Çok Değişkenli Polinomlar

 

Çok Değişkenli Polinomlar

 

x, y ve z değişken elemanlar olmak üzere,

\[
P(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^3 – xy + x + y + 1
\]

şeklindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar,

\[
P(x, y, z) = x^2 yz^2 – xy^2 + xz + x – z + 3
\]

şeklindeki ifadelere üç değişkenli polinomlar denir.

Çok değişkenli bir polinomda bir terimin derecesi, bu terimdeki değişkenlerin üslerinin toplamıdır. Polinomun derecesi ise en büyük dereceli terimin derecesidir.

Çok değişkenli bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için, bu polinomda bütün değişkenler yerine \(1   \), sabit terimi bulmak için ise bu polinomda bütün değişkenler yerine \( 0\) (sıfır) yazılır.

 

Örnekler:

\( \bullet \quad   P(x, y) = x^4 y^2 + x^5 – y^4 + xy + 3 \) polinomunun derecesi, \( x^4 y^2 \) teriminin derecesi olup

\[ 4 + 2 = 6 \]  \[{der}[P(x, y)] = 6  \quad  \text{dır.} \]

 

\( \bullet \quad  P(x, y, z) = x^3 y^2 z + xyz – xy + x + z + 5 \) polinomunun derecesi, \( x^3 y^2 z \) teriminin derecesi olup \[ 3 + 2 + 1 = 6 \]  \[{der}[P(x, y, z)] = 6 \quad  \text{dır.}  \]

 

\(\bullet \quad  P(x, y, z) = x^2 yz – 2x^2 + 3yz + z + 3 \) polinomunun katsayılar toplamı,
\[
P(1,1,1) = 1 – 2 + 3 + 1 + 3 = 6
\]

\(\bullet \quad  \)  Sabit terimi ise,
\[
P(0,0,0) = 3 \quad  \text{tür. }
\]

 

SORU 7

\[
P(x, y) = \frac{xy^3 + y^3 + xy + y^2 + y + 1}{y^2 + 1}
\]

ifadesi iki değişkenli bir polinom olduğuna göre, \( P(x – 1, y + 1) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

\[
\text{A)} 6 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 2
\]

 

Çözüm:

\( P(x – 1, y + 1) \) polinomunun katsayılar toplamı (\( x \) yerine \( 1\)  , \( y \) yerine \( 1\) yazılırsa)

\[ P(1 – 1, \;\; 1 + 1) = P(0, 2) \text{ dir. O halde,} \]

\[
P(x, y) = \frac{xy^3 + y^3 + xy + y^2 + y + 1}{y^2 + 1}
\]

denklemde  \(x   \)  yerine \(0   \) , \( y\)  y yerine \( 2\) yazılırsa, \( P(0,2) = 3 \)  bulunur.

\(\textbf{Cevab: D} \)