Hareket Problemleri

Bir aracın, V ortalama hızıyla, t sürede aldığı  \( |AB|  \)  yolu,

\[ \text{ Yol}  = \text{Hız} \times \text{Zaman}    \]

\[ |AB| = x = V \times t  \] dir.

Burada \(t_y= 1   \)  saat alındığında \( |AB | = V_A- V_B  \)  olur. Buradan, arkadaki hareketli her 1 saatte, aradaki mesafeyi, hızlar farki kadar kapatır, sonucu çıkarılabilir.

Örnek:

Şekildeki gibi, A ve B noktalarından, ortalama hızları \( V_a\)  ve \( V_b  \)  olan iki hareketli, aynı anda, birbirlerine doğru (zıt yönde), hareket ettiklerinde, C noktasında karşılaşıyor olsun. İki hareketli de C noktasında aynı sürede \( (t_k) \)  varacaklarına göre, A ve B den hareket eden iki hareketlinin aldığı yol sırasıyla,

\[ |AC| = V_a \cdot  t_k \]

\[ |BC| = V_b \cdot  t_k \]

Burada \(t_k= 1   \)  saat alındığında \( |AB | = V_A + V_B  \)  olur. Buradan, iki hareketli, her 1 saatte, hızlar toplamı kadar birbirine yaklaşır, sonucu çıkarılabilir.

Hızları şekildeki gibi verilen, A ve B noktalarından aynı anda hareket eden A ve B araçlarının hareketini inceleyelim.

1)  iki araç arasındaki mesafe, \[\frac{480}{90 + 70 } = 3 \; \text{saat }   \] sonra kapanır. İki araç 3 saat sonra karşılaşır. 

2)  3 saatte A aracı \( 3 \cdot  90 = 270  \) km yol alır. Yani IACI = 270 km dir.

3)  3 saatte B aracı \( 3 \cdot 70 = 210  \) km yol alır. Yani IBCI = 270 km dir.

Bir aracın iki nokta arasında katettiği toplam yolun, bu mesafeyi tamamladığı toplam zamana oranı (bölümü), aracın bu iki nokta arasındaki ortalama hızıdır.

Buna göre,

\[ V_{ort} =  \frac{\text{toplam yol} }{\text{toplam zaman} } \]

şeklinde hesaplanır.

Yukarıdaki şekilde gösterilen, A dan hareket eden bir araç, AB yolunu, \(V_1  \)  hızıyla \(t_1  \) sürede, BC yolunu \(V_2  \) hızıyla, \(t_2  \) sürede, CD yolunu \(V_3  \) hızıyla \(t_3  \) sürede almış olsun. Bu aracın AD yolu boyunca, ortalama hızı,

\[ V_{ort} =  \frac{|AD|}{t_1 +t_2 + t_3}  \]  veya \[ V_{ort} =  \frac{|AD|}{\frac{|AB|}{V_1}  + \frac{|BC|}{V_2}  + \frac{|CD|}{V_3} }  \] olur.

Bir araç, gideceği yolun üçte birini 60 km/sa, geriye kalanını 80 km/sa hızla katettiğine göre bu aracın katettiği bu yoldaki ortalama hızını bulalım.

Aracın katettiği toplam yol \(3x  \)  km olmak üzere,

\[ V_{ort} =   \frac{\text{toplam yol} }{\text{toplam zaman}} = \frac{3x}{\frac{x}{60} + \frac{2x}{80}  }  = \frac{3x}{ x \cdot \left( \frac{1}{60} + \frac{1}{40} \right)} \]
\[ V_{ort} =  72 \; \text{km/sa bulunur} \]

\[
\text{A )} 550 \quad
\text{B) } 600 \quad
\text{C) } 675 \quad
\text{D) } 725 \quad
\text{E) } 750
\]

Hızı 90 km/sa olan araç IABI mesafesini \( t\) saatte almış olsun. Bu durumda, hızı 50 km/sa olan araç iki şehir arasındaki yolu  \( t+ 6\)   saatte kateder.

\[
\text{A )} 300 \quad
\text{B) } 250 \quad
\text{C) } 200 \quad
\text{D) } 150 \quad
\text{E) } 100
\]

AB yolu 75 km olduğuna göre, A dan hareket eden araç B den hareket eden araca

\[ \frac{75}{75-50} = 3   \] saat sonra yetişebilirdi.

A dan hareket eden araç öndeki araca yetişmeden 1 saat mola verdiği için B den hareket eden araç, bu 1 saatte aradaki mesafeyi \(50 \cdot 1 = 50 \) km daha açmıştır. Buna göre A dan hareket eden aracın, öndeki araç ile kapatması gereken toplam mesafe \( 75 + 50 = 125\) km dir. O halde bu 125 km yi

\[\frac{125}{75-50} = 5 \] saatte kapatacaktır. Ayrıca A dan hareket eden aracın verdiği 1 saatlik mola sırasında B den hareket eden araç \( 50 \cdot 1 = 50\) km yol almıştır. Buna göre, B den hareket eden aracın aldığı toplam yol

\[ |BC| = 50 \cdot 5 + 50 = 300 \; \text{km dir. } \]

\(\textbf{Cevab: A} \)

Bir koşucunun hızının rüzgar hızına oranı \(\Large \frac{5}{2}    \) dir.  Bu koşucu 45 km lik bir mesafeyi, rüzgara karşi 5 saatte koşabildiğine göre, koşucunun saatteki hızı kaç km dir?

\[
\text{A )} 3 \quad
\text{B) } 9 \quad
\text{C) } 12 \quad
\text{D) } 15 \quad
\text{E) } 18
\]

Rüzgarın hızına \( 2v  \)  denilirse koşucunun hızı \( 5v \) olur. Koşucu rüzgara karşı koştuğu zaman, hızı  \[ 5v \;- \;   2v = 3v \]  olduğundan verilen probleme ait eşitlik:

\[  \text{ Yol = Hiz x Zaman }  \] olduğundan, \[  45 = 3v. 5 \Rightarrow v= 3 \; km/saat  \]

A noktasından 60 km/saat hızla hareket eden bir otobüs, hareket ettikten 1 saat sonra hızını V kadar arttırınca B noktasına varması gereken zamandan 1 saat önce ulaşıyor. AB yolu 240 km olduğuna göre, V kaç km/saat tir?

\[
\text{A )} 20 \quad
\text{B) } 25 \quad
\text{C) } 30 \quad
\text{D) } 35 \quad
\text{E) } 40
\]

Bir araç saatte 80 km hızla gittiği bir AB yolunu, dönüşte saatte 60 km hız yaparak katediyor. Gidiş – dönüş süresi toplam 14 saat olduğuna göre, AB yolu kaç km dir?

\[
\text{A) } 480 \quad
\text{B) } 460 \quad
\text{C) } 420 \quad
\text{D) } 300 \quad
\text{E) } 350
\]

Çözüm: 

Aracın gidiş süresine t denilirse, dönüş süresi \(14 – t  \)  olur. Araç gidişte 80 km/saat, dönüşte 60 km/saat hız yaptığına göre verilen probleme ait denklem

\[  |AB| = 80 \cdot  t = 60 \cdot  (14 \; – \; t )\]  şeklinde yazılırsa

\[ 14t = 6 \cdot  14\]

\[\Rightarrow t = 6 \; \text{saat olarak bulunur.}  \]

Buradan,

\[ |AB| = 80 \cdot t \; \text{olduğundan } \]

\[ |AB| = 80 \cdot 6 = 480 \; \text{km dir } \]

\(\textbf{Cevab: A} \)

\[
\text{A) } 420 \quad
\text{B) } 480 \quad
\text{C) } 540 \quad
\text{D) } 680 \quad
\text{E) } 700
\]

\( V_1 \) ve \( V_2 \) hızıyla birbirlerine doğru hareket eden iki araç 3 saat sonra karşılaştığına göre AB mesafesi

\[ |AB| = 3 \cdot  (V_1 + V_2) \Rightarrow |AB| = 3 \cdot  (80 + 60 ) = 420 \: \text{km dir.} \]  \( V_1 \) hızlı araç \( V_3 \) hızlı araca t saatte yetişirse,

\[ t = \frac{|AB|}{V_1 \;- \; V_3} \Rightarrow t = \frac{420}{80 \;-\; 50 } = 14 \; \text{saat olur. }    \]