Polinomun Türevi
Polinom türevi, türev kavramının temel uygulamalarından biridir ve matematikte önemli bir yere sahiptir. Polinom fonksiyonlarının türevleri, her terimin ayrı ayrı türev alınarak hesaplanır.
Bu konu, türev başlığı altında da ayrıca ayrıntılı olarak ele alınacaktır.
\( P(x) = ax^n \) bir terimli polinomun, ardışık türevlerini hesaplayalım.
\[P(x) = ax^n \]
\[ P'(x) = a \cdot n x^{n-1} \quad (\text{P'(x), P(x) in birinci türevidir.}) \]
\[ P^{”}(x) = a \cdot n \cdot (n – 1) x^{n-2} \quad (P^{”}(x) \text{, P(x) in ikinci türevidir.}) \]
\[ P^{”’}(x) = a \cdot n \cdot (n – 1) \cdot (n – 2)x^{n-3}
\quad ( P^{”’}(x),\text{ P(x) in üçüncü türevidir.})\]
\[ \vdots\]
\[P^{(m)}(x) = a \cdot n \cdot (n – 1) \cdot (n – 2) \dots (n – m + 1) x^{n-m}
\quad (\text{P}^{(m)}(x), P(x) \text{ in m inci türevidir.) }\]
\[ P(x) = a_0 \;\; \text{sabit polinomunun türevi } P'(x) = 0 \;\; \text{dır.} \]
Terim sayısı birden fazla olan P(x) polinomunun türevini hesaplamak için her terimin ayrı ayrı türevi alınır.
Örnek:
\[ P(x) = 2x^3 + 5x^2 – x + 2 \text{ ise,} \]
\[ P'(x) = 2 \cdot 3x^{3-1} + 5 \cdot 2x^{2-1} – 1x^{1-1} + 0 = 6x^2 + 10x – 1 \]
\[ P^{”}(x) = 6 \cdot 2x^{2-1} + 10 \cdot 1x^{1-1} – 0 = 12x + 10 \]
\[ P^{”’}(x) = 12 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 12 \]
4. Bir \( P(x) \) polinomu \( (ax + b)^2 \) ile tam bölünüyorsa,
\( P'(x) \) de \( ax + b \) ile tam bölünür. Bu durumda,
\[
P\left(- \frac{b}{a} \right) = 0 \quad \text{ ve } \quad P’\left(- \frac{b}{a} \right) = 0
\]
Aynı şekilde \( P(x) \) polinomu \( (ax + b)^3 \) ile tam bölünüyorsa, \( P'(x) \) ve \( P^{”}(x) \) de \( ax + b \) ile tam bölünür. Bu durumda,
\[
P\left(- \frac{b}{a} \right) = 0, \quad P’\left( -\frac{b}{a} \right) = 0, \quad \text{ve} \quad P^{”}\left( -\frac{b}{a} \right) = 0
\]
Şimdi de genelleştirelim. \( P(x) \) polinomu \( (ax + b)^n \) ile tam bölünüyorsa, \(P'(x) \) ,\( P^{”}(x) \) , \( P^{”’}(x)\) , \( \dots, P^{(n-1)}(x) \) de \( ax + b \) ile tam bölünür. Bu durumda,
\[
P\left(- \frac{b}{a} \right) = 0,
\]
\[
P’\left( -\frac{b}{a} \right) = 0,
\]
\[
P^{”}\left(- \frac{b}{a} \right) = 0,
\]
\[
\vdots
\]
\[
P^{(n-1)}\left(- \frac{b}{a} \right) = 0
\]
Örnek:
\[
P(x) = 8x^3 + 4ax^2 – 2bx + 1
\]
polinomu \( (2x – 1)^2 \) ile tam bölünüyorsa, \( a \) yı bulalım.
\[
P\left( \frac{1}{2} \right) = 8 \cdot \frac{1}{2}^3 + 4a \cdot \frac{1}{2}^2 – 2b \cdot \frac{1}{2} + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow a – b = -2
\]
\[
P'(x) = 24x^2 + 8ax – 2b
\]
\[ P’ \left( \frac{1}{2} \right) = 24 \cdot \frac{1}{2^2} + 8a \cdot \frac{1}{2} – 2b = 0 \]
\[ \Rightarrow 2a – b = -3 \]
elde edilen denklemler ortak çözülürse,
\[ a = -1 \]
olarak bulunur.
Örnek:
\( P(x) = x^5 – ax^3 + bx^2 + x + c \) polinomu \( (x – 1)^3 \) ile tam bölünüyorsa \( c \) yi bulalım.
\[ P(1) = 1 – a + b + 1 + c = 0 \Rightarrow -a + b + c = -2\]
\[ P'(x) = 5x^4 – 3ax^2 + 2bx + 1 \]
\[ P'(1) = 5 – 3a + 2b + 1 = 0 \Rightarrow -3a + 2b = -6 \]
\[ P^{”}(x) = 20x^3 – 6ax + 2b \]
\[ P^{”}(1) = 20 – 6a + 2b = 0 \Rightarrow -3a + b = -10 \]
elde edilen denklemler ortak çözülürse,
\[ c = -\frac{4}{3} \]
olarak bulunur.
Örnek:
\( P(x) = x^5 + ax^3 + 2x^2 – x + b \) polinomunun \( (x – 1)^2 \) ile bölünmesinden elde edilen kalan \( x + 5 \) olduğuna göre, \( a \) ve \( b \) yi bulalım.
\( P(x) \) polinomunun \( (x – 1)^2 \) ile bölünmesinden kalan \( x + 5 \) olduğundan,
\[ R(x) = P(x) – (x + 5) = x^5 + ax^3 + 2x^2 – 2x + b – 5 \]
polinomu \( (x – 1)^2 \) ile kalansız bölünür. O halde,
\[ R(1) = 1^5 + a \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 – 2 \cdot 1 + b – 5 = 0 \Rightarrow a + b = 4 \]
\[ R'(x) = 5x^4 + 3ax^2 + 4x – 2 \]
\[ R'(1) = 5 \cdot 1^4 + 3a \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 – 2 = 0 \Rightarrow a = -\frac{7}{3} \]
ve
\[ a + b = 4 \]
te yerine yazılırsa,
\[ b = \frac{19}{3} \]
olarak bulunur.