ondalık kesirlere sıfır devreden ondalık kesir denir.
Sonuç olarak, paydası 10 un kuvveti olan (veya bu şekle getirilebilen) her rasyonel sayı, sıfır devredenli bir açılma sahiptir.
Ondalık Sayıya Dönüştürülemeyen Rasyonel Sayıların Ondalık Açılımı
\( \frac{2}{3} \) kesrinin paydası 10 un herhangi bir kuvvetinin çarpanı olmadığından \(\frac{2}{3} \) kesri ondalık kesir olarak yazılamaz. Buna göre, \( \frac{2}{3} \) sayısının ondalık açılımını kesrin payını paydasına bölerek bulalım
\[
\begin{array}{c|c}
\begin{array}{c} 2 \\
\\
\end{array}&
\begin{array}{c}
\quad 3 \\
\hline \\
\end{array}
\end{array}
\quad \quad \quad \begin{array}{c,c}
&\begin{array}{c}
\quad &2,000 \;\;\;\;\\
-\quad &1\phantom{0}8 \;\;\;\; \\
\hline
\;\;\quad &0\phantom{,} 20\\
-\quad \;\;\quad &0\phantom{,} 18\\
\hline
\;\;\quad &0\phantom{,} 2\\\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 3 \\
\hline
\quad 0, 666\cdots
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\]
Yapılan bölme işleminin, bölümünde 6 rakamı sürekli tekrar etmektedir. O halde
$$ \frac{2}{3} = 0,666\cdots$$
olur. 0,666 … sayısını, devreden kısım üzerine – işareti koyarak kısaca \( 0,\overline{6} \) şeklinde yazabiliriz. Yani, \[ 0,666\cdots = 0,\overline{6} \] gösterilişi kullanılır.
\( 0,\overline{6} \) sayısına \( \frac{2}{3} \) rasyonel sayısının devirli ondalık açılımı denir. Aynı şekilde \( \frac{8}{3}, \frac{8}{15} , \frac{4}{11} \quad ve \quad \frac{4}{7} \) kesirleri de ondalık kesir olarak yazılamazlar. Fakat bu kesirlerin payları paydalarına bölünerek devirli ondalık açılımları,
$$ \frac{8}{3}= 2,666\cdots =2,\overline{6} $$
$$ \frac{8}{15}= 0,5333\cdots =0,5\overline{3} $$
$$ \frac{4}{11}=0,3636\cdots =0,\overline{36} $$
$$ \frac{4}{7}=0,\overline{571428} $$
şeklinde bulunur. Bir rasyonel sayının ondalık açılımında, sayının kesir kısmındaki rakamlar belli bir basamaktan sonra belli bir kuralla tekrar ediyorsa (devrediyorsa) bu sayıya devirli ondalık sayı denir ve devreden kısmın üzerine ‘-‘ işareti konularak yazılır.
Uyarı:
1. Her rasyonel sayının bir ondalık açılımı vardır.
2. Ondalık kesir olan rasyonel sayıların ondalık açılımından devreden sayı sıfırdır ve devreden sıfır, ancak gerektiğinde açılımın sonuna \( \overline{0 }\) şeklinde yazılır.
3. Ondalık kesir olmayan rasyonel sayıların ondalık açılımlarında devreden sayı sıfırdan farklıdır.
Devirli Ondalık Sayının Rasyonel Kesir Şeklinde Yazılması:
\(0,2\overline{6} \) sayısının rasyonel yazılışını bulalım. \[ x = 0,2\overline{6} \] olsun.
Virgül, devreden kısmın sonuna ve başına gelecek şekilde iki taraf 10 un uygun kuvvetleriyle çarpılıp taraf tarafa çıkarma yapılırsa,
\begin{align*}
100x &= 26,\overline{6} \\
-\quad 10x &= 2,\overline{6} \\
\hline
90x &= 24 \\
\\
x &= \frac{24}{90} = \frac{4}{15} \quad \text{olarak bulunur.}
\end{align*}
Devirli ondalık sayı pratik olarak,
\[
\begin{array}{l l }\quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad(\text{tüm sayı} ) \quad – \quad (\text{devretmeyen sayı}) \\
\hline
\text{ devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}
\end{array}
\]
formülü ile rasyonel şekilde yazılabilir. Burada paydadaki ifade ondalık sayının kesir kısmı için söz konusudur. Bu ifadeyi sembollerle,
a, b, c, d, e, f birer rakam ve \[ a, bcdefdef. .. = a,bc \overline{def} \] olmak üzere,
\[
a,bc\overline{def} = \frac{\text{abcdef} – \text{abc}}{99900} = a + \frac{\text{bcdef} – \text{bc}}{99900}
\] dir.
Örnekler:
\[ \Rightarrow 1,\overline{4} = \frac{14-1}{9} = \frac{13}{9} =1 \frac{4}{9} \quad veya \quad 1,\overline{4} = 1 + 0,\overline{4} = 1 \frac{4}{9} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \]
\[ \Rightarrow 0,8\overline{5} = \frac{85-8}{90} = \frac{77}{90} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \]
\[
\Rightarrow 12,48\overline{3} = 12 + \frac{483 – 48}{900} = 12\frac{29}{60} \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
\]
\[
\Rightarrow 0,\overline{63} = \frac{63}{99} = \frac{7}{11} \quad \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad
\]
Uyarı:
- a bir rakam olmak üzere
$$0,\overline{a}= \frac{a}{9} $$
2. Devreden rakam sadece 9 ise 9 un solunda ki basamaktaki rakam sayısal değeri bakımından 1 arttırılıp 9 atılır.
$$2,3\overline{9}= 2,4; \quad 0,1\overline{9}= 2; \quad 0,1\overline{9}= 2 $$
3. Devirli ondalık sayılarda toplama yapılırken devreden kısımda işlem yaparken 9 dan büyük değerler elde edilmiyorsa veya çıkarma yapılırken devreden kısımda bir soldaki basamaktan sayı almak gerekmiyorsa, sayılar rasyonel şekilde yazılmadan işlem yapılabilir.
$$ 3,\overline{24}+ 1,\overline{65} = 4,\overline{89}$$
$$ 2,\overline{37}+ 0,\overline{62} = 2,\overline{99} = 3$$
$$ 3,\overline{76}- 1,\overline{42} = 2,\overline{34}$$ tür
Ondalık Kesirleri Yuvarlatma:
Bir ondalık kesre yaklaşık olarak eşit alınabilecek, bu ondalık kesirden daha az basamaklı ondalık kesir bulmaya ondalık kesri yuvarlatma denir.
Bir ondalık kesri istenen bir basamağında yuvarlatmak için, bu basamağın sağında rakama bakılır. Rakamın sayı değeri,
- 5 veya 5 ten büyükse yuvarlatılacak basamağın sayı değerine 1 eklenir ve sağındaki basamaklar atılır.
- 5 ten küçükse yuvarlatılacak basamaktaki rakam aynen alınıp sağındaki basamaklar atılır.
Örnekler:
- 2,173 ve 0,642 sayılarını onda birler basamağında yuvarlatalım.
\[
2,173 \approx 2,2 \quad (7 > 5)
\]
\[
0,642 \approx 0,6 \quad (4 < 5)
\]
- 2,72384 ve 5,19349 sayılarını virgülden sonraki üçüncü basamağa kadar yuvarlatalım.
\[
2,72384 \approx 2,724 \quad (8 > 5)
\]
\[
5,19349 \approx 5,193 \quad (4 < 5)
\]
tir