Mutlak Değerli Basit Eşitsizlikler

Mutlak Değerli Basit Eşitsizlikler

 

\( 1. \quad |\;    f(x)   | \; ≤ \; A     \)  ise fonksiyon \(f(x)\),     \( A ≥ 0\) olmak üzere

$$  -A \;≤ \;f(x) \; ≤  \; A      $$ dır.

 

\( 2. \quad |\;    f(x)   | \; ≥ \; A     \)  ise fonksiyon \(f(x) ≥ A \),   veya   \( f(x) ≤ -A \) dır.

 

 

Örnekler: 

\( \bullet \quad \large  {\left |\frac{2x- 1}{3} \right|} ≤ 1 \)

\[\Rightarrow-1 ≤ \frac{2x-1}{3}  ≤ 1   \]

\[ \Rightarrow  -3 ≤ 2x-1 ≤ 3  \]

\[ \Rightarrow  -3+1  ≤ 2x-1 ≤ 3 +1  \]

\[ \Rightarrow  -2  ≤ 2x ≤ 4  \]

\[ \Rightarrow  -1  ≤ x ≤ 2  \]

 

\( \bullet \quad |3x-1 | > 4 \)

\[\Rightarrow 3x -1 > 4  \quad  \text{veya   }  \quad 3x -1 < -4 \]

\[\Rightarrow 3x  > 4+1  \quad  \text{veya   }  \quad 3x < -4+1 \]

\[\Rightarrow x  > \frac{5}{3}  \quad  \text{veya  }  \quad x < -1 \quad\quad\quad\quad \]

Soru 1

\[ \frac{|2x- 2  |\;+ \; | 1-x| }{1 \;+\; |x-1|}  <2 \]  eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayı değeri vardır?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) }  5
\]

Çözüm: 

\( |1 -x | = |1 +x |\) olduğuna göre

\[  \frac{|2x-2| + | 1- x |}{1 \;+\; |x-1|} < 2  \Rightarrow \frac{|2 (x-1)| + | x-1|}{1+ |x-1|}  < 2  \]

\( 1 + |x-1  | > 0 \) olduğundan

\[ \Rightarrow \frac{ 3 | x- 1 |}{ 1 + |x-1 |} < 2 \]

\[ \Rightarrow  3\; | x-1 | < 2 \;(1+ | x-1  | )  \]

\[ \Rightarrow |x-1 | < 2 \]

\[ \Rightarrow  -2 < x-1  < 2  \]

\[ \Rightarrow  -1 < x  < 3   \]

bulunur. Buna göre x in alabileceği tam sayı değerleri \( 0, 1 , 2 \) olup 3 tanedir.

\(\textbf{Cevab: C} \)

Soru 2

\[ | \; |x| – \; x \; | + x \;  < \; 3 \]  eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayı değeri vardır?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) }  5
\]

Çözüm: 

\( x > 0   \) için \( |x | = x   \) olduğundan

\[ | \; |x| – \; x \; | + x \;  < \; 3  \Rightarrow | x -x | + x < 3\]

\[ \Rightarrow x < 3 \]

\(  x > 0 \) olduğuna göre \(0 ≤ x < 3 \) olur.

\( x < 0   \) için \( |x | = -x   \) olduğundan

\[ | \; |x| – \; x \; | + x \;  < \; 3  \Rightarrow | -x -x | + x < 3\]

\[ \Rightarrow |-2x|  +x < 3 \]

\[ \Rightarrow -2x  +x < 3 \]

\[ \Rightarrow -x  < 3 \]

\[ \Rightarrow -x  < 3  \Rightarrow x >- 3\]

\( x < 0   \) olduğuna göre \( -3 < x <0   \) olur. Buradan \( -3 < x < 3 \)  olur. O halde x in alabileceği tam sayı değerleri  \( -2, -1, 0, 1 , 2 \) olup beş tanedir.

\(\textbf{Cevab: E} \)