Ortak Çarpan Parantezine Alma
Bir ifadeyi çarpanlara ayırırken her terimde ortak olan çarpan varsa, bu ifade ortak çarpan parantezine alınır.
Her terimde ortak çarpan olmadığı bazı durumlarda, terimler uygun şekilde gruplandırılarak, bu gruplar kendi arasında ortak çarpan parantezine alınabilir.
Örnekler:
\( \bullet \quad 6xy + 3xz \;- \;27xt = 3x (2y + z \;-\; 9t) \)
\(\bullet \quad -3x^3 – 6x^2 + 81x = -3x (x^2 + 2x – 27) \)
\(\bullet \quad x^3 y^2 – x^2 y + xy = xy (x^2 y – x + 1) \)
\(\bullet \quad \sqrt{a} + a + a\sqrt{a} = \sqrt{a} (1 + \sqrt{a} + a) \)
\(\bullet \quad 2^x – 2^{2x} + 2^{3x} = 2^x (1 – 2^x + 2^{2x}) \)
\(\bullet \quad 3^{66} + 3^{99} = 3^{66} (1 + 3^{33}) \)
\(\bullet \quad x^{-96} + x^{-95} = x^{-96} (1 + x) \)
\(\bullet \quad ax + bx – ay – by = x (a + b) – y (a + b) \)
\[
= (a + b) (x – y)
\]
\(\bullet \quad 21xy + 7x + 9y + 3 = 7x (3y + 1) + 3 (3y + 1) \)
\[
= (3y + 1) (7x + 3)
\]
\(\bullet \quad a^3 + 2a^2 + a + 2 = a^2 (a + 2) + (a + 2) \)
\[
= (a + 2) (a^2 + 1)
\]
\(\bullet \quad (a – b)^2 (a – c) + (b – a) (a – c)^2 \)
\[
= (a – b)^2 (a – c) – (a – b) (a – c)^2
\]
\[
= (a – b) (a – c) (a – b – (a – c))
\]
\[
= (a – b) (a – c) (c – b)
\]
\(\bullet \quad -\sqrt{xy} + \sqrt{y} + x – \sqrt{x} \)
\[
= -\sqrt{y} (\sqrt{x} – 1) + \sqrt{x} (\sqrt{x} – 1)
\]
\[
= (\sqrt{x} – 1) (\sqrt{x} – \sqrt{y})
\]
dir.
SORU 1
Aşağıdakilerden hangisi
\[
xy (x + 3)^2 – x^2 y (x + 3) + xy (x + 3)
\]
ifadesinin çarpanlarından biri değildir?
\[
\text{A) } x \quad
\text{B) } y \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } x+3
\]
Çözüm:
\[
xy (x + 3)^2 – x^2 y (x + 3) + xy (x + 3)
\]
\[
= xy (x + 3) (x + 3 – x + 1)
\]
\[
= 4xy (x + 3)
\]
tür.
\(\textbf{Cevab: C} \)
SORU 2
\[
ab + a^2 b + a^3 b + a^4 b
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } a^2b \quad
\text{B) } ab^2\quad
\text{C) } a+b \quad
\text{D) } 1+a^2 \quad
\text{E) } 1+a+a^2
\]
Çözüm:
\[
ab + a^2 b + a^3 b + a^4 b = ab (1 + a + a^2 + a^3)
\]
\[
= ab ((1 + a) + a^2 (1 + a))
\]
\[
= ab (1 + a) (1 + a^2)
\]
dir.
\(\textbf{Cevab: D} \)
SORU 3
\[
3xy – 20ab – 15xb + 4ya
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } x+a \quad
\text{B) } y-5b\quad
\text{C) } y+a \quad
\text{D) } y-b \quad
\text{E) } y+b
\]
Çözüm:
\[
3xy \;- \; 20ab\; -\; 15xb + 4ya
\]
\[
= 3xy \;- \;15xb + 4ya \;- \;20ab
\]
\[
= 3x (y \;-\; 5b) + 4a (y \;- \;5b)
\]
\[
= (y \;- \;5b) (3x + 4a)
\]
dır.
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 4
\[
2^x + 5^x + 6^x + (15)^x
\]
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } 1+ 3^x \quad
\text{B) } 2^x + 3^x \quad
\text{C) } 3^x+5^x \quad
\text{D) } 1+ 5^x \quad
\text{E) } 1+2^x
\]
Çözüm:
\[
2^x + 5^x + 6^x + (15)^x = 2^x + 6^x + 5^x + (15)^x
\]
\[
= 2^x + 2^x \cdot 3^x + 5^x + 5^x \cdot 3^x
\]
\[
= 2^x (1 + 3^x) + 5^x (1 + 3^x)
\]
\[
= (1 + 3^x) (2^x + 5^x)
\]
dir.
\(\textbf{Cevab: A} \)
Soru 5
\( a + b = 3 \) ve \( b + c = 4 \) ise,
\[
a^2 – bc + ab – ac
\]
ifadesinin değeri nedir?
\[
\text{A) } 3 \quad
\text{B) } -3 \quad
\text{C) } 2 \quad
\text{D) } -2 \quad
\text{E) } 0
\]
Çözüm:
\[
a^2 – bc + ab – ac = a^2 – ac + ab – bc
\]
\[
= a (a – c) + b (a – c)
\]
\[
= (a – c) (a + b)
\]
Verilen eşitlikler taraf tarafa çıkarılarak \( a – c \) elde edilir.
\[
\begin{array}{c}
a + b = 3 \\
– (b + c = 4)
\end{array}
\]
\[
a – c = -1
\]
Buna göre
\[
(a – c)(a + b) = (-1) \cdot 3 = -3
\]
tür.
\(\textbf{Cevab: B} \)