Aritmetik Ortalama

n tane sayının toplamının n ye bölümüne, bu sayıların aritmetik ortalaması denir. \( x_1, x_2, x_3, \cdots \) sayılarının aritmetik ortalamasi:

\[ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdot + x_n}{n} \]

\( x_1\) ve \( x_2\) sayılarının aritmetik ortalaması:

\[ \frac{x_1 + x_2 }{2} \;\; \text{dir.} \]

Soru 1

\(x\) ve \(y\) gibi iki sayının aritmetik ortalaması \(2 \sqrt{ 3} \) , geometrik ortalaması 3 tür. Buna göre

\[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \] ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) }\frac{1}{2} \quad
\text{C) } \frac{3}{5} \quad
\text{D) } \frac{10}{27} \quad
\text{E) } \frac{15}{32}
\]

Çözüm:

Aritmetik Ortalama \[ \frac{x+y}{2} = 2 \sqrt{3 } \Rightarrow x+ y = 4 \sqrt{3 } \]

Geometrik Ortalama \[\sqrt{xy } = 3 \Rightarrow xy = 9 \]

\[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2+ y^2} = \frac{(x+y)^2\; – \; 2xy }{(xy)^2} = \frac{(4 \sqrt{3 } )^2 -2 \cdot 9}{9^2} \]

\[ = \frac{10}{27} \]

\(\textbf{Cevab: D} \)

Soru 2

5 tane sayının aritmetik ortalaması a dır. Bu sayılardan 2 tanesi çıkarılıyor ve geriye kalan 3 sayının ortalaması \[\frac{5a}{3} \;\;- \;\;4 \] oluyorsa, çıkarılan bu 2 sayının aritmetik ortalaması kaçtır?

\[
\text{A)} 2 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 8 \quad
\text{E) } 10
\]

Çözüm:

5 tane sayının toplamı \(x \), çıkarılan 2 tane sayının toplamı \(y \) yolsun. Bu durumda geriye kalan 3 tane sayının toplamı \(x – y \) olur. O halde,

\[ \frac{x}{5} = a \Rightarrow x = 5a \]

\[ \frac{x-y}{3} = \frac{5a}{3} -4 \Rightarrow \frac{5a-y}{3} = \frac{5a-12}{3} \Rightarrow y= 12 \]

Buna göre, çıkarılan iki sayının aritmetik ortalaması

\[ \frac{y}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\(\textbf{Cevab: C} \)