Köklü ifadelerde Çarpma - Bölme

Köklü ifadelerde Çarpma – Bölme

Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.

Tanımlı olduğu durumlarda,

$$ \Large \sqrt[n]{a } \cdot \sqrt[n]{b } = \sqrt[n]{a \cdot b } $$

$$ \Large \frac{ \sqrt[n]{ a} }{ \sqrt[n]{ b}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } $$

Uyarı:

Köklerin kuvvetleri farkIı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.

$$ \Large \sqrt[n]{a } \cdot \sqrt[m]{b } = \sqrt[n.m]{a^m } \cdot \sqrt[m.n]{b^n } = \sqrt[m.n]{a^m \cdot b^n } $$

$$ \Large \frac{\sqrt[n]{a } }{\sqrt[m]{b } } = \frac{\sqrt[n.m]{a^m } }{\sqrt[m.n]{b^n } } = \sqrt[m \cdot n]{ \frac{a^m}{b^n} } \quad (b\neq 0)$$

Örnek:

$ \bullet \quad \Large \frac{\sqrt[3]{2 } \cdot \sqrt[3]{3 } }{\sqrt[3]{5 } } = \sqrt[3]{ \frac{2 \cdot 3}{5} } = \sqrt[3]{\frac{6}{5} } $

Soru 11

\[ \sqrt[3]{ 2} \cdot \sqrt[5]{16 } \] işleminin sonucu nedir?

\[ \text{A)} 2\sqrt[15]{4 } \quad \text{B) }\sqrt[15]{4 } \quad \text{C)} \sqrt[15]{2 } \quad \text{D) } 1 \quad \text{E)} 2 \]

Çözüm:

Köklerin kuvvetleri 3. 5 = 15 te eşitlenirse,

$$ \sqrt[3]{ 2} \cdot \sqrt[5]{16 } = \sqrt[3]{ 2} \cdot \sqrt[5]{2^4 } $$

$$ \sqrt[3.5]{ 2^5} \cdot \sqrt[5.3]{2^{4.3} }$$

$$ \sqrt[3.5]{ 2^5 \cdot 2^{12}} = \sqrt[15]{ 2^{17}} $$

$$ \sqrt[15]{ 2^{15} \cdot 2^2} = 2 \sqrt[15]{ 4} $$

$\textbf{Cevab: A} $

Soru 11

\[ \large \frac{\sqrt[4]{27 } \cdot \sqrt[3]{ 9} }{\sqrt{ 3} } \] işleminin sonucu nedir?

\[ \text{A)} \sqrt[12]{3^5 } \quad \text{B) }\sqrt[12]{3^7 }\quad \text{C)} \sqrt[12]{3^{11} } \quad \text{D) } 3 \quad \text{E)} 1 \]

Çözüm:

Köklerin kuvvetleri 2, 3 ve 4 $ \to$ 12 te eşitlenirse,

\[\large\begin{array}{l l }
\frac{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3}}\\
\newline = \frac{\sqrt[4 \cdot 3]{3^{3 \cdot 3}} \cdot \sqrt[3 \cdot 4]{3^{2 \cdot 4}}}{\sqrt[2 \cdot 6]{3^6}}\\
\newline = \frac{\sqrt[12]{3^9} \cdot \sqrt[12]{3^8}}{\sqrt[12]{3^6}} \newline = \sqrt[12]{\frac{3^9 \cdot 3^8}{3^6}}\\
\newline = \sqrt[12]{3^{9+8-6}} \newline = \sqrt[12]{3^{11}} \end{array}\]

$\textbf{Cevab: C} $

Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten Kurtarılması):

$ n> m \quad b \neq0 $ olmak üzere, $\Large \frac{a}{\sqrt[n]{b^m } } $ şeklindeki ifadelerde pay ve payda $\large \sqrt[n]{b^{n-m} } $ ile çarpılarak payda kşkten kurtarılır.

$$ \Large \frac{a}{\sqrt[n]{b^m}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b^m}} \cdot \frac{\sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{n-m}}} = \frac{a \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}{b} $$

Örnekler:

$ \Large \bullet \quad \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} $

$\Large \bullet \quad \frac{1}{\sqrt[7]{32}} = \frac{1}{\sqrt[7]{2^5}} \cdot \frac{\sqrt[7]{2^2}}{\sqrt[7]{2^2}} = \frac{\sqrt[7]{4}}{2} \\ $

$ \Large \bullet \quad \frac{1}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{3^3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{3^3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{3}}{6} $

2. $ \Large \frac{a}{\sqrt{b }- \sqrt{c } } $ şeklindeki ifadelerde pay ve payda $ \sqrt{b } + \sqrt{c } $ ile $ \Large \frac{a}{\sqrt{b }+ \sqrt{c } } $ şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda $ \sqrt{b } – \sqrt{c } $ ile çarpılır.

$$ (x-y) . (x+y) = x^2-y^2 $$ olduğundan,

$$\Large (\sqrt{ b} – \sqrt{ c}) \cdot (\sqrt{ b} + \sqrt{ c}) = (\sqrt{ b} )^2 – (\sqrt{ c} )^2 = b-c $$ dir. Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.

$\Large \bullet \quad \frac{a}{\sqrt{b} – \sqrt{c}} = \frac{a}{\sqrt{b} – \sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b} + \sqrt{c}}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a (\sqrt{b} + \sqrt{c})}{b – c} $

$ \Large \bullet \quad \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b} – \sqrt{c}}{\sqrt{b} – \sqrt{c}} = \frac{a (\sqrt{b} – \sqrt{c})}{b – c} $

Örnekler:

$ \Large \bullet \quad \frac{1}{\sqrt{5} – 2} = \frac{1}{\sqrt{5} – 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 – 2^2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 – 4} = \\ \sqrt{5} + 2. $

$ \Large \bullet \quad \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} – \sqrt{3}}{\sqrt{5} – \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} – \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 – (\sqrt{3})^2} = \frac{2 (\sqrt{5} – \sqrt{3})}{5 – 3} = \\ \sqrt{5} – \sqrt{3} $

Soru 12

\[ \large \frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} – \frac{1}{3 – \sqrt{8}} + \frac{12}{\sqrt{2}}.\] işleminin sonucu nedir?

\[ \text{A)} 1 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C)} 3 \quad \text{D) } 4 \quad \text{E)} 5 \]

Çözüm:

$$ =\frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} – \frac{1}{3 – \sqrt{8}} + \frac{12}{\sqrt{2}} $$

$$= \frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 – 2\sqrt{2}}{3 – 2\sqrt{2}} – \frac{1}{3 – \sqrt{8}} \cdot \frac{3 + \sqrt{8}}{3 + \sqrt{8}} + \frac{12}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ $$

$$= \frac{2 (3 – 2\sqrt{2})}{3^2 – (2\sqrt{2})^2} – \frac{1 (3 + \sqrt{8})}{3^2 – (\sqrt{8})^2} + \frac{12\sqrt{2}}{2} $$

$$ = \frac{2 (3 – 2\sqrt{2})}{9 – 8} – \frac{3 + \sqrt{8}}{9 – 8} + 6\sqrt{2} $$

$$= 6 \; – \; 4\sqrt{2} \; – \; 3 \; – \; 2\sqrt{2} \; + \; 6\sqrt{2} \\ = 3 $$

$\textbf{Cevab: C} $

Soru 13

\[\large \frac{3}{\sqrt{4 -\sqrt{7 } } } \] ifadesinin eşiti nedir?

\[ \text{A)} \sqrt{4 -\sqrt{7 } } \quad \text{B) } \sqrt{4 +\sqrt{7 } } \quad \text{C)} \sqrt{ 3} \quad \text{D) } 2 \quad \text{E)} 1 \]

Çözüm:

\[ \frac{3}{\sqrt{4 – \sqrt{7}}} = \frac{3}{\sqrt{4 – \sqrt{7}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + \sqrt{7}}}{\sqrt{4 + \sqrt{7}}} = \frac{3 \cdot \sqrt{4 + \sqrt{7}}} {\sqrt{ 4^2- (\sqrt{ 7} )^2} } = \frac {3 \cdot \sqrt{4 + \sqrt{7}}}{\sqrt{ 9} } \]

$$ = \sqrt{4 + \sqrt{ 7} } $$

$\textbf{Cevab: B} $

Soru 14

\[ \large \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{a \sqrt{3} + b \sqrt{2} + c \sqrt{30}}{12} \] ise $ a + b + c $ kaçtır?

\[ \text{A) } 1 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 4 \quad \text{E) } 5 \]

Çözüm:

\[ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) – \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) – \sqrt{5}} \]

$$= \frac{ \sqrt{2 } + \sqrt{ 3} -\sqrt{ 5} }{ (\sqrt{2 } + \sqrt{3 })^2- (\sqrt{ 5} )^2 } = \frac{\sqrt{2 } + \sqrt{ 3} -\sqrt{ 5} }{2 + 3+ 2 \sqrt{6 } -5} $$

$$ =\frac{\sqrt{2 } + \sqrt{ 3} -\sqrt{ 5} }{2 \sqrt{6 }} \cdot \frac{\sqrt{ 6} }{\sqrt{6 } } = \frac{2 \sqrt{ 3} + 3 \sqrt{2 } \; – \; \sqrt{ 30} }{12} $$

Buradan, $ a = 2, \; b= 3, \; c= -1 $ bulunur. Buna göre $a + b+ c = 4 $ tür.

$\textbf{Cevab: D} $

Uyarı:

$ n \in Z^+ $ olmak üzere, paydada $\sqrt[2n]{a } – \sqrt[2n]{b } $ ifadesi varsa pay ve payda $\sqrt[2n]{a } + \sqrt[2n]{b } $ ile paydada $\sqrt[2n]{a } + \sqrt[2n]{b } $ ifadesi varsa pay ve payda $\sqrt[2n]{a } – \sqrt[2n]{b } $ ile çarpılır.

Soru 15

\[ \frac{1}{\sqrt[4]{ 2}-1 } \] ifadesinin eşiti nedir?

\[ \text{A) } \sqrt[4]{2} + 1 \quad
\text{B) } \sqrt[4]{2} – 1 \quad
\text{C) } \sqrt{2} – 1 \quad
\text{D) } (\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + 1) \quad
\text{E) } (\sqrt[4]{2} – 1)(\sqrt{2} – 1)
\]

Çözüm:

\[ \frac{1}{\sqrt[4]{2} – 1} = \frac{1}{\sqrt[4]{2} – 1} \cdot \frac{\sqrt[4]{2} + 1}{\sqrt[4]{2} + 1} \]

\[ = \frac{\sqrt[4]{2} + 1}{(\sqrt[4]{2})^2 – 1^2} = \frac{\sqrt[4]{2} + 1}{\sqrt{2} – 1} \]

\[ = \frac{\sqrt[4]{2} + 1}{\sqrt{2} – 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} \]

\[ = (\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + 1) \]

$\textbf{Cevab: D} $

3. $ \Large \frac{a}{\sqrt[3]{b }- \sqrt[3]{c } } $ şeklindeki ifadelerde pay ve payda $ \sqrt[3]{b^2 } + \sqrt[3]{bc } +\sqrt[3]{c^2 } $ ile çarpılır.

$ (x-y) \cdot (x^2+ xy + y^2) = (x^3- y^3)$ olduğundan

$ (\sqrt[3]{b } – \sqrt[3]{ c} ) \cdot( \sqrt[3]{b ^2 } + \sqrt[3]{bc } + \sqrt[3]{c^2 } )= (\sqrt[3]{ b} )^3 – (\sqrt[3]{c })^3 = b-c $ dir.

Bu şekilde paydada iki küp farki elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.

$$ \frac{a}{( \sqrt[3]{b } – \sqrt[3]{ c} ) } = \frac{a}{( \sqrt[3]{b } – \sqrt[3]{ c} ) } \cdot \frac{\sqrt[3]{b ^2 } + \sqrt[3]{bc } + \sqrt[3]{c^2 } }{\sqrt[3]{b ^2 } + \sqrt[3]{bc } + \sqrt[3]{c^2 } } $$

$$ = \frac{a \cdot \sqrt[3]{b ^2 } + \sqrt[3]{bc } + \sqrt[3]{c^2 } }{b-c} $$ olur.

$\large \frac{a}{\sqrt[3]{ b} + \sqrt[3]{ c} } $ şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda $ \sqrt[3]{b^2 } \; – \;\sqrt[3]{ bc} + \;\; \sqrt[3]{ c^2} $ ile çarpılır.

$ (x+y) \cdot (x^2- xy + y^2) = (x^3 +y^3)$ olduğundan

$ (\sqrt[3]{b } + \sqrt[3]{ c} ) \cdot (\sqrt[3]{b ^2 } – \sqrt[3]{bc } + \sqrt[3]{c^2 }) = (\sqrt[3]{ b} )^3 – (\sqrt[3]{c })^3 = b+c $ dir.

Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.

$$ \frac{a}{\sqrt[3]{ b} + \sqrt[3]{ c} } = \frac{a}{\sqrt[3]{ b} + \sqrt[3]{ c} } \cdot \frac{\sqrt[3]{b ^2 }\; -\; \sqrt[3]{bc }\; + \;\sqrt[3]{c^2 } }{\sqrt[3]{b ^2 } \;- \;\sqrt[3]{bc } \;+\; \sqrt[3]{c^2 } }$$

$$ = \frac{a \cdot (\sqrt[3]{b ^2 }\; – \;\sqrt[3]{ bc} \;+\; \sqrt[3]{ c^2} ) } {b+ c } $$ olur.

Örnekler:

$ \bullet \quad \Large \frac{1}{\sqrt[3]{5} – \sqrt[3]{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5} \;- \; \sqrt[3]{3}}\; \cdot \; \frac{\sqrt[3]{5^2}\; \; +\; \sqrt[3]{5 \;\cdot\; 3}\; + \; \sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{5^2} \;+ \; \sqrt[3]{5\; \cdot \; 3}\; +\; \sqrt[3]{3^2}} $

$= \Large\frac{\sqrt[3]{25 } \;+ \;\sqrt[3]{ 15 }\; + \; \sqrt[3]{ 9}} {(\sqrt[3]{ 5})^3 \; -\; (\sqrt[3]{3 } )^3 } = \frac{\sqrt[3]{25} \; + \; \sqrt[3]{ 15} \;+ \; \sqrt[3]{ 9} }{2} $

$ \bullet \quad \Large \frac{1}{\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3} – \sqrt{2}}{\sqrt[3]{3} – \sqrt{2}} = \frac{\sqrt[3]{3} – \sqrt{2}}{(\sqrt[3]{3})^2 – (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt[3]{3} – \sqrt{2}}{\sqrt[3]{9} – 2}$

$= \Large \frac{ \sqrt[3]{3} \; -\; \sqrt{ 2} }{\sqrt[3]{9 }\; -\;2 } \cdot \frac{ \sqrt[3]{9^2 } \;+\; 2 \sqrt[3]{9 }\; + \;4 }{\sqrt[3]{9^2 } \;+ 2\; \sqrt[3]{9 }\; + \;4 } = \frac{ ( \sqrt[3]{ 3} – \sqrt{ 2} ) (\sqrt[3]{ 81}\;+ \; 2 \sqrt[3]{9 } \;+\;4 ) }{(\sqrt[3]{ 9} )^3 \;- \; 2^3 } $

$= (\sqrt[3]{ 3} -\sqrt{ 2} ) \cdot (3 \sqrt[3]{ 3} + 2 \sqrt[3]{ 9} + 4 ) $

Soru 15

\[ \frac{1}{\sqrt[3]{9 } \;+ \; \sqrt[3]{ 6}\; +\; \sqrt[3]{ 4} } \] ifadesinin eşiti nedir?

\[ \text{A) } \sqrt[3]{3} \;+ \; \sqrt[3]{ 2} \quad
\text{B) }\sqrt[3]{3}\; -\; \sqrt[3]{ 2} \quad
\text{C) } \sqrt{3 } \; + \; \sqrt{2 } \quad
\text{D) } \sqrt{3 } \; – \; \sqrt{2 } \quad
\text{E) } \frac{1}{5}
\]

Çözüm:

\[ \frac{1}{\sqrt[3]{9 } \;+ \; \sqrt[3]{ 6}\; +\; \sqrt[3]{ 4} } = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2 } \;+ \; \sqrt[3]{ 3.2}\; +\; \sqrt[3]{ 2^2} } \cdot \frac{\sqrt[3]{ 3}-\sqrt[3]{ 2} }{\sqrt[3]{ 3}-\sqrt[3]{ 2} } \]

\[= \frac { \sqrt[3]{ 3} \; -\; \sqrt[3]{2 } }{(\sqrt[3]{ 3})^3 \; -\; (\sqrt[3]{2 })^3 } = \sqrt[3]{ 3} \; -\; \sqrt[3]{2 } \]

$\textbf{Cevab: B} $