Polinomlarda İşlemler

 

Polinomlarda İşlemler

 

Polinomlarda Toplama – Çıkarma:

 

Polinomlarda toplama veya çıkarma işlemi, aynı dereceli terimler arasında yapılır.

\[
{der} [P(x)] = n, \quad {der} [Q(x)] = m
\]

olmak üzere,

eğer \( n > m \) ise,

\[
{der} [P(x) \pm Q(x)] = n
\]

eğer \( n = m \) ise,

\[
{der} [P(x) \pm Q(x)] \leq n
\]

dir.

Örnek:

\[
P(x) = 2x^4 + x^2 + 3x + 5,
\]

\[
Q(x) = x^3 – 2x^2 + x – 3
\]

olmak üzere

\(\bullet \quad   P(x) + Q(x) = (2 + 0)x^4 + (0 + 1)x^3 + (1 – 2)x^2 + (3 + 1)x + 5 – 3 \)

\[
= 2x^4 + x^3 – x^2 + 4x + 2
\]

\( \bullet \quad  P(x) – Q(x) = (2 – 0)x^4 + (0 – 1)x^3 + (1 – (-2))x^2 + (3 – 1)x + 5 – (-3) \)

\[
= 2x^4 – x^3 + 3x^2 + 2x + 8
\]

 

\[
{der} [P(x) \pm Q(x)] = 4 \text{ tür.}
\]

 

Örnek:

\[
P(x) = x^7 + x^5 + 2x^2 + x + 3,
\]

\[
Q(x) = x^7 + x^5 + x^3 + x + 1
\]

olmak üzere ,

\( \bullet \quad   Q(x) – P(x) = x^3 – 2x^2 – 2 \)

\[
{der} [Q(x) – P(x)] = 3 \text{ tür.}
\]

 

Polinomlarda Çarpma:

 

Polinomlarda çarpma işlemi yapılırken, çarpmanın toplama üzerine dağılım özelliği kullanılır.

\[
{der} [P(x)] = n, \quad {der} [Q(x)] = m
\]

ve \( r \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\[
{der} [P(x) \cdot Q(x)] = n + m
\]

\[
{der} [P(Q(x))] = m \cdot n
\]

\[
{der} [(P(x))^r] = r \cdot n \quad
\]

dir.

Örnek:

\[
P(x) = 2x^2 + x + 1, \quad Q(x) = x^3 + x
\]

ise,

\[
P(x) \cdot Q(x) = (2x^2 + x + 1) \cdot (x^3 + x)
\]

\[
= 2x^5 + 2x^3 + x^4 + x^2 + x^3 + x
\]

\[
= 2x^5 + x^4 + 3x^3 + x^2 + x
\]

\[
{der} [P(x) \cdot Q(x)] = 2 + 3 = 5
\]

 

Örnek:

\[
{der} [P(x)] = 3, \quad {der} [Q(x)] = 5
\]

ise,

\[
{der} [(P(x))^4 \cdot P(Q(x))]
\]

değerini bulalım.

\[
{der} [(P(x))^4 \cdot P(Q(x))]
\]

\[
= {der} [(P(x))^4] + {der} [P(Q(x))]
\]

\[
= 4 \cdot {der} [P(x)] + {der} [P(x)] \cdot {der} [Q(x)]
\]

\[
= 4 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 27 \quad  \text{olur. }
\]

 

SORU 10

\[
\frac{3x^4 + ax^3 – 3x^2 + 2x + b}{x^2 + x – 1}
\]

kesirinin sadeleşmiş şekli   \( 3x^2 – x + 1 \)   ise,  \( a + b \)  toplamı kaçtır?

\[
\text{A)} 0 \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 4
\]

 

Çözüm:

\[
\frac{3x^4 + ax^3 – 3x^2 + 2x + b}{x^2 + x – 1} = 3x^2 – x + 1
\]

\[
3x^4 + ax^3 – 3x^2 + 2x + b = (x^2 + x – 1) \cdot (3x^2 – x + 1)
\]

Burada, \( a \) ve \( b \) yi bulmak için, sadece sıfırıncı ve üçüncü dereceden terimleri elde edecek şekilde çarpma işlemi yapılırsa,

\[
3x^4 + ax^3 – 3x^2 + 2x + b = \dots + (-1+3)x^3 + \dots -1
\]

\[
a = 2, \quad b = -1 \quad \text{ve} \quad a + b = 1
\]

\(\textbf{Cevab: B} \)

 

SORU 11

\[
(2x^3 + x^2 – x + 3)^2
\]

ifadesinin açılımında dördüncü dereceden terimin katsayısı kaçtır?

\[
\text{A)} -3 \quad
\text{B) } -2 \quad
\text{C) } -1 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]

 

Çözüm:

\[ (2x^3 + x^2 – x + 3)^2 = (2x^3 + x^2 – x + 3)(2x^3 + x^2 – x + 3) \]

Burada, sadece dördüncü dereceden terimi elde edecek şekilde çarpma işlemi yapılırsa,

\[
(2x^3 + x^2 – x + 3)^2 = \dots + (-2 + 1 – 2)x^4 + \dots
\]

\[
= \dots -3x^4 + \dots
\]

olur.

\(\textbf{Cevab: A} \)

 

Polinomlarda Bölme:

 

\[
{der} [P(x)] \geq {der} [Q(x)] \quad \text{ve} \quad Q(x) \neq 0
\]

olmak üzere, \( P(x) \) ile \( Q(x) \) polinomları verilsin.

\[
\begin{array}{r|l}
P(x) & Q(x) \\
B(x) \cdot  Q(x)  & \rule{25mm}{0.35mm} \\
–  \rule{35mm}{0.35mm} & B(x) \\
K(x) &
\end{array}
\]

Bölme işleminde,

\[
P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)
\]

ve

\[
{der} [K(x)] < {der} [Q(x)]
\]

olmak üzere, \( P(x) \) polinomuna bölünen, \( Q(x) \) polinomuna bölen, \( B(x) \) polinomuna bölüm ve \( K(x) \) polinomuna da kalan polinomu denir.

Bu bölme işleminde \( K(x) = 0 \) ise \( P(x) \) polinomu, \( Q(x) \) polinomuna tam (kalansız) bölünüyor denir.

\[
{der} [Q(x)] = n \quad \text{ve} \quad {der} [B(x)] = m
\]

ise,

\[
{der} [P(x)] = m + n
\]

dir.

Örnek:

\[
{der} [P(x)] = 4 \quad \text{ve} \quad {der} [Q(x)] = 3
\]

ise,

\[
{der} \left[ \frac{5 P(x)}{P(x) + Q(x)} \right] \text{ değerini bulalım.}
\]

\[
{der} \left[ \frac{5 P(x)}{P(x) + Q(x)} \right] = {der} [5 P(x)] – {der} [P(x) + Q(x)]
\]

\[
= {der} [5] + {der} [P(x)] – {der} [P(x) + Q(x)]
\]

\[
= 0 + 4 – 4 = 0
\]

olarak bulunur.

 

Polinomlarda bölme işlemi yapılırken, aşağıdaki işlemler sırasıyla uygulanır.

1. Bölünen ve bölen polinomların terimleri, derecelerine göre büyükten küçüğe doğru sıralanır.

2. Bölünen polinomun en büyük dereceli terimi, bölen polinomun en büyük dereceli terimine bölünür.

3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.

4. Bu çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.

5. Çıkarma işlemi sonunda elde edilen polinom için, yukarıdaki işlemler, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar tekrarlanır.

 

Örnek:

\[
\begin{array}{r|l}
2x^3 + x^2 – 2x + 1 &  x^2 + x + 1 \\
2x^3 + 2x^2 + 2x &    \rule{35mm}{0.35mm} \\
–  \rule{45mm}{0.35mm} & 2x-1 \\
-x^2 – 4x + 1&\\
-x^2-x-1\\
–  \rule{45mm}{0.35mm} \\
-3x+2
\end{array}
\]

Burada,

\[
P(x) = 2x^3 + x^2 – 2x + 1, \quad {der} [P(x)] = 3
\]

\[
Q(x) = x^2 + x + 1, \quad {der} [Q(x)] = 2
\]

\[
B(x) = 2x – 1, \quad {der} [B(x)] = 1
\]

\[
K(x) = -3x + 2, \quad {der} [K(x)] = 1
\]

\[
{der} [P(x)] = {der} [Q(x)] + {der} [B(x)] = 2 + 1 = 3
\]

\[
{der} [K(x)] < {der} [Q(x)]
\]

 

Örnek:

\[
\begin{array}{r|l}
-4x^4+ 2x^3-3x^2+x-1 & 2x^2+x-1 \\
-4x^4-2x^3+2x^2 \phantom{aaaaaaa}  & \rule{35mm}{0.35mm} \\
–  \rule{65mm}{0.35mm} & -2x^2+2x- \frac{7}{2} \\
4x^3-5x^2+x-1&\\
4x^3+2x^2-2x\phantom{aa}\\
–  \rule{45mm}{0.35mm} \\
-7x^2+3x-1\\
-7x^2- \frac{7}{2}x+ \frac{7}{2} \\
–  \rule{45mm}{0.35mm} \\
\frac{13}{2} x- \frac{9}{2}
\end{array}
\]

 

Horner Metodu ile Bölme:

 

\[
P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0
\]

polinomunun, \( Q(x) = x – c \) şeklindeki birinci dereceden bir polinoma bölünmesinde uygulanabilen bir metottur.

Bölüm polinomu,

\[
B(x) = b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + \dots + b_1 x + b_0
\]

kalan, \( K \) olmak üzere, bu metod şu şekilde uygulanır.

\( Q(x) = x – c = 0 \) denkleminin kökü \( (c) \) ve \( P(x) \) in katsayıları ile aşağıdaki gibi tablo yapılır.

\[
\begin{array}{c|cccccc}
& a_n& a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_1 & a_0 \\
c &\downarrow & c \cdot b_{n-1} & c \cdot b_{n-2} & \dots & c \cdot b_1 & c \cdot b_0 \\
\hline
& a_n = b_{n-1} & b_{n-2} & b_{n-3} & \dots & b_0 & || \quad   K \\
\end{array}
\]

Tablodaki \( B(x) \) in katsayıları şöyle bulunur:

\[
b_{n-1} = a_n
\]

\[
b_{n-2} = a_{n-1} + c \cdot b_{n-1}
\]

\[
b_{n-3} = a_{n-2} + c \cdot b_{n-2}
\]

\[
\vdots
\]

\[
b_0 = a_1 + c \cdot b_1
\]

\[
K = a_0 + c \cdot b_0
\]

 

Örnek:

\[
P(x) = 3x^4 – x^3 – 2x^2 + x + 12
\]

polinomunun, \( Q(x) = x – 2 \)  ile bölünmesinden elde edilen  \( B(x) \)  bölümünü ve \( K \)  kalanı bulalım.

 

\( P(x) \)  polinomunun katsayıları, \( x \)  in azalan kuvvetlerine göre sıralanırsa, \( 3, -1, -2, 1, 12  \)  ve \( Q(x)\) Polinomu sıfıra eşitlenirse  \( Q(x) = x – 2 = 0  \Rightarrow x = 2  \) dir.

\( P(x) \) polinomunun katsayıları ve  \( Q(x) = 0 \)  denkleminin kökü aşağıdaki gibi tabloya yazılır.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 3 & -1 & -2 & 1 & 12 \\
2 & & & & & \\
\hline
&  & & & & \\
\end{array}
\]

Bölünen polinomun baş katsayısı olan \( 3 \), olduğu gibi çizginin altına indirilerek \( 2 \) ile çarpılıp, \( -1 \) in altına yazılarak toplanır.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 3 & -1 & -2 & 1 & 12 \\
2 & \downarrow & 2\cdot3 & & & \\
\hline
& 3 & 5 & & & \\
\end{array}
\]

2 ile 5 çarpılıp, -2 nin altına yazılarak toplanır.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& 3 & -1 & -2 & 1 & 12 \\
2 &\downarrow & 6 & 2.5 & 2.8 & 2.17 \\
\hline
& 3 & 5 & 8 & 17 & || \quad   46 = \;\; \text{Kalan } \\
\end{array}
\]

İşleme bu şekilde devam edildiği zaman en son elde edilen 46 sayısı kalan; diğer sayılar da bölüm polinomunun katsayılarıdır. Buna göre,

Kalan: \( K = 46 \) ve

Bölüm: \( B(x) = 3x^3 + 5x^2 + 8x + 17 \) dir.

 

Örnek:

\[
P(x) = x^5 + x^3 – 2x^2 + 1
\]

polinomunun \( Q(x) = x + 1 \) ile bölünmesinden elde edilen \( B(x) \) bölümünü ve \( K \) kalanını bulalım.

 

\[
Q(x) = x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
\]

ve \( P(x) \) polinomu düzenlenecek olursa;

\( P(x) = x^5 + 0 \cdot x^4 + x^3 – 2x^2 + 0 \cdot  x + 1 \)  polinomunun katsayıları,  1, 0, 1, -2, 0, 1 dir.

Buradan

\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
& 1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\
-1 & \downarrow & -1 \cdot  1 & -1 \cdot (-1)  &-1 \cdot  2 & -1 \cdot (-4)  & -1 \cdot  4 \\
\hline
& 1 & -1 & 2 & -4 & 4 & || \quad  -3 \; \text{Kalan } \\
\end{array}
\]

Buna göre,

\[
\text{Kalan: } \quad    K = -3
\]

\[
\text{Bölüm:} \quad   B(x) = x^4 – x^3 + 2x^2 – 4x + 4
\]

 

Uyarı:

Bir \( P(x) \) polinomunun \( Q(x) = ax + b \) şeklindeki bir polinoma bölünmesinde, \( B(x) \) bölüm polinomunu Horner Metodu ile bulmak için,

\[
Q(x) = a(x + \frac{b}{a})
\]

şeklinde yazılır. \( P(x) \) in \( x + \frac{b}{a} \) ya bölümü bulunup, bu bölüm \( a \) ya bölünerek \( B(x) \) elde edilir.

Burada, \( P(x) \) in \( x + \frac{b}{a} \) ile bölünmesinden elde edilen kalanla, \( ax + b \) ile bölünmesinden elde edilen kalanın aynı olduğuna dikkat edilmelidir.

 

Örnek:

\[
P(x) = 4x^4 + 5x^2 + 3x – 2
\]

polinomunun

\[
Q(x) = 2x – 1
\]

ile bölünmesinden elde edilen \( B(x) \) bölümünü ve \( K \) kalanını bulalım.

\[
Q(x) = 2x – 1 = 2(x – \frac{1}{2})
\]

\[
x – \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

ve \( P(x) \) in katsayıları \( 4, 0, 5, 3, -2 \) dir.

\[
\begin{array}{r|rrrrr}
& 4 & 0 & 5 & 3 & -2 \\
\frac{1}{2} & \downarrow & \frac{1}{2} \cdot   4 &  \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot 6 & \frac{1}{2} \cdot 6 \\
\hline
& 4 & 2 & 6 & 6 & 1 \\
\end{array}
\]

 

Burada bölüm polinomunun katsayıları \(2\)  ye bölünürse, \( B(x) \) in katsayıları \( 2, 1, 3, 3 \) bulunur.

O halde,

\[
B(x) = 2x^3 + x^2 + 3x + 3
\]

ve

\[
K = 1 \quad  \text{olarak bulunur. }
\]

 

Uyarı:

Bir \( P(x) \) polinomunun \( Q(x) = (ax + b) \cdot (cx + d) \) şeklindeki bir polinoma bölünmesinde, \( B(x) \) bölüm polinomunu Horner Metodu ile bulmak için \( P(x) \) in \( ax + b \) ye bölümü bulunup, bu bölüm \( cx + d \) ye bölünerek \( B(x) \) elde edilir.

 

Örnek:

\[
P(x) = 2x^5 – x^4 – x^3 + x^2 + 1
\]

polinomunun

\[
Q(x) = x^2 – 3x + 2
\]

ile bölünmesinden elde edilen \( B(x) \) bölümünü ve \( K \) kalanını bulalım.

 

\[
Q(x) = x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
\]

\[
x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1, \quad x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2
\]

ve \( P(x) \) in katsayıları \( 2, -1, -1, 1, 0, 1 \) dir.

\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
& 2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & \downarrow & 1.2 & 1.1 & 1.0 & 1.1 & 1.1 \\
\hline
& 2 & 1 & 0 & 1 & 1 & || 2  = K_1\\
2 & \downarrow& 2.2 & 2.5 & 2.10 & 2.21 & \\
\hline
& 2 & 5 & 10 & 21 & || 43 = K_2 & \\
\end{array}
\]

 

B(x) in katsayıları \(2, 5, 10, 21 \) olduğundan

\[
B(x) = 2x^3 + 5x^2 + 10x + 21
\]

olur. Şimdi de kalanı bulalım.

\[
\begin{array}{r|l}
P(x) & (x-1) \\
\phantom{a}  & \rule{25mm}{0.35mm} \\
–  \rule{25mm}{0.35mm} &\phantom{a}  T(x) \\
K_1 \phantom{aa}  &
\end{array}
\quad \quad \quad \quad
\begin{array}{r|l}
T(x) & (x-2) \\
\phantom{a}  & \rule{25mm}{0.35mm} \\
–  \rule{25mm}{0.35mm}&\phantom{a}  B(x) \\
K_2 \phantom{aa}  &
\end{array}
\]

 

\[
P(x) = (x – 1) T(x) + K_1
\]

\[
T(x) = (x – 2) B(x) + K_2
\]

olduğuna göre,

\[
P(x) = (x – 1) [(x – 2) B(x) + K_2] + K_1
\]

\[
P(x) = (x – 1) (x – 2) B(x) + \underbrace{(x – 1) K_2 + K_1}_{K(x)}
\]

\[
K(x) = 43(x – 1) + 2 = 43x\; -\; 41
\]

 

SORU 12

\[
P(x) = 2x^6 + x^4 – 2x + 3
\]

polinomunun \( x^2 – 1 \) ile bölünmesinden elde edilen bölüm \( B(x) \) ise \( B(1) \) kaçtır?

\[
\text{A)} 11 \quad
\text{B) } 10 \quad
\text{C) } 9 \quad
\text{D) } 8 \quad
\text{E) } 7
\]

 

Çözüm:

\[
x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
\]

\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
& 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & -3 \\
x – 1 = 0 \Rightarrow  x = 1 & \downarrow & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 1 \\
\hline
& 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 1& || \quad   4 \\
x + 1 = 0 \Rightarrow  x = -1 &\downarrow & -2 & 0 & -3 & 0 & -3 \\
\hline
& 2 & 0 & 3 & 0 & 3 & || \quad   -2 \\
\end{array}
\]

\( B(1) \), \( B(x) \) in katsayılar toplamı olduğundan,

\[
B(1) = 2 + 0 + 3 + 0 + 3 = 8
\]

\(\textbf{Cevab: D} \)

 

Bölme İşleminde Kalan Bulma:

 

Bir \( P(x) \) polinomunun bir \( Q(x) \) polinomuna bölünmesinden elde edilecek kalan bulunmak istenirse,

\[
\begin{array}{r|l}
P(x)\phantom{a}  &\phantom{a}  Q(x) \\
\phantom{a}  & \rule{25mm}{0.35mm} \\
–  \rule{25mm}{0.35mm} &\phantom{a}  B(x) \\
K(x) \phantom{a}  &
\end{array}
\]

 

\[ P(x) =Q(x) \cdot B(x) + K(x) \]

bölme özdeşliğini kullanarak, \( B(x) \) bölümünü bulmadan \( K(x) \) kalanı bulmak için \( Q(x) \cdot B(x) \) çarpımı 0 (sıfır) yapılır.

\[ P(x) = \underbrace{Q(x) \cdot B(x)}_{0} + K(x) \]

 

1. Bir Polinomun \( ax + b \) ile Bölünmesinde Kalan Bulma:

Bir \( P(x) \) polinomunun \( ax + b \) ile bölünmesinden elde edilen bölüm \( B(x) \) ve kalan \( K \) olsun. \( K \) yı bulalım.

\[
P(x) = (ax + b) \cdot B(x) + K
\]

\[
ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}
\]

olduğundan yukarıdaki eşitlikte \( x \) yerine \( -\frac{b}{a} \) yazılırsa

\[
K = P\left(-\frac{b}{a}\right)
\]

olarak bulunur.

Örnek:

Aşağıdaki polinomların \( x + 1 \) ile bölünmesinden elde edilen kalanları bulalım.

\[
x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
\]

değeri, bölünen polinomlarda yerine yazılırsa,

\( \bullet \quad   P(x) \) in \( x+1 \) ile bölünmesinden kalan
\[
K = P(-1)
\]

\( \bullet \quad P(x+2) \) nin \( x+1 \) ile bölünmesinden kalan,
\[
K = P(-1 + 2) = P(1)
\]

\( \bullet \quad P(3x+1) \) in \( x+1 \) ile bölünmesinden kalan,
\[
K = P(3 \cdot (-1) + 1) = P(-2)
\]

\(\bullet \quad P(2x^2 – 3x + 1) \) in \( x+1 \) ile bölünmesinden kalan,
\[
K = P(2 \cdot (-1)^2 – 3 \cdot (-1) + 1) = P(6)
\]

 

Örnek:

\[
P(x) = 8x^3 + 4x^2 + 2x – 1
\]

polinomunun \( 2x – 1 \) ile bölünmesinden kalanı bulalım.

\[
2x – 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

değeri \( P(x) \) polinomunda yerine yazılırsa, \( K \) kalanı,

\[
K = P\left(\frac{1}{2}\right) = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} – 1
\]

\[
\Rightarrow K = 1 + 1 + 1 – 1 = 2
\]

olarak bulunur.

 

Örnek:

\[
P(x) = x^3 + x^2 + x + 5
\]

polinomu verilsin.

\( P(x+2) \) polinomunun \( x-1 \) ile bölünmesinden elde edilen \( K \) kalanını bulalım.

\[
x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1
\]

değeri \( P(x+2) \) polinomunda yerine yazılırsa, \( K \) kalanı,

\[
K = P(1+2) = P(3)
\]

olur.

\( P(3) \) değerini bulmak için, verilen \( P(x) \) polinomunda \( x \) yerine 3 yazılırsa,

\[
K = P(3) = 3^3 + 3^2 + 3 + 5 = 27 + 9 + 3 + 5 = 44
\]

olarak bulunur.

 

Örnek:

\[
P(x,y) = (x – y + 1)^3 + (x – y – 1)^2 + x^2 + y^2 – 2xy + 1
\]

polinomunun \( x – y + 2 \) ile bölünmesinden elde edilen \( K \) kalanını bulalım.

\(    x – y + 2 = 0 \Rightarrow x – y = -2 \) olduğundan \( P(x, y) \) polinomunu düzenleyerek bu polinomda \( x – y \)  yerine \( -2 \)  yazalım.

\[
P(x, y) = (x – y + 1)^3 + (x – y – 1)^2 + (x – y)^2 + 1
\]

\[
K = (-2 + 1)^3 + (-2 – 1)^2 + (-2)^2 + 1 = 13
\]

olarak bulunur.

 

SORU 13

\[
P(x) = (x^4 – 6x^2 + 9)^{19} + x^2 – 3
\]

polinomunun \( 3x – 6 \) ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

 

Çözüm:

\[
3x – 6 = 0 \Rightarrow x = 2
\]

olduğundan

\[
K = P(2)
\]

olur.

\[
P(x) = (x^4 – 6x^2 + 9)^{19} + x^2 – 3
\]

\[
= [(x^2 – 3)^2]^{19} + x^2 – 3 = (x^2 – 3)^{38} + x^2 – 3
\]

\[
K = P(2) = (2^2 – 3)^{38} + 2^2 – 3 = 1+ 1 =  2
\]

olarak bulunur.

\(\textbf{Cevab: B} \)

 

SORU 14

\[
P(x+1) = (x – 7)^5 + x^2 – 35
\]

ise \( P(x^2 + x + 1) \) polinomunun \( x – 2 \) ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?

\[
\text{A)} -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]

 

Çözüm:

\[
x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2
\]

olduğundan, \( P(x^2 + x + 1) \) bölünen polinomunda \( x \) yerine 2 yazılırsa kalan,

\[
K = P(2^2 + 2 + 1) = P(7)
\]

olur.

Buna göre, \( P(x) \) polinomuna \( x \) yerine 7 yazılırsa,

\[
K = P(6 + 1) = P(7) = (6 – 7)^5 + 6^2 – 35 = 0
\]

olarak bulunur.

\(\textbf{Cevab: C} \)

 

SORU 15

\[
\frac{P(x+3)}{x + Q(x-2)} = x^2 + x + 1
\]

bağıntısı veriliyor.

\( P(x) \) polinomunun \( x – 4 \) ile bölünmesinden kalan 6 olduğuna göre, \( Q(x+1) \) polinomunun \( x + 2 \) ile bölünmesinden kalan kaçtır?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

Çözüm:

\[
x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4
\]

olduğundan

\[
P(4) = 6
\]

olur.

\[
x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2
\]

olduğundan,

\[
K = Q(-2 + 1) = Q(-1)
\]

dir.

Bu değeri

\[
\frac{P(x+3)}{x + Q(x-2)} = x^2 + x + 1
\]

bağıntısından bulalım.

\[
x = 1 \text{ için } \frac{P(1+3)}{1 + Q(1-2)} = 1^2 + 1 + 1
\]

\[
\Rightarrow \frac{6}{1 + K} = 3 \Rightarrow K = 1
\]

dir.

\(\textbf{Cevab: A} \)

 

2. Bir Polinomun \( (ax + b) (cx + d) \) Çarpımı ile Bölünmesinde Kalan Bulma:

Bir \( P(x) \) polinomunun \( (ax + b)(cx + d) \) çarpımı ile bölünmesinden elde edilen bölüm \( B(x) \) ve Kalan \( K(x) \) olsun. Burada, kalanın derecesi, bölünen derecesinden daha küçük olacağından

\[
K(x) = Ax + B
\]

şeklindedir.

Eğer, \( P(x) \) in \( ax + b \) ile bölünmesinden kalan \( K_1 \), \( P(x) \) in \( cx + d \) ile bölünmesinden kalan \( K_2 \) ise
\( K(x) \) i bulalım.

\[
P(x) = (ax + b) (cx + d) \cdot B(x) + Ax + B
\]

dir.

Bu eşitlikte \( x \) yerine

\[
-\frac{b}{a}
\]

yazmakla elde edilen

\[
P\left(-\frac{b}{a}\right) = K_1 = A \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) + B
\]

denklemi ile \( x \) yerine

\[
-\frac{d}{c}
\]

yazmakla elde edilen

\[
P\left(-\frac{d}{c}\right) = K_2 = A \cdot \left(-\frac{d}{c}\right) + B
\]

denklemi ortak çözülererek \( A \) ve \( B \) bulunur. Böylelikle \( K(x) = Ax + B \) bulunmuş olur.

 

Örnek:

\( P(x) \) polinomunun \( x – 2 \) ile bölünmesinden kalan 3 ve \( P(x+1) \) polinomunun \( x + 3 \) ile bölünmesinden kalan 1 dir.

Buna göre, \( P(x) \) in \( x^2 – 4 \) ile bölünmesinden elde edilen \( K(x) \) kalanı bulalım.

\( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) olduğundan  \( P(2) = 3\)

\[x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \text{ olduğundan, } \]

\[P(-3 + 1) = P(-2) = 1 \text{ olur.} \]

\( P(x) \text{ in } x^2 – 4 \)  ile bölünmesinde bölüm  \( B(x) \text{ ve kalan } K(x) = Ax + B \)  olmak üzere,

\[
P(x) = (x^2 – 4) B(x) + Ax + B
\]

\[
P(2) = 3 = 2A + B
\]

\[
P(-2) = 1 = -2A + B
\]

\[
\Rightarrow A = \frac{1}{2}, B = 2
\]

\[
K(x) = \frac{1}{2} x + 2
\]

 

SORU 16

\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,

\[
P(x) = (x – 3)^{2n} – (x – 2)^n + 1
\]

polinomunun \( x^2 – 5x + 6 \) ile bölünmesinden kalan nedir?

\[
\text{A)} 2x-5 \quad
\text{B) } -2x+5 \quad
\text{C) } 2x+6 \quad
\text{D) } 2x-6 \quad
\text{E) } -2x+6
\]

 

Çözüm:

\[
x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
\]

tür.

\[
x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2
\]

olduğundan,

\[
P(2) = (2 – 3)^{2n} – (2 – 2)^n + 1 = 2
\]

\[
x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3
\]

olduğundan,

\[
P(3) = (3 – 3)^{2n} – (3 – 2)^n + 1 = 0
\]

olur.

P(x) in \( x^2 – 5x + 6 \) ile bölünmesinde bölüm \( B(x) \) ve kalan \( K(x) = Ax + B \) olmak üzere,

\[
P(x) = (x^2 – 5x + 6) B(x) + Ax + B
\]

\[
P(2) = 2 = 2A + B
\]

\[
P(3) = 0 = 3A + B
\]

\[
\Rightarrow A = -2, B = 6
\]

ve

\[
K(x) = -2x + 6
\]

dır.

\(\textbf{Cevab: E} \)

 

3. Bir Polinomun \( ax^n + b \) Polinomu ile Bölünmesinde Kalan Bulma:

Bir \( P(x) \) polinomunun \( ax^n + b \) polinomu ile bölünmesinden elde edilen bölüm \( B(x) \) ve kalan \( K(x) \) olsun. \( K(x) \) i bulalım.

\[
P(x) = (ax^n + b) \cdot B(x) + K(x)
\]

\[
ax^n + b = 0 \Rightarrow x^n = -\frac{b}{a}
\]

olduğundan yukarıdaki eşitlikte  \( x^n \)  yerine \( -\frac{b}{a} \) yazılırsa kalan bulunmuş olur.

Örnek:

\[
P(x) = x^{16} + x^7 + x^5 + x^2 + 1
\]

polinomunun \( x^5 – 1 \) ile bölünmesinden elde edilecek \( K(x) \) kalanını bulalım.

\[
x^5 – 1 = 0 \Rightarrow x^5 = 1
\]

olduğundan \( P(x) \) polinomunu \( x^5 \) in kuvvetlerine göre düzenleyip \( x^5 \) yerine 1 yazalım.

\[
P(x) = (x^5)^3 \cdot x + x^5 \cdot x^2 + x^5 + x^2 + 1
\]

\[
K(x) = 1^3 \cdot x + 1 \cdot x^2 + 1 + x^2 + 1 = 2x^2 + x + 2
\]

olarak bulunur.

 

SORU 17

\( P(x) \) bir polinom olmak üzere,

\[
P(3x+2) = (x – 1)^{10} + x^2 + x + 1
\]

dir. \( P(x^4 + x^2 + 2) \) nin \( x^2 – 2 \) ile bölünmesinden kalan nedir?

\[
\text{A) } 6\quad
\text{B) } 7 \quad
\text{C) } 8 \quad
\text{D) }9 \quad
\text{E) } 10
\]

 

Çözüm:

\[
x^2 – 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2
\]

olduğundan \( P(x^4 + x^2 + 2) \) de \( x^2 \) yerine 2 yazılırsa,

\[
\text{Kalan } P(2^2 + 2 + 2) = P(8)
\]

olur.

\( P(3x+2) \) polinomunda \( x \) yerine 2 yazılırsa,

\[ P(8) = P(3 \cdot 2 + 2) = (2-1)^{10} + 2^2+2+1 = 8 \quad  \text{dir.}  \]

\(\textbf{Cevab: C} \)

 

4. Bir Polinomun Herhangi Bir \( Q(x) \) Polinomu ile Bölünmesinde Kalan Bulma:

Bir \( P(x) \) polinomunun bir \( Q(x) \) polinomu ile bölünmesinden elde edilen bölüm \( B(x) \) ve kalan \( K(x) \) olsun.
\( K(x) \) i bulalım.

\[
P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)
\]

tir. Burada,

\( Q(x) = 0 \) eşitliğindeki en büyük dereceli terim \( P(x) \) te yerine yazılır. Elde edilen polinomun derecesi \( Q(x) \) in derecesinden küçükse bu polinom \( K(x) \) kalanıdır. Bu polinomun derecesi \(Q(x) \) in derecesinden küçük değilse aynı işlem \(x \) in derecesinden küçük bir polinom elde edilinceye kadar tekrarlanarak\( K(x) \) bulunur.

Örnek:

\[
P(x) = 2x^4 – x^3 + x + 1
\]

polinomunun

\[
Q(x) = x^2 – x – 1
\]

ile bölünmesinden elde edilen \( K(x) \) kalanını bulalım.

\[
Q(x) = x^2 – x – 1 = 0 \Rightarrow x^2 = x + 1
\]

olur. \( P(x) \) polinomunu \( x^2 \) nin kuvvetlerine göre düzenleyip \( x^2 \) yerine \( x + 1 \) yazalım.

\[
P(x) = 2(x^2)^2 – (x^2) \cdot x + x + 1
\]

\[
K_1(x) = 2(x+1)^2 – (x+1)x + x + 1
\]

\[
= x^2 + 4x + 3
\]

burada \( K_1(x) \) in derecesi \( Q(x) \) in derecesine eşit olduğundan \( K_1(x) \) te de \( x^2 \) yerine (\( x + 1) \) yazarak bölme işlemine devam edilirse,

\[
K(x) = x + 1 + 4x + 3 = 5x + 4
\]

olarak bulunur.

 

Örnek:

\[
P(x) = x^5 + x^3 + x^2 + x – 2
\]

polinomunun

\[
Q(x) = x^2 + x
\]

ile bölünmesinden elde edilen \( K(x) \) kalanını bulalım.

\[
Q(x) = x^2 + x = 0 \Rightarrow x^2 = -x \quad  \text{olur. }
\]

\( P(x) \) polinomunu \( x^2 \) nin kuvvetlerine göre düzenleyip \( x^2 \) yerine \( -x \) yazalım.

\[
P(x) = (x^2)^2 \cdot x + (x^2) \cdot x + x^2 + x – 2
\]

\[
K_1(x) = (-x)^2 \cdot x + (-x) \cdot x – x + x – 2
\]

\[
= x^2 \cdot  x- x^2 – 2
\]

burada \( K_1(x) \) in derecesi \( Q(x) \) in derecesinden büyük olduğundan \( K_1(x) \) te de \( x^2 \) yerine \( -x \) yazarak bölme işlemine devam edilirse,

\[
K_2(x) = (-x) \cdot x – (-x) – 2 = -x^2 + x – 2
\]

ve

\[
K(x) = – (-x)   + x  – 2 = 2x – 2
\]

olarak bulunur.

 

Örnek:

\[
P(x) = (x^3 + x^2 – x + 2)^9 + (x^3 + x^2 + 1)^2
\]

polinomunun \( x^3 + x^2 – x +1 \) ile bölünmesinden elde edilen \( K(x) \) kalanını bulalım.

 

\[
x^3 + x^2 – x + 1 = 0 \Rightarrow x^3 + x^2 – x = -1
\]

veya

\[
\Rightarrow x^3 + x^2 + 1 = x
\]

olur.

Bu ifadeler \( P(x) \) te yerine yazılırsa,

\[
K(x) = (-1 + 2)^9 + (x)^2 = x^2 + 1
\]

olarak bulunur.

 

Örnek:

\[
P(x, y) = x^6 y^3 – 3x^5 y^2 + 3x^4 y + x^3 y – x^3 + 1
\]

polinomunun \( x^2 y – x \) ile bölünmesinden elde edilen kalanını bulalım.

 

\[
x^2 y – x = 0 \Rightarrow x^2 y = x
\]

olur. \( P(x, y) \) polinomunu düzenleyerek \( x^2 y \) yerine \( x \) yazalım.

\[
P(x, y) = (x^2 y – x)^3 + (x^2 y) \cdot x + 1
\]

ve

\[
\text{Kalan: } (x – x)^3 + x \cdot x + 1 = x^2 + 1
\]

olarak bulunur.

 

Polinomlarda Bölme İşleminde Kalan Özellikleri:

1. ( P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x) \)

bölme özdeşliğinde \( K(x) \) kalanı 0 (sıfır) ise \( P(x) \) polinomu \( Q(x) \) polinomuna tam bölünüyor veya kalansız bölünüyor denir. Bu durumda \( P(x) = Q(x) \cdot B(x) \) olduğundan \( Q(x) \) polinomu \( P(x) \) polinomunun çarpanlarından biridir.

 

Örnek:

\[
P(x) = x^4 + 2x^2 – ax + b = (x+1)^2 \cdot Q(x)
\]

eşitliğinde \( Q(x) \) bir polinom olduğuna göre \( a \) ve \( b \) yi bulalım.

\( (x+1)^2 \), \( P(x) \) polinomunun çarpanlarından biri olduğuna göre, \( P(x) \) in \( (x+1)^2 \) ile bölünmesinden elde edilecek \( K(x) \) kalanı sıfırdır.

\[
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -2x – 1
\]

olduğundan \( P(x) \) polinomunda \( x^2 \) yerine \( -2x – 1 \) yazalım.

\[
K_1(x) = (-2x – 1)^2 + 2(-2x -1) – ax + b
\]

\[
= 4x^2 + 4x + 1 – 4x – 2 – ax + b
\]

\[= 4x^2 – ax + b – 1 \]

ve

\[K(x) = 4(-2x – 1) – ax + b – 1\]
\[\quad \quad = (- a – 8)x -5 + b = 0 \]

olması için

\[- a – 8 = 0 \Rightarrow a = -8 \quad  \text{ve }  \quad – 5 + b = 0 \Rightarrow b = 5 \]

olarak bulunur.

 

2. Bir \( P(x) \) polinomu, çarpanlarına ayrılabilen bir \( Q(x) \) polinomuna tam bölünebiliyorsa, \( Q(x) \) polinomunun çarpanlarına da tam bölünür.

 

Örnek:

\[
P(x) = ax^5 – x^4 + 3x^2 – bx – 24
\]

polinomu  \(x^2 – 3x + 2 \)  ile kalansız bölünebildiğine göre \( a \) yı bulalım.

\[
x^2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1)
\]

olduğundan \( P(x) \) polinomu \( x – 1 \) ve \( x – 2 \) ye kalansız bölünür.

O halde,

\[
P(1) = a – 1 + 3 – b – 24 = 0 \Rightarrow a – b = 22
\]

\[
P(2) = 32a – 16 + 12 – 2b – 24 = 0 \Rightarrow 32a – 2b = 28
\]

denklemleri ortak çözülürse

\[
a = – \frac{8}{15}
\]

bulunur.

 

3. \( P(x) \) polinomunun \( Q(x) \) polinomu ile bölünmesinden kalan \( K(x) \), \( R(x) \) polinomunun \( Q(x) \) polinomu ile bölünmesinden kalan \( M(x) \) ve \( n \in \mathbb{N} \) olsun.

a) \( P(x) \pm R(x) \) polinomunun \( Q(x) \) ile bölünmesinden kalan \( K(x) \pm M(x) \),
b) \( P(x) \cdot R(x) \) polinomunun \( Q(x) \) ile bölünmesinden kalan \( K(x) \cdot M(x) \),
c) \( P^n(x) \) polinomunun \( Q(x) \) polinomu ile bölünmesinden kalan \( K^n(x) \) dir.

Burada \( K(x) \pm M(x) \),  \( K(x) \cdot M(x) \)  ve  \( K^n(x) \)  polinomlarının derecesi \( Q(x) \) polinomunun derecesine eşit veya büyük ise bu polinomların \( Q(x) \) ile bölünmesinden kalan bulunur.

 

Örnek:

\( P(x) \) polinomunun  \( x^2 + 1 \) ile bölünmesinden elde edilen kalan  \( K(x) = 2x + 1 \), \( Q(x) \) polinomunun \( x^2 + 1 \) ile bölünmesinden elde edilen kalan \( M(x) = x + 1 \) olduğuna göre,

\( P(x) \cdot Q(x) \)   ve  \( x^2 + x + P^2(x) \)  polinomlarının  \(x^2 + 1\)  ile bölünmesinden elde edilecek kalanları bulalım.

\( \to\)  \( P(x) \cdot Q(x) \) polinomunun \( x^2 + 1 \)  ile bölünmesinden elde edilecek kalan,

\[
K(x) \cdot M(x) = (2x + 1)(x + 1) = 2x^2 + 3x + 1
\]

ve

\[
x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \;\; \text{olduğundan,}
\]

\[
= 2 \cdot (-1) + 3x + 1
\]

\[
= 3x – 1 \quad \text{dir.}
\]

 

\( \to \)  \( x^2 + x + P^2(x) \) polinomunun \( x^2 + 1 \) ile bölünmesinden elde edilecek kalanı bulmak için,

\[
x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1
\]

olduğundan bölünen polinomda \( x^2 \) yerine \(-1\) yazılırsa,

\[
-1 + x + K^2(x) = -1 + x + (2x + 1)^2
\]

\[
= 4x^2 + 5x \quad \text{olur.}
\]

\( x^2 \) yerine \(-1\) yazılırsa,

\[
4 \cdot (-1) + 5x = 5x – 4
\]

kalanı bulunur.