Basit Kesirlere Ayırma
\( a, b, c, A, B, C \in \mathbb{R}, \quad m, n \in \mathbb{Z}^+ \) ve \( ax^2 + bx + c \) asal bir polinom ise,
\[
\frac{A}{(ax + b)^m} \quad \text{ve} \quad \frac{Bx + C}{(ax^2 + bx + c)^n}
\]
şeklindeki rasyonel ifadelere basit kesir denir.
Örnek:
\( \bullet \quad \) ifadeleri basit kesirdir.
\[ \frac{3}{(2x + 1)^4} , \quad \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} , \quad \frac{1}{x^2 + 1} \]
\( \bullet \quad \) ifadeleri basit kesir değildir.
\[ \frac{1}{x^2 – 4} , \quad \frac{2x}{(x – 1)(x – 3)} , \quad \frac{x^2}{x^2 + x + 1} \]
Rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı şeklinde yazmak için aşağıdaki yol izlenir
1) Basit kesirlere ayrılacak rasyonel ifadenin paydası asal çarpanlarına ayrılır. Bu çarpanlar basit kesirlerin paydalarını meydana getirir.
2) Basit kesirlerin payındaki polinomun derecesi, paydasındaki polinomun derecesinden bir küçük olacak şekilde, payı seçilir.
3) Basit kesirlerin paydaları eşitlenip polinomların eşitliği kullanılarak, basit kesirlerin payındaki polinomların katsayıları bulunur.
Örnek:
\[
\frac{x + 2}{x^2 – 5x + 6}
\]
kesrini basit kesirlere ayıralım.
\[
\frac{x + 2}{(x – 2)(x – 3)} = \frac{A}{x – 2} + \frac{B}{x – 3}
\]
\[
= \frac{A (x – 3) + B (x – 2)}{(x – 2)(x – 3)}
\]
Burada eşitliğin iki yanındaki kesirlerin paydaları birbirinin aynısı olduğundan payları da eşit olmalıdır. O halde,
\[
x + 2 = (A + B)\cdot x \;- \;3A \;- \; 2B
\]
\[
A + B = 1 \quad \text{ve} \quad -3A – 2B = 2
\]
ise \( A = -4 \), \( B = 5 \) olarak bulunur.
\[
\frac{x + 2}{x^2 – 5x + 6} = \frac{-4}{x – 2} + \frac{5}{x – 3}
\]
olur.
Uyarı:
Basit kesirlere ayrılmak istenen ifadenin paydasının kökleri reel ise polinomların eşitliği kullanılmadan katsayılar bulunabilir.
Örnek:
\[
\frac{x + 2}{x^3 – 3x^2 + 2x}
\]
kesrini basit kesirlere ayıralım.
\[
\frac{x + 2}{x(x – 1)(x – 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x – 1} + \frac{C}{x – 2}
\]
\[
\frac{x + 2}{x(x – 1)(x – 2)} = \frac{A(x – 1)(x – 2) + Bx(x – 2) + Cx(x – 1)}{x(x – 1)(x – 2)}
\]
\[
\Rightarrow x + 2 = A(x – 1)(x – 2) + Bx(x – 2) + Cx(x – 1)
\]
Paydanın kökleri olan \( 0, 1, 2 \) yukarıdaki eşitlikte yazılırsa,
\( x = 0 \) için,
\[
0 + 2 = A \cdot (0-1) \cdot (0-2) + 0 + 0 \Rightarrow A = 1
\]
\( x = 1 \) için,
\[
1 + 2 = 0 + B \cdot 1 \cdot (1 – 2) + 0 \Rightarrow B = -3
\]
\( x = 2 \) için,
\[
2 + 2 = 0 + 0 + C \cdot 2 \cdot (2 – 1) \Rightarrow C = 2
\]
\[
\frac{x + 2}{x^3 – 3x^2 + 2x} = \frac{1}{x} – \frac{3}{x – 1} + \frac{2}{x – 2}
\]
olur.
Örnek:
\[
\frac{1}{x^3 – x^2 + x – 1}
\]
kesrini basit kesirlere ayıralım.
\[
\frac{1}{(x – 1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x – 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}
\]
\[
\frac{1}{(x – 1)(x^2 + 1)} = \frac{A (x^2 + 1) + (Bx + C) (x – 1)}{(x – 1)(x^2 + 1)}
\]
\[
\Rightarrow 1 = A (x^2 + 1) + (Bx + C) (x – 1)
\]
Paydanın kökü olan \( x = 1 \) yukarıdaki eşitlikte yazılırsa,
\( x = 1 \) için,
\[
1 = A(1^2 + 1) + 0 \Rightarrow A = \frac{1}{2}
\]
\( x = 0 \) seçilirse,
\[
1 = A(0^2 + 1) + (B \cdot 0 + C) \cdot (0 – 1) \Rightarrow C = -\frac{1}{2}
\]
\( x = 2 \) seçilirse,
\[
1 = \frac{1}{2} (2^2 + 1) + (B \cdot 2 – \frac{1}{2}) \cdot (2 – 1) \Rightarrow B = -\frac{1}{2}
\]
\[
\frac{1}{x^3 – x^2 + x – 1} = \frac{\frac{1}{2} }{x – 1} + \frac{-\frac{1}{2}x\; -\; \frac{1}{2}}{x^2 + 1}
\]
\[
= \frac{1}{2(x – 1)} \;-\; \frac{x + 1}{2(x^2 + 1)}
\]
olur.
SORU 18
\[
\frac{x^3}{x^2 \;- \; x \;-\; 2} = A x + B + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x \;-\; 2}
\]
eşitliğinde \( C + D \) toplamı kaçtır?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[
\begin{array}{r|l}
x^3 \phantom{aaaaaaaaa}& x^2 – x-2 \\
x^3\; – \;x^2 \;- \; 2x & \rule{35mm}{0.35mm} \\
– \rule{45mm}{0.35mm} & x+1 \\
x^2 + 2x \phantom{aa}&\\
x^2-x-2\\
– \rule{45mm}{0.35mm} \\
3x+2
\end{array}
\]
olur, buradan
\[
\frac{x^3}{x^2 – x – 2} = x + 1 + \frac{3x + 2}{x^2 – x – 2}
\]
\[
= x + 1 + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x – 2}
\]
elde edilir.
\[
\frac{3x + 2}{x^2 – x – 2} = \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x – 2}
\]
\[
\Rightarrow C = \frac{1}{3} \quad \text{ve} \quad D = \frac{8}{3}
\]
bulunur.
\[
C + D = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3
\]
tür.
\(\textbf{Cevab: C} \)