Yüzde Problemleri
a) Yüzde Kavramı:
Yüzde kavramını bir örnekle açıklayalım.
Örnek:
Üniversite sınavına hazırlanan bir öğrenci, bir ayda, 550 sayfalık Sosyal Bilimler kitabının 220 sayfasının özetini çıkarabilmiştir. Bu öğrencinin, bir ayda, kitabının yüzde kaçını özetleyebildiğini bulalım.
Öğrencinin özetlediği sayfa sayısının, kitabının tamamının sayfa sayısına oranını bulacak olursak,
\[\frac{220}{550} = \frac{22}{55} = \frac{2 }{5} \cdot \frac{20}{20} = \frac{40}{100} \] dür. Bu oran
\[ \frac{40}{100} = \frac{1}{100} \cdot 40 = 0,40 \; (0,01 \cdot 40 ) = \% \;40 \] şeklinde yazılabilir.
\( \Large \frac{1}{100} \) veya \( 0,01 \) yerine \(\% \) sembolü kullanılır.
\(\% \;40 \) yüzde kırk şeklinde okunur.
\(\% \;40 \) ifadesine, yüzde oranı denir.
Her yüz sayfanın kırk sayfasının özetlendiğini ifade eder.
Uyarı:
Rasyonel sayıların yüzde sembolü ile yazılabilmesi için kesrin paydası 100 olacak şekilde denk bir sayıya genişletilmeli veya sadeleştirilmelidir.
Ondalık sayılar ise yüzde olarak ifade edilirken, virgül iki basamak sağa alınır, sonra yüzde olarak yazılır.
Örnekler:
\(\bullet \quad \Large \frac{28}{40} = \frac{7}{10} \cdot \frac{10}{10} = \frac{70}{100} \) \( = \%70 \)
\(\bullet \quad \Large \frac{120}{600} = \frac{20}{100} \) \( = \%20 \)
\(\bullet \quad 0,55= 0,01 \cdot 55 = \%55 \) veya \(0,55 = \) \( \Large \frac{55}{100} \) \( = \%55 \)
Temel Sayı, Yüzde Oranı, Yüzde Payı kavramlarını bir örnekle açıklayalım.
Örnek:
30 kişilik bir sınıfta ögrencilerin \(\%70 \) i Türkçe dersinden başarılıdır. Bu sınıfta Türkçe dersinden başarılı olan ögrenci sayısını bulalım.
\[
\begin{aligned}
100 \; \text{öğrenciden} \quad \quad &70 \; \text{i başarılı ise} \\
\\
30 \; \text{öğrenciden} \quad \quad &x \; \text{i başarılıdır} \\
\\
\hline \text{Doğru Orantı}
\end{aligned}
\]
\[ \underbrace{x}_{\Large \text{yüzde payı} } = \underbrace{ 30}_{\Large \text{temel sayı} } \cdot \quad \underbrace{\frac{70}{100} }_{\Large \text{yüzde oranı} } \]
\[ \underbrace{21}_{\Large \text{yüzde payı} } = \underbrace{ 30}_{\Large \text{temel sayı} } \cdot \quad \underbrace{\frac{70}{100} }_{\Large \text{yüzde oranı} } \]
Buradan,
\[ \textbf{ Yüzde payı} = \textbf{ Temel sayı } \times \textbf{Yüzde oranı} \]
eşitliği yazılabilir.
Sonuçlar:
\(1) \) Yüzde a ifadesi üç sekilde gösterilebilir.
\( \bullet \) \(\% a \)
\( \bullet \) \(\Large \frac{1}{100} \)
\( \bullet \) \(0,01 \cdot a \)
\[ \%a = \frac{1}{100} = 0,01 \cdot a \]
\(2) \) Bir sayının \(\%a \) sını bulmak için, bu sayı \(\Large \frac{a}{100} \) ile çarpılır.
Örnek:
400 ün \( \% 15 \) ini bulalim.
\[ \Rightarrow 400 \cdot \frac{15}{100} = 60 \; \text{bulunur} \]
Örnek:
\(0,008 \) sayısının hangi sayının \(\% 40 \) i olduğunu bulalım.
Aradığımız sayıya \(x \) diyelim. \(x \) in \( \% \;40 \) ı \(0,008\) olduğundan \[ x \cdot \frac{40}{100} = 0,008 \] eşitliği yazılırsa \[ x= 0,02 \; \text{bulunur.} \]
Örnek:
Bir öğrenci, 100 soruluk bir imtihanda ilk 30 sorudan %90’ını doğru cevaplamıştır. Tüm sorular içinde doğru cevaplama oranı %80 olduğuna göre, diğer sorulardan kaç tanesini doğru cevapladığını bulalım.
100 sorunun %80’ini doğru cevapladığına göre: \[ 100 \cdot \frac{80}{100} = 80 \, \text{(doğru cevap)} \] İlk 30 sorudan %90’ını doğru cevapladığına göre: \[ 30 \cdot \frac{90}{100} = 27 \, \text{(doğru cevap)} \] Toplamda 80 doğru cevap olması gerektiğine göre, geri kalan sorulardan doğru cevaplananların sayısı: \[ 80 – 27 = 53 \] Sonuç olarak, öğrenci diğer sorulardan \(53\) tanesini doğru cevaplamıştır.