İkinci Dereceden Denklemler

 

İkinci Dereceden Denklemler

 

\( a, b, c \in \mathbb{R} \) ve \( a \neq 0 \) olmak üzere,

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

şeklindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Bu eşitlikleri sağlayan (gerçekleyen) \( x \) reel sayılarına denklemin kökleri, köklerin meydana getirdiği kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.

\( a, b, c \in \mathbb{R} \) sayılarına ikinci dereceden denklemin katsayıları denir.

 

\( ax^2 + bx + c = 0 \) Denkleminin Özel Durumları:

 

1)  \( b = 0 \) ve \( c = 0 \) ise,

\[
ax^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0
\]

\[
\Rightarrow x \cdot x = 0
\]

\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{veya} \quad x = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = 0
\]

Buna göre denklemin birbirine eşit iki (iki kat) kökü vardır.
Çözüm kümesi:
\[
Ç = \{ 0 \}
\]

 

2)  \( c = 0 \) ve \( b \neq 0 \) ise,

\[
ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x (ax + b) = 0
\]

\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{veya} \quad ax + b = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = 0 \quad \text{veya} \quad x_2 = -\frac{b}{a}
\]

Çözüm kümesi:
\[
Ç = \{ 0, -\frac{b}{a} \}
\]

 

Örnek:

\[
5x^2 – 3x = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
5x^2 – 3x = 0 \Rightarrow x (5x – 3) = 0
\]

\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{veya} \quad 5x – 3 = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = 0 \quad \text{veya} \quad x_2 = \frac{3}{5}
\]

Çözüm kümesi:
\[
Ç = \{ 0, \frac{3}{5} \}
\]

olarak bulunur.

 

3) \( b = 0 \) ve \( c \neq 0 \) ise,

 

\[
ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a}
\]

\( \bullet \quad  \)  \( a \) ile \( c \) aynı işaretli ise \( -\frac{c}{a} < 0 \) olacağından denklemin reel kökleri yoktur.
Bu durumda reel sayılardaki çözüm kümesi:

\[
Ç = Ø
\]

\( \bullet \quad  \)  \( a \) ile \( c \) ters işaretli ise \( -\frac{c}{a} > 0 \) olacağından denklemin reel kökleri,

\[
x_1 = \sqrt{-\frac{c}{a}}, \quad x_2 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}
\]

olup bu kökler mutlak değerce birbirine eşit fakat ters işaretlidirler. Burada kökler toplamı \( x_1 + x_2 = 0 \) ve çözüm kümesi:

\[
Ç = \left\{ \sqrt{-\frac{c}{a}}, -\sqrt{-\frac{c}{a}} \right\}
\]

 

Örnek:

\[
x^2 + 3 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = -3
\]

karekökü alınabilen reel sayı olmadığından:

\[
Ç = \emptyset
\]

 

Örnek:

\[
3x^2 – 27 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
3x^2 – 27 = 0 \Rightarrow x^2 = 9
\]

\[
\Rightarrow x_1 = -3 \quad \text{veya} \quad x_2 = 3
\]

\[
\Rightarrow Ç = \{-3, 3\}
\]

 

\( ax^2 + bx + c = 0 \) Şeklindeki Denklemlerin Çözümü:

 

1)  \( ax^2 + bx + c \) üç terimlisi kolaylıkla çarpanlara ayrılabiliyor ve çarpanlara ayrılmış şekli:

 

\[
(px + m)(qx + n)
\]

ise,

\[
ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow (px + m)(qx + n) = 0
\]

\[
\Rightarrow px + m = 0 \quad \text{veya} \quad qx + n = 0
\]

\[ x_1 = -\frac{m}{p}  \quad  \text{ve } \quad x_2= – \frac{n}{q}  \]

\[ Ç= \{   -\frac{m}{p}, \; -\frac{n}{q}    \quad  \text{olur. }      \}\]

 

Örnek:

\[
x^2 – 998x – 2000 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
x^2 – 998x – 2000 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x – 1000) = 0
\]

\[
\Rightarrow x + 2 = 0 \quad \text{veya} \quad x – 1000 = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = -2 \quad \text{veya} \quad x_2 = 1000
\]

\[
\Rightarrow Ç = \{-2, 1000\}
\]

 

Örnek:

\[
5x^2 + 99x – 20 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
5x^2 + 99x – 20 = 0 \Rightarrow (5x – 1)(x + 20) = 0
\]

\[
\Rightarrow 5x – 1 = 0 \quad \text{veya} \quad x + 20 = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = \frac{1}{5} \quad \text{veya} \quad x_2 = -20
\]

\[
\Rightarrow Ç = \left\{ -20, \frac{1}{5} \right\}
\]

 

Örnek:

\( a \) ve \( b \) reel sayılar olmak üzere,

\[
ax^2 – (a^2b + b)x + ab^2 = 0
\]

ikinci dereceden denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
ax^2 – (a^2b + b)x + ab^2 = 0
\]

\[
\Rightarrow (ax – b)(x – ab) = 0
\]

\[
\Rightarrow ax – b = 0 \quad \text{veya} \quad x – ab = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = \frac{b}{a} \quad \text{veya} \quad x_2 = ab
\]

\[
\Rightarrow Ç = \left\{ \frac{b}{a}, \; ab \right\}
\]

 

Örnek:

\[
3x^2 + \sqrt{3} x -\; 2 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
3x^2 + \sqrt{3} x – 2 = 0 \Rightarrow (\sqrt{3} x – \;1)(\sqrt{3} x + 2) = 0
\]

\[
\Rightarrow \sqrt{3} x -\; 1 = 0 \quad \text{veya} \quad \sqrt{3} x + 2 = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{veya} \quad x_2 = \frac{-2}{\sqrt{3}}
\]

\[
\Rightarrow Ç = \left\{ \frac{-2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right\}
\]

 

2.  \( ax^2 + bx + c \) üç terimlisi kolaylıkla çarpanlarına ayrılamıyorsa \( b^2 – 4ac \) sayısına bakılır.

Bu sayıya denklemin diskriminantı denir ve \( \Delta \) ile gösterilir.

\( \bullet \quad  \Delta = b^2 – 4ac > 0 \) ise \( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Bunlar,

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}
\]

 

Örnek:

\[
2x^2 + 3x – 1 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]

\[
= 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 17 > 0
\]

olduğundan denklemin kökleri,

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}
\]

\[
x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 – \sqrt{17}}{4}
\]

olur. Çözüm kümesi:

\[
Ç = \left\{ \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{-3 – \sqrt{17}}{4} \right\}
\]

 

Örnek:

\[
x^2 – \sqrt{5} x + 1 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]

\[
= (\sqrt{5})^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 > 0
\]

olduğundan denklemin kökleri,

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{- (\sqrt{5}) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
\]

\[
x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-\sqrt{5}) – \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{5} – 1}{2}
\]

olur. Çözüm kümesi,

\[
Ç = \left\{ \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, \frac{\sqrt{5} – 1}{2} \right\}
\]

 

Uyarı:

\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin \( b \) çift sayı ise işlemlerde kolaylık sağlaması için,

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]

köklerinin pay ve paydası \( 2 \) ile bölünürse,

\[
b’ = \frac{b}{2}
\]

olmak üzere,

\[
\Delta’ = (b’)^2 – ac
\]

alınır. Bu durumda kökler,

\[
x_{1,2} = \frac{-b’ \pm \sqrt{\Delta’}}{a}
\]

olarak elde edilir.

 

Örnek:

\[
x^2 + 32x + 56 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
b’ = \frac{b}{2} = \frac{32}{2} = 16
\]

\[
\Delta’ = (b’)^2 – ac
\]

\[
= (16)^2 – 1 \cdot 56 = 200 > 0
\]

olduğundan denklemin kökleri,

\[
x_1 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-16 + \sqrt{200}}{1} = -16 + 10\sqrt{2}
\]

\[
x_2 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-16 – \sqrt{200}}{1} = -16 – 10\sqrt{2}
\]

olur. Çözüm kümesi,

\[
Ç = \left\{ -16 + 10\sqrt{2}, -16 – 10\sqrt{2} \right\}
\]

 

Uyarı:

\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin \( a \) ile \( c \) ters işaretli ise \( b \) den bağımsız olarak,

\[
\Delta = b^2 – 4ac > 0
\]

olduğu görülür.

 

Örnekler:

\( \bullet \quad   -3x^2 + x + 20 = 0 \)

\( \bullet \quad x^2 – 5x – 1000 = 0 \)

\( \bullet -x^2 + 100x + 998 = 0 \)

denklemlerinde \( \Delta > 0 \) olduğunu, \( b^2 – 4ac \) sayısını bulmadan söyleyebiliriz.

 

b) \( \Delta = b^2 – 4ac = 0 \) ise

\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin birbirine eşit iki reel kökü (çakışık iki kökü veya iki kat kökü) vardır.
Bunlar,

\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}
\]

 

Örnek:

\[
100x^2 – 20x + 1 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]

\[
= (-20)^2 – 4 \cdot 100 \cdot 1 = 0
\]

olduğundan denklemin kökleri,

\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-20)}{2 \cdot 100} = \frac{1}{10}
\]

olur. Çözüm kümesi:

\[
Ç = \left\{ \frac{1}{10} \right\}
\]

 

Örnek:

\[
3x^2 -\; 4\sqrt{3}x + 4 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]

\[
= (-4\sqrt{3})^2 – \; 4 \cdot 3 \cdot 4 = 0
\]

olduğundan denklemin kökleri,

\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-\;(-4\sqrt{3})}{2 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}
\]

olur. Çözüm kümesi:

\[
Ç = \left\{ \frac{2\sqrt{3}}{3} \right\}
\]

 

Örnek:

\[
4mx^2 -\;  (3m + 1)x + 1 = 0
\]

denkleminin birbirine eşit reel iki kökünün olması için \( m \) nin alacağı değerleri bulalım.

Denklemin birbirine eşit reel iki kökünün olması için,

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0
\]

olmalıdır.

\[
b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow (-(3m+1))^2 – 4 \cdot 4m \cdot 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow 9m^2 – 10m + 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow (9m – 1)(m – 1) = 0
\]

\[
\Rightarrow m_1 = \frac{1}{9} \quad \text{veya} \quad m_2 = 1
\]

 

SORU 1

\[
mx^2 + 2mx – x + m + 1 = 0
\]

denkleminin birbirine eşit iki reel kökü olduğuna göre, bu kökler kaçtır?

 

\[
\text{A)} 2  \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]

Çözüm:

Verilen denklemin birbirine eşit kökü olduğuna göre,

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0
\]

olmalıdır. Verilen denklemi düzenleyelim.

\[
mx^2 + 2mx – x + m + 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow mx^2 + (2m – 1)x + m + 1 = 0
\]

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow (2m – 1)^2 – 4m(m + 1) = 0
\]

\[
\Rightarrow m = \frac{1}{8}
\]

\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} \Rightarrow x_1 = x_2 = \frac{- (2m – 1)}{2m}
\]

\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = \frac{2 \cdot \frac{1}{8} – 1}{2 \cdot \frac{1}{8}}
\]

\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = 3
\]

\(\textbf{Cevab: B} \)

 

SORU 2

\[
3x^2 + (5m + 1)x + 2m^2 + m = 0
\]

denkleminin iki kat kökü olması için \( m \) kaç olmalıdır?

\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2\quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]

Çözüm:

Verilen denklemin iki kat kökü olması için,

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 0 \Rightarrow (5m + 1)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (2m^2 + m) = 0
\]

\[
\Rightarrow m^2 – 2m + 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow m_1 = m_2 = 1
\]

\(\textbf{Cevab: A} \)

 

c) \( \Delta = b^2 – 4ac < 0 \) ise

\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin reel kökü yoktur. Bu denklemin reel sayılardaki çözüm kümesi:

\[
Ç = Ø
\]

 

Örnek:

\[
5x^2 + 7x + 3 = 0
\]

denkleminin çözüm kümesini bulalım.

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 7^2 – 4 \cdot 5 \cdot 3 = -11 < 0
\]

olduğundan reel sayılarda çözüm kümesi:

\[
Ç = Ø
\]

 

SORU 3

\[
mx^2 + 2\sqrt{2} x -\; 1 = 0
\]

denkleminin reel kökünün olmaması için \( m \) hangi aralığın elemanı olmalıdır?

\[
\text{A)} (3, 4) \quad
\text{B) } (-2, 0)\quad
\text{C) } (-1,1 ) \quad
\text{D) } (-\infty, -2) \quad
\text{E) } (1, \infty)
\]

 

Çözüm:

Verilen denklemin reel kökünün olmaması için,

\[
\Delta = b^2 – 4ac < 0
\]

\[
\Rightarrow (2\sqrt{2})^2 – 4 \cdot m \cdot (-1) < 0
\]

\[
\Rightarrow 8 + 4m < 0
\]

\[
\Rightarrow m < -2
\]

\(\textbf{Cevab: D} \)

 

Uyarı:

\( n \) inci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin katsayılar toplamı \( 0 \) (sıfır) ise, bu denklemin köklerinden birisi \( 1 \) dir.
O halde, ikinci dereceden \( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin katsayılar toplamı sıfır (\( a + b + c = 0 \)) ise,
bu denklemin köklerinden birisi \( x_1 = 1 \), diğeri ise \( x_2 = \frac{c}{a} \) dır.

Buna göre, bu denklemin çözüm kümesi:

\[
Ç = \left\{ 1, \frac{c}{a} \right\}
\]

 

Örnek:

\[
x^2 – (5m + 4)x + m^2 – m – 1 = 0
\]

denkleminin köklerinden biri \( x_1 = -1 \) ise diğer kökü bulalım.

\(-1\), denklemin bir kökü olduğuna göre, denklemi sağlar. O halde,

\[
x^2 – (5m + 4)x + m^2 – m – 1 = 0
\]

\[
(-1)^2 + (5m + 4)(-1) + m^2 – m – 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow 1 + 5m + 4 + m^2 – m – 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow m^2 + 4m + 4 = 0
\]

\[
\Rightarrow m = -2
\]

olur.

Bu değer denklemde yerine yazılırsa,

\[
x^2 – (5 \cdot (-2) + 4)x + (-2)^2 – (-2) – 1 = 0
\]

\[
\Rightarrow x^2 + 6x + 5 = 0
\]

\[
\Rightarrow (x + 1)(x + 5) = 0
\]

\[
\Rightarrow x_1 = -1, \quad x_2 = -5
\]

 

Örnek:

\( m \) bir reel sayı olmak üzere,

\[
(3m + 2)x^2 – (m^2 + m)x + m^2 – 2m – 2 = 0
\]

denkleminin köklerinden biri \( x_1 = 1 \) dir. Çünkü bu denklemin katsayılar toplamı,

\[
3m + 2 + [-(m^2 + m)] + m^2 – 2m – 2 = 0
\]

dır.