Basit Eşitsizlikler ve Sıralama
Eşitsizlik, eşit olmanın karşıtıdır.
\[
\begin{align*}
x \neq y &\;;\quad (\text{x eşit değildir y; x, y’ye eşit değildir} \quad \text{veya x farklıdır y; x, y’den farklıdır}) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\
x \neq y &\;; \quad \text{ise x ve y’den biri diğerinden küçüktür.} \\
x < y &\;;\quad (\text{x küçüktür y}) \quad \text{veya} \\
y > x &\:;\quad (\text{y büyüktür x})
\end{align*}
\]
Eşitsizliğin Özellikleri:
x, y, a, b reel (gerçek) sayılar olmak üzere;
1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayılar eklenebilir veya çıkarılabilir.
$$ \boxed {x < y \iff x \pm a < y \pm a }$$
Örneğin: $$3 < 7 \iff 3+2 < 7+2 $$
$$-5 < -2 \iff -5-3 < -2-3 $$
2) Bir eşitsizliğin her iki yanı aynı pozitif sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir.
$$ \boxed {x < y \iff x \cdot a < y \cdot a } \quad (a >0 ) $$
Örneğin: $$-2 < 5 \iff -2 \cdot 3 < 5 \cdot 3 $$
$$-4 < -18 \iff -4:4 < 18:4 $$
3) Bir eşitsizliğin her iki yanı aynı negatif sayıyla çarpılırsa veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.
$$ \boxed {x < y \iff x \cdot a > y \cdot a } \quad (a < 0 ) $$
Örneğin: $$3 < 11 \iff 3 \cdot (-1) > 11 \cdot (-1) $$
$$-35 < 49 \iff -35 :(-7) > 49: (-7) $$
4) Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir fakat çıkarılamaz.
$$ \boxed {x < y \quad ve \quad a < b \Rightarrow x + a > y +b } $$
Örneğin: $$-2< x <3 $$ ve $$-5<y<-1 $$ olmak üzere, \(x + y \quad ve \quad x-y\) değerlerinin hangi aralıklarda olduğunu bulalım.
x + y değerlerinin bulunduğu aralığı bulmak için iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak,
$$ -2 +(-5) < x+y < 3 + (-1 ) $$
$$ -7 < x+y < 2 \quad \text{bulunur} $$
x – y değerlerinin bulunduğu aralığı tespit etmek için iki eşitsizliği taraf tarafa çıkaramayız fakat önce ikinci eşitsizliğin her yanını -1 ile çarparsak
$$ -5 < y < -1 \iff 5 > y > 1 $$
\[
\begin{array}{r@{}c@{}l}
& 5 & > -y > 1 \\
+ & 3 & > x > -2 \\ \hline
& 8 & > x – y > -1 \quad \text{bulunur.}
\end{array}
\]
5) \(x, y, a, b\) pozitif olmak üzere; aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa çarpılabilir fakat bölünemez.
$$ \boxed {x<y \quad ve \quad a<b \Rightarrow x \cdot a < y \cdot b} $$
Örneğin: \( 2 < x < 7 \quad ve \quad 3 < y < 5 \Rightarrow 2 \cdot 3 < x \cdot y < 7 \cdot 5 \) tir.
6) Eşitsizliklerin geçişme özelliği vardır.
$$ \boxed {x = a \quad ve \quad a<y \quad \Rightarrow \quad x<y } $$
Örneğin: \( -2 < 5 \quad ve \quad 5< 7 \quad \Rightarrow \quad -2 < 7 \) dir.
7) $$ \boxed {0< a <b \Rightarrow 0 < a^n < b^n } \quad n\in Z^+ $$ $$ 2< 3 \Rightarrow 2^3< 5^3 \Rightarrow 2^6 < 5^6 \quad \text{dır.} $$
8)
a) $$ \boxed {a< b <0 \Rightarrow a^{2n-1} < b^{2n-1} <0 } \quad n\in Z^+ $$Örneğin: \( -3<-2 \Rightarrow (-3)^3 < (-2)^3 \quad \text{tür.} \)
b) $$ \boxed {a< b <0 \Rightarrow a^{2n} > b^{2n} >0 } \quad n\in Z^+ $$Örneğin: \( \large-\frac{1}{2} <-\frac{1}{3} \Rightarrow (\large-\frac{1}{2} )^2 > (-\frac{1}{3 })^2 \quad \text{dir.} \)
9) 0 ile 1 arasındaki bir sayının pozitif kuvveti kendisinden küçüktür. $$ \boxed {0 < x < 1 \Rightarrow 0 < x^n < x < 1 } \quad (n \in Z^+) $$
Örneğin: $$0 < \frac{1}{2} < 1 \quad ve \quad 1 > \frac{1}{2} > (\frac{1}{2} )^2 > (\frac{1}{2} )^3 \cdots > 0 $$ dır.
10) 1 den büyük veya -1 ile 0 arasındaki bir sayının pozitif kuvveti kendisinden büyüktür.
$$ \boxed {-1 < x < 0 \quad veya \quad x> 1 \quad ise \quad x^n > x } \quad (n \in Z^+) $$
Örneğin: $$ 2< 2^2 < 2^3 ; \quad -\frac{2}{3} < (-\frac{2}{3})^2 ; \quad -\frac{3}{4} < (-\frac{3}{4} )^3 $$
$$ -1 < (-\frac{1}{2} ) < (-\frac{1}{2} )^3 < (-\frac{1}{2}^5 ) < \cdots < 0 < (-\frac{1}{2} )^4 < (-\frac{1}{2})^2 < 1 $$
11) -1 den küçük bir sayının pozitif tek kuvveti kendisinden küçük, pozitif çift kuvveti kendisinden büyüktür.
\[
\boxed{x < -1 \Rightarrow x^{2n-1} < x \quad (n \in Z^+)} \quad \boxed{x < -1 \Rightarrow x^{2n} > x \quad (n \in Z^+)}
\]
Örneğin:
$$(-2)^5 < (-2)^3 < -2: \quad (-2) < (-2)^2 < (-2) ^4 \quad \text{tür} $$
12) \( x \cdot y > 0 \) ( x ile y aynı işaretli sayılar) olmak üzere,
$$ x< y \iff \frac{1}{x} > \frac{1}{y} $$
Örneğin:
$$ 2 < 3 \iff \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \quad \text{tür} $$
13) \( x \cdot y < 0 \) ( x ile y zıt işaretli sayılar) olmak üzere,
$$ x< y \iff \frac{1}{x} < \frac{1}{y} $$
Örneğin:
$$ -2 < 3 \iff -\frac{1}{2} < \frac{1}{3} \quad \text{tür} $$
Soru 56:
x, y, ve z reel (gerçek) sayılardır.
$$ x+ y < y+z $$
$$ x \cdot y < y \cdot z $$
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
\[ \text{A)} x \cdot y < 0 \quad \text{B) } y \cdot z < 0 \quad \text{C) }x \cdot z >0 \quad \text{D) } y >0 \quad \text{E)} z<0 \]
Çözüm:
\(x + y < y + z \iff x < z \) dir. Elde edilen bu eşitsizliğin iki yani y ile çarpılırsa \( x \cdot y < y \cdot z \) olur. Bulunan bu ifade soruda verilen ifade ile aynı olduğundan (yani eşitsizliğin yönü değişmediğinden ) y > 0 olduğu anlaşılır.
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 57:
\(a^3b^2<0 \quad ve \quad a^5b^4-ab^4<0 \) olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
\[ \text{A)} a < -1 \quad \text{B) } -1 < a <0 \quad \text{C) } 0 <a<1 \quad \text{D) } \frac{1}{2} < a <1 \quad \text{E)} a>1 \]
Çözüm:
\[\begin{array}{l l }
b^2 >0 \quad \text{olduğundan} \\
a^3b^2<0 \Rightarrow a^3<0 \Rightarrow a<0 \quad \text{ve} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\
b^4 >0 \quad \text{olduğundan} \quad a^5b^4-ab <0 \Rightarrow a^5< a \quad \text{olduğundan} \\
a < -1 \quad \text{veya} \quad 0 < a < 1 \quad \text{ve} \quad a<0\\
\text{Buna göre } a < -1 \quad \text{dir. }
\end{array}\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
Soru 58:
$$ 2a + b > 12$$
$$-a -2c < -3$$
$$ c + 2b > 9$$
olduğuna göre a + b + c toplamının en küçük tamsayı değeri nedir?
\[ \text{A)} 8 \quad \text{B) } 9 \quad \text{C) } 10\quad \text{D) } 11 \quad \text{E)} 12 \]
Çözüm:
Soruda verilen ikinci eşitsizliğin iki yani -1 ile çarpıldıktan sonra taraf tarafa toplama yapılırsa,
\[
\begin{array}{l l }
&2a + b > 12\\
&a +2c > 3\\
+ \quad &c + 2b > 9 \\
\hline
&3(a +b+ c) >24 \Rightarrow a +b+ c > 8
\end{array}
\]
olduğundan a + b + c toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri 9 dur.
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 59:
$$ -1<a<b<0<c<1 $$ olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
\[ \text{A)} c^2 < c \quad \text{B) } a^2> a \quad \text{C) } b^3 > b\quad \text{D) } ab> ac \quad \text{E)} ac> bc \]
Çözüm:
\(c > 0\) olduğundan \(a < b \) eşitsizliğinin iki tarafı c ile çarpılırsa \( ac < bc \) olur.Buna göre, \( ac < bc \) yanlıştır.
\(\textbf{Cevab: E} \)
Soru 60:
$$ ab < \left| ab\right| $$ $$ bc < \left| bc\right| $$
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
\[ \text{A)} \frac{a}{c} + \frac{c}{a} >0 \quad \text{B) } \frac{a}{b} + \frac{b}{a}>0\]
\[ \quad \text{C) } \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} <0 \quad \text{D) } abc>0\]
\[ \quad \text{E) } abc < 0 \]
Çözüm:
\[
ab < |ab| \implies ab < 0 \quad \text{elde edilir.}
\]
\[
bc < |bc| \implies bc < 0 \quad \text{elde edilir.}
\]
Buna göre a, b, c nin işaretleri incelenirse:
Tablo:
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& a & b & c \\ \hline
1 & + & – & + \\ \hline
2 & – & + & – \\ \hline
\end{array}
\[
\text{Tablodan } a \text{ ile } c \text{ nin işaretlerinin her iki durum için de aynı olduğu görülmektedir.}
\]
\[
\text{O halde } \frac{a}{c} \text{ ve } \frac{c}{a} \text{ daima pozitif olduğundan }
\]
\[
\frac{a}{c} + \frac{c}{a} > 0 \quad \text{daima doğrudur.}
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
Soru 61:
\(a \cdot 2^{-4} = b \) ve \( 64 ≤ a ≤ 192 \) olduğuna göre b nin alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
\[ \text{A)} 8 \quad \text{B) } 9 \quad \text{C) } 10 \quad \text{D) } 11 \quad \text{E)} 12 \]
Çözüm:
\( a \cdot 2^{-4} =b \Rightarrow a=16b \) dir. Elde edilen bu değer verilen eşitsizlikte yerine yazılırsa,
$$ 64 ≤ a < 192 \Rightarrow 64≤ 16b < 192 $$
$$ \quad \quad\quad\quad\quad \Rightarrow 4≤ b < 12 \; \text{bulunur} $$
Buna göre, b nin alabileceği en büyük tamsayı değeri 11 dir.
\(\textbf{Cevab: D} \)
Soru 62:
\(-\frac{3}{2} ≤ x < 6 \quad ve \ quad -\frac{7}{3} < y≤ \frac{10}{3} \) olduğuna göre 2x+ 3y toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır?
\[ \text{A)} -10 \quad \text{B) } -9 \quad \text{C) } -8 \quad \text{D) } -7 \quad \text{E)} -6 \]
Çözüm:
\[\begin{array}{l l }\quad \quad -\frac{3}{2} ≤ x < 6 \quad \Rightarrow &-3 ≤ 2x < 12 \\+ \quad -\frac{7}{3} ≤ y < \frac{10}{3} \quad \Rightarrow &-7 < 3y ≤ 10 \\ \hline \\ &-10< 2x + 3y < 22 \end{array}\]
olduğundan 2x+ 3y toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri -9 olur.
\(\textbf{Cevab: B} \)
Soru 63:
Üretilen bir malın maliyeti M, satış fiyatı S dir. Bu malin maliyeti ile satış fiyatı arasında
- S = 3M – 100
- S = M + 120
şeklinde iki bağıntı vardır.
Üretilen malin tamamı satılabildiğine ve satış fiyatının hesaplanmasında I. bağıntının kullanılması daha kârlı olduğuna göre, M için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
\[ \text{A)} M> 330 \quad \text{B) } M > 220 \quad \text{C) } M > 110 \quad \text{D) } M > 55 \quad \text{E)} M > 50 \]
Çözüm:
S nın hesaplanmasında I. durum II. den kârlı olduğundan
$$ 3M -100 > M +120 $$ $$ 2M > 220 $$ $$ M > 110 \quad \text{bulunur.} $$
\(\textbf{Cevab: C} \)