Birinci Dereceden Üç Bilinmeyenli Denklemler
\( a, \; b, \;c, \;d \in R \; (a \neq 0, \; b\neq 0, \; c\neq 0) \) olmak üzere, \( ax + by + cz + d = 0 \) şeklindeki denklemlere birinci dereceden üç bilinmeyenli denklemler, bu şekildeki en az iki denklemden oluşan denklem sistemine de, birinci dereceden üç bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Çözüm Kümesinin Bulunmasi:
\(1) \) Bilinmeyen sayısı üç ve denklem sayısı bir ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Örnek:
\( 2x – 3y + z = 7 \) denklemini sağlayan \( (1, 1, 8), (2,1,6), … \) gibi sonsuz üçlü vardır.
\(2) \) Bilinmeyen sayısı üç ve denklem sayısı iki ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Örnek:
\[ x+ y – z = 1 \]
\[ 2x- 2y + z = 3 \]
denklem sisteminde \( z = t \) dönüşümü yapılırsa,
\[ x+ y – t = 1 \Rightarrow x + y = 1 + t \]
\[ 2x- 2y + t = 3 \Rightarrow 2x-2y = 3- t \]
t ye bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi elde edilir. Buradan,
\[x = \frac{t+4}{5} \quad \text{ve } \quad y= \frac{3t-1}{4} \quad \text{bulunur } \]
\( t \in R\) olmak üzere, denklem sistemini sağlayan \( \large (\frac{t+5}{4}, \frac{3t-1}{4}, t ) \) gibi sonsuz üçlü vardır.
\(3) \) Bilinmeyen sayısı, denklem sayısına eşit ve üç ise çözüm kümesi tek elemanlı (veya boş küme veya sonsuz elemanlı) olabilir.
Bu durumda çözüm kümesini bulmak için, iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözümüne ait yöntemler kullanilabilir.
Örnek:
\[\begin{aligned}
x+y+z =& 7\\
2x-y+z=& 4\\
3x+y+z=& 9\\
\end{aligned}\]
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım. Denklem sisteminin çözüm kümesini bulmak için birinci ile ikinci ve ikinci ile üçüncü denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\[\begin{aligned}
x+y+z =& 7\\
+ \quad 2x-y+z=& 4\\
\hline
3x+ 2z = & 11
\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}
2x-y+z =& 4\\
+ \quad 3x+y+z=& 9\\
\hline
5x+ 2z = & 13
\end{aligned}\]
Böylece elde edilen iki bilinmeyenli iki denklemin ortak çözümü yapılırsa,
\[\begin{aligned}
5x+ 2z = & 13\\
– \quad 3x+ 2z = & 11\\
\hline
2x = & 2 \Rightarrow x = 1
\end{aligned}\]
buradan \( x = 1, \; z = 4, \; y= 2 \) bulunur.
Soru 21
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= 5 \\
\frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= 8 \\
\frac{1}{x} + \frac{1}{z} &= 7
\end{aligned}
\]
ise \( x \cdot y \cdot z \) çarpımı kaçtır?
\[
\text{A)} \frac{1}{6} \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } \frac{1}{5} \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } \frac{1}{30}
\]
Çözüm:
İkinci denklemin iki yani \(-1 \) ile çarpıldıktan sonra, üç denklem taraf tarafa toplanırsa,
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{x}\; + \;\frac{1}{y} &= 5 \\
-\frac{1}{y} \;- \;\frac{1}{z} &= -8 \\
+ \quad \frac{1}{x} \;+ \;\frac{1}{z} &= 7\\
\hline\\
\frac{2}{x} = &4 \Rightarrow \frac{1}{x} = 2
\end{aligned}
\]
\[\frac{1}{x} = 2, \quad \frac{1}{y} = 3, \quad \frac{1}{z} = 5 \] bulunur. Bu değerler taraf tarafa çarpılırsa
\[ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \]
\[ x \cdot y \cdot z = \frac{1}{30} \]
\(\textbf{Cevab: E} \)