İkinci Dereceden Bir Denkleme Dönüştürülebilen Denklemler
Bazı denklemleri, üzerinde işlemler yaparak ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem haline getirip çözüm yaparız.
1) Polinomların Çarpımı Veya Bölümü Şeklindeki Denklemler:
\( n \) inci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin \( n \) tane kökü (reel veya kompleks kökü) vardır.
Örnek:
\[
x^4 – 3x^3 + 2x^2 – \; 6x = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
x^4 – \; 3x^3 + 2x^2 -\; 6x = 0 \Rightarrow x(x^3 – 3x^2 + 2x -\; 6) = 0
\]
\[
\Rightarrow x(x^2 (x – 3) + 2(x – 3)) = 0
\]
\[
\Rightarrow x(x – 3)(x^2 + 2) = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{veya} \quad x – 3 = 0 \quad (x^2 + 2 \neq 0)
\]
\[
\Rightarrow Ç = \{ 0, 3 \}
\]
Örnek:
\[
(2x – 4)(x^2 – 2x – 2) = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
(2x – 4)(x^2 – 2x – 2) = 0
\]
\[
\Rightarrow 2x – 4 = 0 \quad \text{veya} \quad x^2 – 2x – 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 2 \quad \text{veya} \quad x_2 = 1 + \sqrt{3}
\]
\[
\text{veya} \quad x_3 = 1 – \sqrt{3}
\]
\[
\Rightarrow Ç = \{ 1 – \sqrt{3}, 2, 1 + \sqrt{3} \}
\]
Örnek:
\[
\frac{x^3 – 2x^2 – x + 2}{x^2 – x – 2} = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
\frac{x^3 – 2x^2 – x + 2}{x^2 – x – 2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 (x – 2) – (x – 2) }{(x-2)(x+1)} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{(x – 2)(x^2 – 1)}{(x – 2)(x + 1)} = 0
\]
Buradan,
\[
(x – 2)(x^2 – 1) = 0 \quad \text{ve} \quad (x – 2)(x + 1) \neq 0
\]
\[
\Rightarrow x = 2 \quad \text{veya} \quad x = \pm 1 \quad \text{ve} \quad (x \neq 2 \quad \text{ve} \quad x \neq -1)
\]
\[
\Rightarrow Ç = \{ 1 \}
\]
SORU 4
\( m \) sıfırdan farklı bir reel sayıdır.
\[
\frac{mx^3 + (2 + m)x^2 – x – 3}{x – 1} = 0
\]
denkleminin reel iki kökü olduğuna göre, bu köklerin toplamı kaçtır?
\[
\text{A) } 0 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } -2 \quad
\text{D) } -3 \quad
\text{E) } -4
\]
Çözüm:
Verilen denklemin payı üçüncü dereceden olduğundan payın üç tane kökü vardır. Denklemin iki kökünün olması için payın köklerinden biri paydanın da kökü olmalıdır.
Bu durumda,
\[
x – \; 1 = 0 \Rightarrow x = 1
\]
değeri paydaki ifadede yerine yazılırsa,
\[
m + 2 + m – \; 1 – 3 = 0 \Rightarrow m = 1
\]
bulunur. Buna göre denklem düzenlenirse,
\[
\frac{mx^3 + (2 + m)x^2 -\; x – \;3}{x – 1} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{x^3 + 3x^2 -\; x – \;3}{x – \; 1} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{(x + 3)(x -\; 1)(x + 1)}{x -\; 1} = 0
\]
elde edilir. O halde,
\[
(x + 3)(x – 1)(x + 1) = 0 \quad \text{ve} \quad x – \;1 \neq 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = -3 \quad \text{veya} \quad x_2 = -1
\]
\[
\Rightarrow x_1 + x_2 = -4
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 5
\[ \frac{x – \frac{9}{x} }{x^2-x+1 – \frac{1}{x} } + \frac{1}{x-1} = 0 \]
denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
\[
\text{A) } -1 \quad
\text{B) } 0 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]
Çözüm:
\[
\begin{aligned}
\frac{x – \frac{9}{x} }{x^2-x+1 – \frac{1}{x} } + \frac{1}{x-1} = 0 \\
\Rightarrow \frac{\frac{x^2-9}{x} }{\frac{x^3-x^2+x-1}{x} } + \frac{1}{x-1} =0 \\
\end{aligned}
\]
\[ \Rightarrow \frac{x^2-9}{(x-1)(x^2+1) } + \frac{1}{x-1} =0 \]
\[ \Rightarrow \frac{2(x^2-4)}{(x-1)(x^2+1)} =0 \]
Buradan,
\[ x^2-4=0 \quad \text{ve } \quad (x-1)(x^2+1) \neq 0 \]
\[ x_1= -2 \quad \text{veya } \quad x_2= 2 \Rightarrow x_1+x_2 =0 \]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 6
\[
\frac{1}{x – 2} + \frac{4 – 8x}{x^3 – 8} = \frac{1}{x^2 + 2x + 4}
\]
denkleminin reel sayılarda çözüm kümesi nedir?
\[
\text{A) } \{3 \} \quad
\text{B) } \{1, 3\} \quad
\text{C) } \{2\} \quad
\text{D) } \{2, 5 \} \quad
\text{E) } \{5 \}
\]
Çözüm:
\[
\frac{1}{x – 2} + \frac{4 – 8x}{x^3 – 8} = \frac{1}{x^2 + 2x + 4}
\]
\[
\Rightarrow \frac{x^2 + 2x + 4}{(x – 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{4 – 8x}{x^3 – 8}\; – \; \frac{x – 2}{(x – 2)(x^2 + 2x + 4)} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{x^2 – 7x + 10}{x^3 – 8} = 0
\]
\[
\Rightarrow \frac{(x – 2)(x – 5)}{x^3 – 8} = 0
\]
Buradan, \( (x – 2)(x – 5) = 0 \) ve \( x^3 – 8 \neq 0 \) olduğundan,
\[
x = 2 \quad \text{veya} \quad x = 5
\]
Ancak \( x^3 – 8 \neq 0 \) olduğu için,
\[
Ç = \{ 5 \}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 7
\[
\frac{x + 1}{x – 2} \;- \; \frac{1}{x + 3} = \frac{9}{x^2 + x – 6}
\]
denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -3 \quad
\text{C) } -4 \quad
\text{D) } -5 \quad
\text{E) } -6
\]
Çözüm:
\[
\frac{x + 1}{x – 2} \;-\; \frac{1}{x + 3} = \frac{9}{x^2 + x – 6}
\]
\[
\Rightarrow \frac{(x + 1)(x + 3)\; – \;(x – 2)}{(x – 2)(x + 3)} \;- \; \frac{9}{(x – 2)(x + 3)} =0
\]
\[
\Rightarrow \frac{x^2 + 3x – 4}{(x – 2)(x + 3)} = 0
\]
\[\frac{(x – 1)(x + 4)}{(x – 2)(x + 3)} = 0\]
\[
\Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = -4
\]
Buradan
\[(x-1)(x+4) =0 \quad \text{ve } \quad (x-2)(x+3) \neq 0 \]
olduğundan, köklerin çarpımı:
\[
x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-4) = -4
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
2)Yardımcı Bilinmeyen Kullanılarak Çözülebilen Denklemler:
Örnek:
\[ x^6 – 7x^3 – 8 = 0 \]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
x^3 = t \quad \text{dönüşümü yapılırsa,}
\]
\[
t^2 – 7t – 8 = 0 \Rightarrow (t – 8)(t + 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow (x^3 – 8)(x^3 + 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow (x – 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 1)(x^2 – x + 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 2 \quad \text{veya} \quad x_2 = -1 \quad (\text{Burada} \quad \Delta < 0 \quad \text{olduğundan}
\]
\[
x^2 + 2x + 4 \neq 0 \quad \text{ve} \quad x^2 – x + 1 \neq 0 \quad \text{dır.})
\]
Buradan,
\[
\mathbb{Ç} = \{ -1, 2 \} \quad \text{olarak bulunur.}
\]
Örnek:
\[ 2x + \sqrt{x} – \; 6 = 0 \] denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
\sqrt{x} = t \quad \text{dönüşümü yapılırsa,}
\]
\[
2t^2 + t – 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2} \quad \text{veya} \quad t = -2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{x} = \frac{3}{2} \quad \text{veya} \quad \sqrt{x} = -2
\]
\[
\Rightarrow \mathbb{Ç}_1 = \left\{ \frac{9}{4} \right\} \quad \text{veya} \quad \mathbb{Ç}_2 = Ø
\]
Buradan,
\[
\mathbb{Ç} = \mathbb{Ç}_1 \cup \mathbb{Ç}_2 = \left\{ \frac{9}{4} \right\} \quad \text{tür.}
\]
SORU 8
\[ 4^{(x^2)} – 15 \cdot 2^{(x^2)} – 16 = 0 \] denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } 2 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } 4 \quad
\text{D) } 5 \quad
\text{E) } 6
\]
Çözüm:
\[
4^{(x^2)} – 15 \cdot 2^{(x^2)} – 16 = 0
\]
denklemi için,
\[
2^{(x^2)} = t
\]
dönüşümü yapılırsa,
\[
t^2 – 15t – 16 = 0 \Rightarrow t = 16 \quad \text{veya} \quad t = -1
\]
\[
\Rightarrow 2^{(x^2)} = 2^4 \quad \text{veya} \quad 2^{(x^2)} = -1
\]
\[
\Rightarrow x^2 = 4 \quad \text{ve} \quad 2^{(x^2)} > 0 \quad \text{olduğundan,}
\]
\[
x_1 = -2 \quad \text{veya} \quad x_2 = 2 \quad \text{dir.}
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
SORU 9
\[
\sqrt[5]{x^4} + \sqrt[5]{x^2} \;- \; 2 = 0
\]
denkleminin çözüm kümesi nedir?
\[
\text{A) } \{1, 2 \} \quad
\text{B) } \{-1, 1 \} \quad
\text{C) } \{3\} \quad
\text{D) } \{-3\} \quad
\text{E) } \{-2,2 \}
\]
Çözüm:
\[
\sqrt[5]{x^4} + \sqrt[5]{x^2} \; – \; 2 = 0
\]
denkleminde,
\[
\sqrt[5]{x^2} = t
\]
dönüşümü yapılırsa,
\[
t^2 + t \; – \; 2 = 0 \Rightarrow t = 1 \quad \text{veya} \quad t = -2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt[5]{x^2} = 1 \quad \text{veya} \quad \sqrt[5]{x^2} = -2
\]
\[
\Rightarrow x^2 = 1 \quad \text{veya} \quad x^2 = -32
\]
\[
\Rightarrow \mathbb{Ç}_1 = \{-1, 1\}, \quad \mathbb{Ç}_2 = Ø
\]
\[
\Rightarrow \mathbb{Ç} = \mathbb{Ç}_1 \cup \mathbb{Ç}_2 = \{-1, 1\}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 10
\[
\sqrt[3]{x – 7} + \frac{1}{\sqrt[3]{x – 7}} = 2
\]
denklemini sağlayan \(x\) in değeri kaçtır?
\[
\text{A) } 4 \quad
\text{B) } 5 \quad
\text{C) } 6 \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 8
\]
Çözüm:
\[
\sqrt[3]{x – 7} + \frac{1}{\sqrt[3]{x – 7}} = 2
\]
denkleminin çözümünü bulalım.
\[
\sqrt[3]{x – 7} = t
\]
dönüşümü yapılırsa,
\[
t + \frac{1}{t} = 2 \Rightarrow t^2 – 2t + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow t = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{x – 7} = 1
\]
\[
\Rightarrow x = 8
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 11
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} \;- \;3x \;-\; \frac{3}{x} + 4 = 0
\]
denkleminin reel köklerinden biri kaçtır?
\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]
Çözüm:
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} \;- 3x\; – \;\frac{3}{x} + 4 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \;- \;3 \left( x + \frac{1}{x} \right) + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow (x + \frac{1}{x})^2\; -\; 3(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0
\]
Bu denklemde \( x + \frac{1}{x} = t \) dönüşümü yapılırsa,
\[
t^2 – \;3t + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow t = 1 \quad \text{veya} \quad t = 2
\]
\[
\Rightarrow x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 – \;x + 1 = 0
\]
Bu denklemde \( \Delta < 0 \) olduğundan, \( \mathbb{Ç}_1 = Ø \).
\[
x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 – \;2x + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = 1
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
3) Köklü Denklemler:
\[
\sqrt[2n]{f(x)} = g(x)
\]
şeklindeki denklemleri çözmek için verilen eşitliğin iki tarafının \(2n\) inci kuvveti alınarak denklem kökten kurtarılır. Elde edilen yeni denklem çözülerek kökler bulunur.
Kuvvet alma işlemi sırasında yabancı kökler girebileceğinden bulunan köklerin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
Örnek:
\[
\sqrt{2x + 3} – \; 2x = 1
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
\sqrt{2x + 3} -\; 2x = 1 \Rightarrow (\sqrt{2x + 3})^2 = (1 + 2x)^2
\]
\[
\Rightarrow 2x + 3 = 1 + 4x + 4x^2
\]
\[
\Rightarrow 2x^2 + x – \; 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -1
\]
Burada \(-1\) in verilen denklemi sağlamadığı görülür. O halde çözüm kümesi:
\[
\mathbb{Ç} = \left\{ \frac{1}{2} \right\}
\]
SORU 12
\[
2x + \sqrt{4x^2 -\; x\; – \;5} = 7
\]
denklemini sağlayan \( x \) in değeri kaçtır?
\[
\text{A) } 5 \quad
\text{B) } 4 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 1
\]
Çözüm:
\[
2x + \sqrt{4x^2 – \;x – \;5} = 7
\]
\[
\Rightarrow (\sqrt{4x^2 – \;x – \;5})^2 = (7 – \;2x)^2
\]
\[
\Rightarrow 4x^2 \;-\; x – \;5 = 49 -\; 28x + 4x^2
\]
\[
\Rightarrow x = 2
\]
Burada \( x = 2 \) nin verilen denklemi sağladığı görülür.
\(\textbf{Cevab: D} \)
SORU 13
\[
\sqrt{2x + 3}\; – \; \sqrt{x – 2} = 2
\]
denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
\[
\text{A) } 16 \quad
\text{B) } 14 \quad
\text{C) } 12 \quad
\text{D) } 10 \quad
\text{E) } 8
\]
Çözüm:
\[
\sqrt{2x + 3}\; -\; \sqrt{x – 2} = 2
\]
\[
\Rightarrow (\sqrt{2x + 3})^2 = (2 + \sqrt{x \;-\; 2})^2
\]
\[
\Rightarrow 2x + 3 = 4 + x – 2 + 4\sqrt{x\; – \;2}
\]
\[
\Rightarrow (x + 1)^2 = (4\sqrt{x \;- \;2})^2
\]
\[
\Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 16x\; – \;32
\]
\[
\Rightarrow x^2 \;-\; 14x + 33 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 3, \quad x_2 = 11
\]
Bu değerlerin verilen denklemi sağladığı görülür.
\[
\Rightarrow x_1 + x_2 = 14 \quad \text{tür.}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)
SORU 14
\[
\sqrt[3]{x^2 + 4x \;- \;5} = x – 1
\]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } \{-1,2,4 \} \quad
\text{B) } \{1,3,4\} \quad
\text{C) } \{1,2,3\} \quad
\text{D) } \{-1,1,4\} \quad
\text{E) } \{-1,2,3\}
\]
Çözüm:
\[
\sqrt[3]{x^2 + 4x\; -\; 5} = x – 1
\]
\[
\Rightarrow (\sqrt[3]{x^2 + 4x\; – \;5})^3 = (x \;-\; 1)^3
\]
\[
\Rightarrow x^2 + 4x \;-\; 5 = x^3 \;- \;3x^2 + 3x \;- \;1
\]
\[
\Rightarrow x^3 \;- \;4x^2 \;- \;x + 4 = 0
\]
\[
\Rightarrow (x \;-\; 4)(x^2 \;-\; 1) = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 4 \quad \text{veya} \quad x = \pm 1
\]
Verilen denklemde kökün kuvveti tek (3) olduğundan, bulunan köklerin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol etmeye gerek yoktur.
\(\textbf{Cevab: D} \)
SORU 15
\[
\sqrt[4]{2x^2 + x + 6} = \sqrt{x + 2}
\]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } \{-1,3 \} \quad
\text{B) } \{-1,2\} \quad
\text{C) } \{1,2\} \quad
\text{D) } \{1,3\} \quad
\text{E) } \{2,3\}
\]
Çözüm:
\[
\sqrt[4]{2x^2 + x + 6} = \sqrt{x + 2}
\]
\[
\Rightarrow (\sqrt[4]{2x^2 + x + 6})^4 = (\sqrt{x + 2})^4
\]
\[
\Rightarrow 2x^2 + x + 6 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
\Rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = 2
\]
Verilen denklem, çift kuvvetten iki kökün (iki mutlak değer) eşitliği şeklinde olduğundan, bulunan köklerin denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol etmeye gerek yoktur.
\[
\mathbb{Ç} = \{1, 2\}
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
SORU 16
\[
\sqrt[3]{3x – 1} = \sqrt{x + 1}
\]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } \{1,2,3 \} \quad
\text{B) } \{0, 2\} \quad
\text{C) } \{1,3\} \quad
\text{D) } \{0,3\} \quad
\text{E) } \{3\}
\]
Çözüm:
\[
\sqrt[3]{3x – 1} = \sqrt{x + 1}
\]
\[
\Rightarrow (\sqrt[3]{3x – 1})^6 = (\sqrt{x + 1})^6
\]
\[
\Rightarrow (3x – 1)^2 = (x + 1)^3
\]
\[
\Rightarrow x^3 – 6x^2 + 9x = 0
\]
\[
\Rightarrow x(x – 3)^2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{veya} \quad x = 3
\]
Bulunan köklerden \( x = 0 \), verilen denklemi sağlamaz. O halde,
\[
\mathbb{Ç} = \{3\}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 17
\[
x^2 + x + \sqrt{x^2 + x + 1} = 1
\]
denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır?
\[
\text{A) } -1 \quad
\text{B) } 0 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]
Çözüm:
Verilen denklemin her iki tarafına 1 ekleyelim.
\[
x^2 + x + \sqrt{x^2 + x + 1} = 1
\]
\[
\Rightarrow x^2 + x + 1 + \sqrt{x^2 + x + 1} = 1 + 1
\]
Bu durumda \( \sqrt{x^2 + x + 1} = t \) dönüşümü yapılırsa,
\[
\Rightarrow t^2 + t – 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow t = 1 \quad \text{veya} \quad t = -2
\]
\[
\sqrt{x^2 + x + 1} = 1 \Rightarrow x^2 + x + 1 = 1
\]
\[
\Rightarrow x^2 + x = 0
\]
\[
\Rightarrow \mathbb{Ç}_1 = \{-1, 0\}
\]
Elemanlarının verilen denklemi sağladığı görülür.
\[
\sqrt{x^2 + x + 1} = -2 \Rightarrow \mathbb{Ç}_2 = Ø
\]
O halde, reel köklerin toplamı:
\[
-1 + 0 = -1
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
4) Mutlak Değerli Denklemler:
\[
x^2 – |x – 3| + 1 = 0
\]
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
\[
x – 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3
\]
için \( |x – 3| = x – 3 \) olduğundan,
\[
x^2 – |x – 3| + 1 = 0 \Rightarrow x^2 – (x – 3) + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 – x + 4 = 0
\]
denkleminin
\[
\Delta < 0
\]
olduğundan,
\[
\mathbb{Ç}_1 = Ø
\]
\[
x – 3 < 0 \Rightarrow x < 3
\]
için \( |x – 3| = -(x – 3) \) olduğundan,
\[
x^2 – |x – 3| + 1 = 0 \Rightarrow x^2 – [- (x – 3)] + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 + x – 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = -2, \quad x_2 = 1
\]
Bu değerler \( x < 3 \) şartını sağladığından,
\[
\mathbb{Ç}_2 = \{-2, 1\}
\]
O halde,
\[
\mathbb{Ç} = \mathbb{Ç}_1 \cup \mathbb{Ç}_2 = \{-2, 1\}
\]
SORU 18
\[
2x^2 – x |x – 2| + 1 = 0
\]
denkleminin reel sayılarda çözüm kümesi nedir?
\[
\text{A) } \{ 3\} \quad
\text{B) } \{ 1\} \quad
\text{C) } \{ 2\} \quad
\text{D) } \{ -1\} \quad
\text{E) } Ø
\]
Çözüm:
\[
x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2
\]
için \( |x – 2| = x – 2 \) olduğundan,
\[
2x^2 – x|x – 2| + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 – x(x – 2) + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = x_2 = -1
\]
Bu değer \( x \geq 2 \) şartına uymadığından,
\[
\mathbb{Ç}_1 = Ø
\]
\[
x – 2 < 0 \Rightarrow x < 2
\]
için \( |x – 2| = -(x – 2) \) olduğundan,
\[
2x^2 – x |x – 2| + 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 – x[-(x – 2)] + 1 = 0
\]
\[
\Rightarrow 3x^2 – 2x + 1 = 0
\]
Denklemde \( \Delta < 0 \) olduğundan,
\[
\mathbb{Ç}_2 = Ø
\]
O halde,
\[
\mathbb{Ç} = \mathbb{Ç}_1 \cup \mathbb{Ç}_2 = Ø
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 19
\[
|x^2 + x – 1| = |2x + 1|
\]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } \{ -2,-1,0\} \quad
\text{B) } \{ -1,0,2,3\} \quad
\text{C) } \{ -3,0,2,3\} \quad
\text{D) } \{ 0,1, 2\} \quad
\text{E) } \{-3,-1 ,0, 2\}
\]
Çözüm:
\[
|x^2 + x – 1| = |2x + 1|
\]
verildiğine göre,
\[
x^2 + x – 1 = 2x + 1 \quad \text{veya} \quad x^2 + x – 1 = -(2x + 1)
\]
\[
x^2 – x – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -1, \quad x_2 = 2
\]
\[
x^2 + 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -3, \quad x_4 = 0
\]
\[
\mathbb{Ç} = \{-3, -1, 0, 2\}
\]
\(\textbf{Cevab: E} \)
SORU 20
\[
|2x – 1| = |x + 1|
\]
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\[
\text{A) } \{ 0,2 \} \quad
\text{B) } \{ -1,0\} \quad
\text{C) } \{ 0, 1 \} \quad
\text{D) } \{ -2,2 \} \quad
\text{E) } \{-3,-1 \}
\]
Çözüm:
\[
|2x – 1| = |x + 1| \Rightarrow |2x – 1|^2 = |x + 1|^2
\]
\[
\Rightarrow 4x^2 – 4x + 1 = x^2 + 2x + 1
\]
\[
\Rightarrow 3x^2 – 6x = 0
\]
\[
\Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = 2
\]
\[
\mathbb{Ç} = \{0, 2\}
\]
\(\textbf{Cevab: A} \)
SORU 21
\[ 2 |x^2 -2|^2- |3x^2 – 6| – 2 = 0 \]
denklemini sağlayan farklı \( x \) değerlerinin toplamı kaçtır?
\[
\text{A) } -2 \quad
\text{B) } -1 \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } 1 \quad
\text{E) } 2
\]
Çözüm:
Verilen denklemde \( |x^2 – 2| = t \) denilirse,
\[
2 |x^2 – 2|^2 – |3x^2 – 6| – 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow 2t^2 – 3t – 2 = 0
\]
\[
\Rightarrow t = -\frac{1}{2} \quad \text{veya} \quad t = 2
\]
\[
|x^2 – 2| = -\frac{1}{2} \Rightarrow \mathbb{Ç}_1 = Ø
\]
\[
x^2 – 2 = 2 \quad \text{veya} \quad x^2 – 2 = -2
\]
\[
x = \pm 2, \quad x_1 = x_2 = 0
\]
\[
\mathbb{Ç}_2 = \{-2, 0, 2\}
\]
\[
\mathbb{Ç} = \mathbb{Ç}_1 \cup \mathbb{Ç}_2 = \{-2, 0, 2\}
\]
Denklemi sağlayan farklı \( x \) değerlerinin toplamı,
\[
-2 + 0 + 2 = 0 \quad \text{bulunur. }
\]
\(\textbf{Cevab: C} \)
SORU 22
\[
|x^5 – 5x| = 11x
\]
denklemini sağlayan farklı \( x \) değerleri kaç tanedir?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[
|x^5 – 5x| = 11x
\]
\[
\Rightarrow x^5 – 5x = 11x \quad \text{veya} \quad x^5 – 5x = -11x
\]
\[
\Rightarrow x^5 – 16x = 0 \quad \text{veya} \quad x^5 + 6x = 0
\]
Şimdi her iki denklemin köklerini araştıralım \( x^5 – 16x = 0\) için
\[
\Rightarrow x(x^2 – 4)(x^2 + 4) = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 0 \quad \text{veya} \quad x = \pm 2
\]
\[
(x^2 + 4 \neq 0 \quad \text{dır.})
\]
İkinci denklem \( x^5 + 6x = 0 \) için
\[
\Rightarrow x(x^4 + 6) = 0
\]
\[
\Rightarrow x = 0 \quad (x^4 + 6 \neq 0 \quad \text{dır.})
\]
Bulunan köklerden \( -2 \), verilen denklemi sağlamaz. O halde,
\[
\mathbb{Ç} = \{0, 2\}
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)